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1、基础教育同步课堂 1二项式定理：二项式定理： (a? ? b) ? ? C a ? ? C an0nn1n? ?1nb? ? C a2nn? ?22b ? ? C arnn? ?rb? ? ? C brnnn2二项式系数：二项式系数： C,C,C0n1n2n,?,C,?,Crnn ? ? 1n,Cnn3杨辉三角形杨辉三角形 1 （a+b）1 1 1 （a+b）2 1 2 1 （a+b）3 1 3 3 1 （a+b）4 1 4 6 4 1 （a+b）5 1 5 10 10 5 1 （a+b）6 1 6 15 20 15 6 1 （a+b）7 1 7 21 35 35 21 7 1 （a+b）01
2、2nnnn CCC Cn? ? 2nCn? ?1nCnn二项式系数的性质：二项式系数的性质： 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两项的二的两项的二项式系数相等。项式系数相等。 （因为（因为C? ? Cmnn? ?mn,C ? ? C ,C ? ? C0nnn1nn? ?1n,C ? ? C2nn? ? 2n?） 若若n为偶数，则中间一项的二项式系数为偶数，则中间一项的二项式系数最大，若最大，若n 为奇数，则中间两项的二项式系数相为奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大。等并且最大。 n(n? ? 1)(n? ? 1)1解答解答: 证明：证明：C ? ? 1，C ? ? n? ? C ?
3、? n,C ? ? ? Cn? ?,2? ? 120n1n0n2nn(n? ? 1)(n? ? 2)n? ? 2423n? ? 3C ? ? ? Cn? ?,Cn? ? Cn3? ? 2? ?1343nC ? ? Cknk? ?1nn? ? k ? ? 1kn? ? k? ? 1n? ? 1k所以：当所以：当? ? 1,即即k ? ?时，时，Cn递增，递增，k2n? ? 1kk? ?1当当k ? ?时，时，Cn? ? Cn,n为奇数，为奇数，2n? ? 1k当当k ? ?时，时，Cn递减。（递减。（k ? ? 0,1,2,?n）2 对每一个对每一个n,有有 C ? ? C ? ? C ? ?
4、? ? ? C ? ? 2on1n2nnnn证明：因为（证明：因为（a? ? b）? ? C a ? ? C annnnonn1nn? ?1b? ? C a2nn? ?22? ?1b? ? ? ? ? C b ,令令a ? ? b? ? 1得得2 ? ?（1? ? 1）? ? C ? ? C ? ? C ? ? ? ? ? Cnn0n1n2nnn 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二n-1项式系数的和，且同为项式系数的和，且同为2。 证明：由证明：由(a? ? b) ? ? C a ? ? C a令令a ? ? 1,b? ? ? ?10n1nn0nn1nn?
5、 ?1b? ? C a2nn? ? 22b ? ? ? ? ? C bnnn得得2n3n4n0? ? C ? ? C ? ? C ? ? C ? ? C ? ?所以所以又又所以所以C ? ? C ? ? C ? ? ? ? ? C ? ? C ? ? C ? ? ?C ? ? C ? ? C ? ? ? ? ? C ? ? 20n2n4n1n0n1n2nnnn0n2n4n1n3n5nC ? ? C ? ? C ? ? ? ? ? C ? ? C ? ? C ? ? ? ? ? 23n5nn? ?1（因为（因为C ? ? 1? ? C ） 每一行的首尾每一行的首尾0nnn项为项为1， 每行除每行
6、除1外、每个数都为它肩上两外、每个数都为它肩上两个数的和个数的和 （因为（因为Cm? ?1n? ? C? ? C）mnmn? ?1总总 结：结： （1）性质）性质1与与2反映的是关于二项式系数的反映的是关于二项式系数的大小的规律大小的规律 0n1n2nnnnC（2） ? ? C ? ? C ? ? ? ? C ? ? 2 也是一个重要性质，也是一个重要性质，反映了反映了n个无素的集合的子集个个无素的集合的子集个数为数为2 。n131.求（求（1-x） 的展开式中的含的展开式中的含x的奇次项的系数的奇次项的系数 的和。的和。 解：（解：（1? ? x） ? ? 1? ? C x? ? C x ?
7、 ? C x1313131133135131311321323133? ? ? ? ? C x? ? C? ? C? ? C? ? ? ? ? C? ? ? ?2121313? ? ? ?40962证明证明 C ? ? C ? ? C ? ? ? ? C ? ? 20n2n4nnnn? ?1(n是偶数是偶数)解：由解：由C ? ? C ? ? C ? ? C ? ? C ? ? ? ? C0n2n4nnn1n0n1n2n3n4nn? ?1n? ? C ? ? 23n5nnnn所以所以 （C ? ? C ? ? C ? ? ? ? C ） ? ? (C ? ? C ? ? C ? ? ? ? C
8、0n2n4nnn1n3n5nn? ?1n)? ? 2n又因为又因为C ? ? C ? ? C ? ? ? ? C ? ? C ? ? C ? ? C ? ? ? ? C0n2n4nnnn? ?1n? ?1n故故C ? ? C ? ? C ? ? ? ? C ? ? 23求求 C ? ? C ? ? ? ? C1113111111解：由解：由 C ? ?C ? ?C ? ?C ? ? ? ?C ? ? 2011111211311111111且且 C ? ?C ? ?C ? ? ? ?C ? ?C ? ?C ? ?C ? ? ? ?C01121141110111113115111111所以所以 C ? ?C ? ?C ? ? ? ?C ? ? 2 ? ?1024111311511111110
