四边形性质探索复习与小结

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1、第四章第四章 四四 边边 形形 性性 质质 探探 索索 复 习 与 小 结w一、多边形知识体系一、多边形知识体系w 等腰三角形等腰三角形w 三角形三角形w 直角三角形直角三角形 w 菱形菱形w多边形多边形 平平 行行 四四 边边 形形 正方形正方形w 四边形四边形 w 梯形梯形 等腰梯形等腰梯形 矩形矩形w 边数多于四的多边形边数多于四的多边形 正多边形正多边形一、四边形与特殊四边形的关系四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形两组对边分别平行有一个角 是直角邻边相等邻边相等有一个角 是直角 一组对边平行另一组对边不平行两腰相等 有一个角 是直角有一个角是直角且邻边相等二、基础知识详

2、解二、基础知识详解w（一）、平行四边形、（一）、平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的有关概念：等腰梯形的有关概念：w平行四边形 ：两组对边分别平行的四边形 w 叫平行四边形w 菱 形 ：一组邻边相等的平行四边形w 叫菱形w 矩 形 ：一个内角是直角的平行四边w 形叫矩形w 正方形 ：一组邻边相等的矩形叫正方形 w 等腰梯形 ：一组对边平行另一组对边不平行w 的四边形叫等腰梯形 w（二）平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的性质1、平行四边形w边 ：对边平行且相等w 角：对角相等w对角线 ：对角线互相平分w对称性 ：中心对称 2。菱形 w边 ：对边平行，四条边都相等

3、w 角：对角相等w对角线 ：对角线互相垂直平分w对称性 ：中心对称、轴对称w面积等于两条对角线乘积的一半3、矩形 w边 ：对边平行且相等w 角：四个角都是直角w对角线 ：对角线互相平分且相等w对称性 ：中心对称、轴对称4、正方形 w边：对边平行、四条边对相等w角：四个角都是直角w对角线：对角线互相垂直平分且相等w对称性：中心对称轴对称w面积等于边长的平方，也等于一条对角线平方的一半。5、等腰梯形w边：两底平行，两腰不平行但相等w角：同一底上的两个内角相等w对角线：对角线相等w对称性：轴对称 w（三）平行四边形、菱形、矩（三）平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的判别形、正方形、等腰梯形的判

4、别1、平行四边形w两组对边分别平行的四边形是平行四边形w对角线互相平分的四边形是平行四边形w一组对边平行且相等的四边形是平行四边形w两组对边分别相等的四边形是平行四边形w两组对角分别相等的四边形是平行四边形 2、菱形 w一组邻边相等的平行四边形是菱形w 对角线互相垂直的平行四边形是菱形w四条边都相等的四边形是菱形w对角线互相垂直平分的四边形是菱形3、矩形 w有一个角是直角的平行四边形是矩形w对角线相等的平行四边形是矩形w三个角是直角的四边形是矩形4、正方形w一组邻边相等的矩形是正方形w一个角是直角的菱形是正方形w对角线垂直平分且相等的四边形是正方形5、等腰梯形w两腰相等的梯形是等腰梯形w同一底

5、上的两个内角相等的梯形是等腰梯形w对角线相等的梯形是等腰梯形w一组对角互补的梯形是等腰梯形w中位线w直角三角形的性质（四）中心对称图形w 定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180。，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。这个点叫做这个图形的对称中心。w 特别指出：平行四边形是中心对称图形。w 性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。（五）、多边形的内角和与外角和wn边形的内角和公式：（n-2）*180。w多边形的外角和都等于360。(六)平面图形的密铺w定义：在平面内，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的

6、铺成一片，叫做平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。w能够密铺的同一种图形有：三角形、四边形、正六边形。w 此外：正五变形+菱形，正八边形+正方形也能密铺。八、巩固练习（一）判断题：1.平行四边形的对角线相等( )2.矩形的四个角都相等 （）3.菱形的对角线互相垂直平分；( ）4.有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形( )5.一组对边平行的四边形是梯形； （ ）6.有两个角相等的梯形是等腰梯形； （ ）7.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （ ）8.对角线相等的四边形是矩形； （ ）9.在梯形中上面的底叫做上底，下面的底叫做下底 （）10.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。

7、（ ）（二）选择题：(A)一组对边平行，另一组对边也平行；(B)一组对角相等，另一组对角也相等；1.下面判定平行四边形错误的是（ ） (C )一组对边平行，一组对角相等(D)一组对边平行，另一组对边相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）。 (A)对角线互相平分。 (B)对角线相等。（C）对角线平分一组对角。 (D)对角线互相垂直。4.内角和等于外角和的多边形是（ ）(A)三角形。(B)四边形。(B)(C )五边形。(D)六边形。5.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）(A)对角相等。(B)邻角互补C对角互补(D)内角和是360。6.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）(

8、A)一组对角相等。 (B)两条对角线互相平分。(C )两条对角线互相垂直。(D)一对邻角的和为180。7.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）(A)等边三角形。(B)平行四边形。(C )菱形。(D)等腰梯形。8既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）(A)(B)(C )(D)9.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）/(A)AB =CD, AD =BC。(B)(B) BC= AD。(C ) AB/DC, AD/BC。 (D) AB =CD， AD/BC。（三）填空题：2.两条对角线 的四边形是矩形。1.两条对角线 的平行四边形是矩形。3.两条对角线 的平行四边形是菱形。

9、4.两条对角线 的四边形是菱形。5.两条对角线 的矩形是正方形。6.两条对角线 的菱形是正方形。8.两条对角线 的四边形是正方形。7.两条对角线 的平行四边形是正方形。9.一个多边形的每一个外角都等于40 ，这个多边形的边数是 ，它的内角和是 。10.等腰梯形在同一底上的两个角 ，对角线 。要使 ABCD成为矩形，需增加的条件是_ 要使 ABCD成为菱形，需增加的条件是_ 要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是_ 要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是_要使四边形ABCD成为正方形，需增加的条件是_顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是_顺次连接菱形各边中点所得的四边形是_顺次连接矩

10、形各边中点所得的四边形是_平行四边形矩形菱形请你说说把具有什么特点的四边形的各边中点连接起来能得到正方形呢？11.ABCD中，1 = B =50,则2 = 。ABC12(1)12菱形有一个内角是120有一条对角线长是8，那么菱形边长是 。 ABCDO13.已知：正方形的边长是4，则它的对角线的长是 ，面积是 。15.已知：正方形的面积是12 2 ，则它的边长是 ，对角线的长是 。14.已知，正方形的对角线的长是6 ，则它的边长是 ，面积是 。 w1、四边形的四条边分别为a,b,c,d,其中a,c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,那么这个四边形一定是（ ）wA.两组对角分别相

11、等的四边形 B.平行四边形wC . 对角线互相垂直得四边形wD.对角线相等的四边形w答案： Bw2、已知：梯形ABCD中，AD/BC,AD=2,BC=10,E、F分别是AD、BC的中点，且B与C互余.w则E FABFCDE答案：4例例2：如图，在四边形：如图，在四边形ABCD中，中，AB=2，CD=1，A=60， B= D=90 ，求四边形求四边形ABCD的面积。的面积。BADCE注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边连结对角线、延长两边等。等。解：延长AD，B

12、C交于点E，在RtABE中，A=60，E=30又AB=2BE=3AB=2 3在RtCDE中，同理可得 DE=3CD= 3S四边形ABCD=S RtABE - S RtCDE= ABBE - CDDE1212= 223 - 131212= 332211、n边形的内角和为边形的内角和为 ，外角和，外角和为为 ，从它的一个顶点发出的对角线有，从它的一个顶点发出的对角线有 ，这些对角线把这个，这些对角线把这个n边形分割边形分割 成成 个三角形，它一共有个三角形，它一共有 条条对角线。对角线。2、一个多边形增加一条边，那它的内角和增、一个多边形增加一条边，那它的内角和增加加 度，减少一条边，内角和减少度

13、，减少一条边，内角和减少 度，度，外角和外角和 。（n-2）180360（n-3）条条（n-2）180180不变不变1、五边形的内角和为、五边形的内角和为 ，外角和，外角和为为 ，共有，共有 条对角线。条对角线。2、每个内角都为、每个内角都为144的多边形为的多边形为 边形，从边形，从它一个顶点发出的对角线有它一个顶点发出的对角线有 条。条。3、内角和是外角和的一半的多边形、内角和是外角和的一半的多边形是是 。4、内角和等于外角和的多边形是、内角和等于外角和的多边形是 。 5403605107三角形三角形四边形四边形5、内角和为外角和、内角和为外角和3倍的多边形是倍的多边形是 。 7、多边形中

14、，每个内角都为它相邻外角、多边形中，每个内角都为它相邻外角的的2倍，那此多边形有倍，那此多边形有 条对角线。条对角线。8、如果一个多边形的每一个外角都相等，、如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为并且它的内角和为2880，那么它的一个内，那么它的一个内角为角为 度。度。6、一个多边形的内角和等于外角和的、一个多边形的内角和等于外角和的a倍，倍，则这个多边形的边数为则这个多边形的边数为 。160八边形八边形2a+2 9 在一块正方形的花坛上，欲修建两条在一块正方形的花坛上，欲修建两条笔直的小路，使得两条直的小路将花坛平笔直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑

15、道路的均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？宽度），你有几种方法？ 利用上题得到的启示，试做一条利用上题得到的启示，试做一条直线，使其将下面这个图形分成面积直线，使其将下面这个图形分成面积相等的两部分相等的两部分.你有几种方法？你有几种方法？ABABAB9、多边形内角中最多有、多边形内角中最多有 个锐角。个锐角。310、一个多边形只截去一个角，形成另、一个多边形只截去一个角，形成另一个多边形的内角和为一个多边形的内角和为2520，则原多边，则原多边形的边数为形的边数为 。15或或16或或1711、一个多边形的内角的度数从小到大、一个多边形的内角的度数从小到大排列起来，恰好依

16、次增加相同的度数，排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是其中最小角是100，最大角是，最大角是140，求，求这个多边形的边数。这个多边形的边数。 两个人轮流在一张桌面（长方形、两个人轮流在一张桌面（长方形、正方形或圆）上摆放硬币。规则是每人正方形或圆）上摆放硬币。规则是每人每次摆一个，硬币不能互相重叠，也不每次摆一个，硬币不能互相重叠，也不能有一部分在桌面边缘之外，摆好之后能有一部分在桌面边缘之外，摆好之后不许移动。这样经过多次摆放，直到谁不许移动。这样经过多次摆放，直到谁先摆不下硬币谁就认输。按照这个规则先摆不下硬币谁就认输。按照这个规则你用什么方法才能取胜？你用什么方法才能取胜？提

17、高题：已知如图，以已知如图，以ABC的三边为边在的三边为边在BC的同侧分别作三个等边的同侧分别作三个等边ABD、BCE、ACF，请回答下列问题，并请回答下列问题，并证明。证明。（1）四边形）四边形ADEF是什么四边形？是什么四边形？（2）探究：探究：当当ABC满足什么条件时，四边满足什么条件时，四边形形ADEF是矩形；是矩形；ABCDEF变式：若把题目改为以 AFED的边AF，AD为边作正三角形ADB，ACF，探索BCE是是什么三角形什么三角形.ABCDEF证明：如图，四边形如图，四边形ABCD是正方形，是正方形，O是其是其中心，四边形中心，四边形OEFG也是正方形，两个也是正方形，两个正方形

18、的边长都是正方形的边长都是a，OG、OE分别交分别交CD、BC于于H、K。若正方形若正方形ABCD绕点绕点O任意旋转，则这两个正方形重合部分任意旋转，则这两个正方形重合部分的面积变不变？若变，请说明变化规律；的面积变不变？若变，请说明变化规律；若不变，请求出重合部分的面积。若不变，请求出重合部分的面积。ABCDOEFG要剪切如图所示的甲、乙两种直角梯形的零件，且使要剪切如图所示的甲、乙两种直角梯形的零件，且使两种零件的数量相等，现有两种面积相等的矩形铝板两种零件的数量相等，现有两种面积相等的矩形铝板可选用：第一种长可选用：第一种长500mm，宽宽300mm；第二种长第二种长600mm，宽宽25

19、0mm。（1）为了充分利用材料，应选用第为了充分利用材料，应选用第 种铝板，这时种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共 个，剪下这些个，剪下这些零件后，剩余的边角余料的面积是零件后，剩余的边角余料的面积是 ；（2）从图中选定你要用的铝板示意）从图中选定你要用的铝板示意图，在上面画出剪切线，并把边角图，在上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来。余料用阴影表示出来。500300600250100200300100150300九、几种常见的平行四边形辅助线的画法：1.对角线ABCD2.构建新的平行四边形ABCDABCDEABCDE3.构建全等三角形ABCDEFABCDEF4.构建等腰三角形ABCDEABCDE十常见的梯形的辅助线画法：1.构建平行四边形ABCDFABCDF2.平移一条对角线ABCDEABCDE3.构建全等三角形ABCDE.FABCDF4.构建矩形ABCDFABCDEFEE.5.作梯形的中位线ABCDEF6.构建大平行四边形7.构建三角形ABCDEEFCABDOw课后反思：w 通过本节课的复习,学生对知识掌握的更加牢固，对数学有极高的兴趣，效果很好。