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1、【课标要求】 1理解等比数列定义，会用定义判断等比数列 2掌握等比数列的通项公式 3掌握等比中项的定义并能解决相应问题【核心扫描】 1等比数列的判定(重点) 2等比数列的通项公式及应用(重点、难点) 3等比中项及应用第第1课时课时 等比数列的概念及通项公式等比数列的概念及通项公式2.4等比数列等比数列等比数列的概念如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比等于_，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母q表示(q0)自学导引自学导引1 ：常数列一定是等比数列吗？常数列一定是等比数列吗？提示提示：不一定当常数列为非零常数列时，此数列为等比：不一定当常数列为非零常数列时
2、，此数列为等比数列，否则不是数列，否则不是2同一常数同一常数公比公比等比中项等比数列的通项公式已知等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，则数列an的通项公式为an_.2等比中项等比中项3a1qn1 ：推导等比数列的通项公式有哪些方法？提示：等比数列的通项公式的推导有下列三种方法：归纳法：由等比数列的定义可以得到a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，a5a4qa1q4，归纳得ana1qn1.迭代法：因为an是等比数列，所以anan1q(an2q)qan2q2(an3q)q2an3q3a1qn1，所以ana1qn1.等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每
3、一项均不能为零，因此q也不可能为零(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列名师点睛名师点睛1等比中项的理解(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列等比数列的通项公式(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列(2)在公式ana1qn1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，
4、可以求得第四个量23题型一题型一等比数列通项公式的应用等比数列通项公式的应用 在等比数列an中，(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n.思路探索 解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量【例例1】由a1qa1q418，知a132.由ana1qn11，知n6. a1和和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解此类问题求解的通法是根本量，其他量便可迎刃而解此类问题求解的通法是根据条件，建立关于据条件，建立关于a1和和q的方程组，求出的方程组，求出a1和和q. 在等比数
5、列an中，已知a5a115，a4a26，求an.【变式变式1】 等比数列an的前三项的和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项思路探索 本题主要考查等比数列的基本运算和等比中项的求法题型题型二二等比中项的应用等比中项的应用【例例2】 已知b是a与c的等比中项求证：abbc是a2b2与b2c2的等比中项证明b是a和c的等比中项，b2ac，且a，b，c均不为零，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a3c2a2c2ac3.又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c2b4b2c2a3ca2c2a2c2ac3a3c2a2c2ac3.(abbc)2(a2b2)(b2c2)又a2b20，b2c20
6、，abbc是a2b2与b2c2的等比中项【变式变式2】 已知数列an满足a11，an12an1.(1)证明：数列an1是等比数列；(2)求数列an的通项公式审题指导 (1)变形递推公式，按等比数列的定义证明；(2)求出an1的通项公式，即可求出an.规范解答 (1)证明法一因为an12an1，所以an112(an1)由a11，知a110，从而an10.所以数列an1是等比数列 (6分)题型题型三三等比数列的判定等比数列的判定【例例3】数列an1是等比数列 (6分)(2)解由(1)知an1是以a112为首项，2为公比的等比数列所以an122n12n，即an2n1. (12分) 判断一个数列是否是
7、等比数列的常用方法是：(1)定义法(2)等比中项法an12anan2(nN*且an0)an为等比数列(3)通项公式法ana1qn1(a10且q0)an为等比数列 已知数列an的前n项和Sn2an1，求证an是等比数列，并求出通项公式证明Sn2an1，Sn12an11.an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an.an12an，又S12a11a1，a110.又由an12an知an0，an12n12n1.【变式变式3】 通过观察图形特征，帮助学生发现图形所表示数的规律和特点一方面，培养学生发现图形特征和规律的能力；另一方面，在单纯发现数列的规律比较困难的情况下，可以借助图形帮助解决；反
8、之，在观察图形特征比较困难的情况下，也可以考虑从观察数列特点入手进行解决 图(1)是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)试求第n个图形的边长和周长方法技巧方法技巧数形结合思想在等比数列中的应用数形结合思想在等比数列中的应用【示示例例】思路分析 关键是找到周长与n的关系，即找到由周长所构成的数列的通项公式解设第n个图形的边长为an.要计算第n个图形的周长，只需计算第n个图形的边数第1个图形的边数为3，因为从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，所以第n个图形的边数为方法点评 解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改变，但其变化规律不改变事实上，给出的图形只是问题的载体，我们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列
