《第十章弯曲强度和刚度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十章弯曲强度和刚度（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 用截面法作梁的内力图用截面法作梁的内力图2 梁的应力与强度条件梁的应力与强度条件3梁的变形梁的变形第九章第九章 梁的平面弯曲梁的平面弯曲1第九章第九章 梁的平面弯曲梁的平面弯曲承受弯曲作用的杆，称为梁。承受弯曲作用的杆，称为梁。轴向拉压轴向拉压轴向拉压轴向拉压内力为轴力。内力为轴力。内力为轴力。内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。
2、直杆：杆件的轴线为直线。直杆：杆件的轴线为直线。直杆：杆件的轴线为直线。直杆：杆件的轴线为直线。 杆的杆的杆的杆的可能变形为：可能变形为：可能变形为：可能变形为： 轴向拉压弯 曲 扭 转扭转扭转扭转扭转 内力为扭矩。内力为扭矩。内力为扭矩。内力为扭矩。如各种传动轴等。如各种传动轴等。如各种传动轴等。如各种传动轴等。 ( ( ( (轴轴轴轴) ) ) )弯曲弯曲弯曲弯曲 内力为弯矩。内力为弯矩。内力为弯矩。内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等如桥梁、房梁、地板等如桥梁、房梁、地板等如桥梁、房梁、地板等。( ( ( (梁梁梁梁) ) ) ) 概述概述返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录2梁的分类梁
3、的分类平面问题，梁受平面问题，梁受平面问题，梁受平面问题，梁受三个约束，都是三个约束，都是三个约束，都是三个约束，都是静定梁。静定梁。静定梁。静定梁。平面弯曲平面弯曲悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁简支梁简支梁F Fq外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁MM梁有纵向对称面，且载荷均作用在梁有纵向对称面，且载荷均作用在梁有纵向对称面，且载荷均作用在梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向对称面内，变形后梁的轴线仍纵向对称面内，变形后梁的轴线仍纵向对称面内，变形后梁的轴线仍纵向对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。在该平面内，称为平面弯曲。在该平面内，称为平面弯曲。在该平面内，称为平面弯曲。纵向对
4、称面纵向对称面纵向对称面纵向对称面梁的横截面梁的横截面梁的横截面梁的横截面都有对称轴都有对称轴都有对称轴都有对称轴集中力，集中力偶，分布载荷集中力，集中力偶，分布载荷集中力，集中力偶，分布载荷集中力，集中力偶，分布载荷返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录3截面法求内力的步骤：截面法求内力的步骤：截面法求内力的步骤：截面法求内力的步骤：求约求约求约求约束反束反束反束反力力力力截取截取截取截取研究研究研究研究对象对象对象对象受力图，受力图，受力图，受力图，内力按正内力按正内力按正内力按正向假设。向假设。向假设。向假设。列平衡列平衡列平衡列平衡方程方程方程方程求解内力，负号求解内力，负号求解内力
5、，负号求解内力，负号表示与假设反向表示与假设反向表示与假设反向表示与假设反向内力内力 右截面正向右截面正向 左截面正向左截面正向 微段变形（正）微段变形（正）内力的符号规定内力的符号规定内力的符号规定内力的符号规定yx左上右下，左上右下，左上右下，左上右下，F FQQ为正为正为正为正左顺右逆，左顺右逆，左顺右逆，左顺右逆，MM为正为正为正为正xF FS SMMMMF FS S顺时针错动顺时针错动FS向上凹向上凹M 9.1 用截面法作梁的内力图用截面法作梁的内力图返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录4例例例例1 1 求悬臂梁各截面内力并作内力图。求悬臂梁各截面内力并作内力图。求悬臂梁各截面内
6、力并作内力图。求悬臂梁各截面内力并作内力图。解：解：解：解：1 1）求约束力。）求约束力。）求约束力。）求约束力。画受力图。画受力图。画受力图。画受力图。 由平衡方程得：由平衡方程得：由平衡方程得：由平衡方程得： F FA Ax x=0; =0; F FA Ay y= =F F; ; MMA A= =FlFl2 2）求截面内力。）求截面内力。）求截面内力。）求截面内力。截面截面截面截面x x处内力按正向假设，处内力按正向假设，处内力按正向假设，处内力按正向假设，在在在在0 0 x x l l内，有平衡方程：内，有平衡方程：内，有平衡方程：内，有平衡方程： F Fy y= =F FA Ay y-
7、 -F FS S=0 =0 MMC C( (F F )= )=MMA A+ +MM- -F FA Ay yx x=0 =0 得到：得到：得到：得到： F FS S= =F F； MM=-=-F F( (l l- -x x) )x xF FS So o+ +F F剪力图剪力图剪力图剪力图x xMMo o_ _FlFl弯矩图弯矩图弯矩图弯矩图A AB Bl lF FMMA AF FA Ay yF FA Ax xc cMMF FS SF FA Ay yA Ax xMMA A3) 3) 画内力图。画内力图。画内力图。画内力图。悬臂梁在固定端悬臂梁在固定端悬臂梁在固定端悬臂梁在固定端A A处弯矩值最大。
8、处弯矩值最大。处弯矩值最大。处弯矩值最大。 5例例2 求外伸梁求外伸梁AB的内力。的内力。解：解：1）求约束反力：）求约束反力： 受力如图。受力如图。2)截面法求内力截面法求内力( 取坐标如图取坐标如图)3) 0 xa:aaaA B 3F 45 yx0F F FA Ay y F FA Ax x F FB B 有平衡方程：有平衡方程：有平衡方程：有平衡方程： MMA A( (F F)=2)=2aFaFB Bcos45cos45 + +FaFa-3-3FaFa=0 =0 F FB B= = F F2 F Fx x= =F FAxAx- -F FB Bsin45sin45 =0 =0 F FA Ax
9、 x= =F F F Fy y= =F FAyAy+ +F FB Bcos45cos45 - -F F-3-3F F=0 =0 F FA Ay y=3=3F FMMFSxFFN0FN=0; FS=- -F; M=- -Fx6例例2 求外伸梁的内力。求外伸梁的内力。a x2a: 2a x3a: 2) 截面法求内力截面法求内力0 xa: FN=0; FS=- -F; M=- -FxaaaA B 3F 45 yx0F 3 3F F F F F FB B MMFSxFFN0MMFSxFFN03FFMMFSxFFN0 3F F3FFN=- -F；FS=3F- -F=2FM=3F(x-a)- -Fx=F(
10、2x-3a)FN=- -F；FS=3F- -F- -3F=- -F M=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a) =F(3a-x)7内力方程：内力方程：内力方程：内力方程： 截面法给出的描述截面法给出的描述截面法给出的描述截面法给出的描述 内力与截面位置关系。内力与截面位置关系。内力与截面位置关系。内力与截面位置关系。3)3)3)3) 画内力图：画内力图：画内力图：画内力图：内力图：内力图：内力图：内力图： 按内力方程绘出按内力方程绘出按内力方程绘出按内力方程绘出 各截面内力的图。各截面内力的图。各截面内力的图。各截面内力的图。a x2a: FN=- -F； FS=2F M=F(2x-3a)0
11、xa: FN=0; FS=- -F; M=- -F x 2a x3a: FN=- -F ；FS=- -F M=F(3a-x)3P B45 x0FFAxFAyFBAMFaFa+-x2F+-FS -FFx-FNFx8作梁的内力图的作梁的内力图的 一般步骤一般步骤求约求约求约求约束反束反束反束反力力力力截取截取截取截取研究研究研究研究对象对象对象对象受受受受力力力力图图图图列平列平列平列平衡方衡方衡方衡方程程程程求解求解求解求解内力内力内力内力画内画内画内画内力图力图力图力图静力静力静力静力平衡平衡平衡平衡方程方程方程方程载荷载荷载荷载荷突变突变突变突变处分处分处分处分段。段。段。段。内力内力内力内
12、力按正按正按正按正向假向假向假向假设。设。设。设。矩心矩心矩心矩心取截取截取截取截面形面形面形面形心。心。心。心。内内内内力力力力方方方方程程程程图形图形图形图形应封应封应封应封闭。闭。闭。闭。aaaA B 3F 45 yx0F F FA Ay y F FA Ax x F FB B xF0MMFSFN91 1 1 1）承受弯曲作用的杆，称为梁。）承受弯曲作用的杆，称为梁。）承受弯曲作用的杆，称为梁。）承受弯曲作用的杆，称为梁。2 2）平面弯曲：）平面弯曲：）平面弯曲：）平面弯曲：载荷均作用在载荷均作用在载荷均作用在载荷均作用在梁的梁的梁的梁的纵向对称面内。纵向对称面内。纵向对称面内。纵向对称面
13、内。3 3 3 3）梁的内力有剪力、弯矩。）梁的内力有剪力、弯矩。）梁的内力有剪力、弯矩。）梁的内力有剪力、弯矩。作内力图一般步骤：作内力图一般步骤：作内力图一般步骤：作内力图一般步骤：求约求约求约求约束反束反束反束反力力力力截取截取截取截取研究研究研究研究对象对象对象对象受受受受力力力力图图图图列平列平列平列平衡方衡方衡方衡方程程程程内力内力内力内力方程方程方程方程画内画内画内画内力图力图力图力图必须必须必须必须掌握掌握掌握掌握小小 结结10概念回顾概念回顾: :1.1.平面弯曲平面弯曲梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面对称
14、面内，变形后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。内，称为平面弯曲。纵向对称面纵向对称面纵向对称面纵向对称面F Fq9.2 9.2 梁的应力与强度梁的应力与强度返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录11概念回顾概念回顾: :2.2.纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲: 梁横截面上的内力只有弯矩。梁横截面上的内力只有弯矩。梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。F FF FMM0 0a aa aF FS SF FS S=0=0F F一般情况一般情况一般情况一般情况简单特例简单特例简单特例简单特例F FS S=0=0F
15、FS SMM=F FaM=M0M129.2 梁的应力与强度梁的应力与强度问题问题: : 平面纯弯曲梁横截面上的正应力平面纯弯曲梁横截面上的正应力?讨论平面纯弯曲梁。讨论平面纯弯曲梁。讨论平面纯弯曲梁。讨论平面纯弯曲梁。横截面上只有弯矩。横截面上只有弯矩。横截面上只有弯矩。横截面上只有弯矩。弯矩分布在横截面上，弯矩分布在横截面上，弯矩分布在横截面上，弯矩分布在横截面上，x xMMy ys s s s只能是正应力。只能是正应力。只能是正应力。只能是正应力。z13讨论矩形截面纯弯曲梁。讨论矩形截面纯弯曲梁。讨论矩形截面纯弯曲梁。讨论矩形截面纯弯曲梁。1. 1. 弯曲变形实验现象弯曲变形实验现象弯曲变
16、形实验现象弯曲变形实验现象AAAA、BBBB仍保持直线，但相对仍保持直线，但相对仍保持直线，但相对仍保持直线，但相对地转过一角度地转过一角度地转过一角度地转过一角度d d 。aa 缩短，缩短，bb伸长，变为弧形，伸长，变为弧形，但仍与但仍与但仍与但仍与AAAA、BBBB线正交。线正交。线正交。线正交。2. 2. 弯曲的基本假设弯曲的基本假设弯曲的基本假设弯曲的基本假设平面假设平面假设平面假设平面假设梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁的轴线垂直。的轴线垂直
17、。的轴线垂直。的轴线垂直。AABBaabbMMA AB BB BA Aaab bb bd d MM变形后变形后变形后变形后9.2.1 弯曲变形几何分析弯曲变形几何分析返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录143. 3. 推论：推论：推论：推论：若梁由纵向纤维组成，则其变形若梁由纵向纤维组成，则其变形是伸长或缩短。是伸长或缩短。凹部纤维凹部纤维aa 缩短，凸部缩短，凸部bb纤维伸纤维伸长，总有一层纤维既不伸长又不长，总有一层纤维既不伸长又不缩短，此层称为中性层。缩短，此层称为中性层。2. 2. 弯曲的基本假设弯曲的基本假设弯曲的基本假设弯曲的基本假设平面假设平面假设平面假设平面假设梁的横截面在
18、弯曲变形后仍保持梁的横截面在弯曲变形后仍保持梁的横截面在弯曲变形后仍保持梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁的轴线垂直。为平面，且仍与梁的轴线垂直。为平面，且仍与梁的轴线垂直。为平面，且仍与梁的轴线垂直。有中性层存在有中性层存在有中性层存在有中性层存在AABBaabbMMMM中性层中性层中性层中性层( (面面面面) )中性轴中性轴中性轴中性轴中性层中性层中性层中性层( (面面面面) )中性层与横截面的交线称为中性中性层与横截面的交线称为中性中性层与横截面的交线称为中性中性层与横截面的交线称为中性轴。轴。轴。轴。A AB BB BA Aaab bb bd d MM变形后变形后变形后变形后
19、15 横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力s s s s 的大小的大小的大小的大小与该点到中性与该点到中性与该点到中性与该点到中性轴的距离轴的距离轴的距离轴的距离y y成正比。成正比。成正比。成正比。中性轴以上，中性轴以上，中性轴以上，中性轴以上，s s s s为负，是压应力，纤维缩短。为负，是压应力，纤维缩短。为负，是压应力，纤维缩短。为负，是压应力，纤维缩短。中性轴以下，中性轴以下，中性轴以下，中性轴以下， s s s s为正，是拉应力，纤维伸长。为正，是拉应力，纤维伸长。为正，是拉应力，纤维伸长。为正，是拉应力，纤维伸长。到中性轴距离相同各处，
20、应力相等。到中性轴距离相同各处，应力相等。到中性轴距离相同各处，应力相等。到中性轴距离相同各处，应力相等。中性轴上，中性轴上，中性轴上，中性轴上，s s s s= = = =0 0，截面上、下缘，截面上、下缘，截面上、下缘，截面上、下缘， s s s s = = = =s s s s 。mamax xMMxyz中性轴中性轴s smax压压s s s smaxmax拉拉拉拉16截面对截面对z 轴的惯性矩轴的惯性矩 I 的计算：的计算：z z矩形截面：矩形截面：矩形截面：矩形截面：ozybhydy取微面积如图取微面积如图取微面积如图取微面积如图 d dA A= =b bd dy yoyzd圆形截面
21、：圆形截面：圆形截面：圆形截面：取微面积如图。取微面积如图。取微面积如图。取微面积如图。( () )222IIdAzydAIyzAAr rr r+ += =+ += = = 由对称由对称由对称由对称性知：性知：性知：性知：yzdA = =AzdAyI2123 32 22 2hbdybydAyIh/2h/2A Az z= = = = - - - -h/2h/2642/4dIIIzyp pr r= = = =17结论：结论： s s=My/Iz中性轴上，中性轴上，中性轴上，中性轴上，s s s s= = = =0 0，截面上、下缘，截面上、下缘，截面上、下缘，截面上、下缘， s s s s = =
22、 = =s s s s 。maxmaxMMyxs s s smaxmax压压压压s s s smaxmax拉拉拉拉18按绝对值计算应力按绝对值计算应力按绝对值计算应力按绝对值计算应力s s s s 的大小，依的大小，依的大小，依的大小，依据弯曲后的拉压情况判断正负。据弯曲后的拉压情况判断正负。据弯曲后的拉压情况判断正负。据弯曲后的拉压情况判断正负。弯曲正应力公式：弯曲正应力公式：横截面有对称轴的平面弯曲。横截面有对称轴的平面弯曲。横截面有对称轴的平面弯曲。横截面有对称轴的平面弯曲。载荷作用在纵向对称面内；载荷作用在纵向对称面内；载荷作用在纵向对称面内；载荷作用在纵向对称面内；梁的高跨比梁的高跨
23、比梁的高跨比梁的高跨比 h h/ /L L 0.25 0.25；适用范围：适用范围：适用范围：适用范围：MMyxs s s smaxmax压压压压s s s smaxmax拉拉拉拉MM zIMy= =s s9.3 平面弯曲的最大正应力及强度条件平面弯曲的最大正应力及强度条件返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录19最大最大弯曲弯曲正应力正应力: :y y= =y y 时，时，时，时，s s s s= =s s s s ，故，故，故，故mamax xmamax x W W = =I I / /y y ，是抗弯截面模量。，是抗弯截面模量。，是抗弯截面模量。，是抗弯截面模量。( (如表如表如表如表
24、10-110-1或手册或手册或手册或手册) )z zz zmaxmax梁的梁的弯曲弯曲强度条件：强度条件：抗力抗力抗力抗力作用作用作用作用处处均应满足强度条件。处处均应满足强度条件。处处均应满足强度条件。处处均应满足强度条件。若材料拉压性能不同，则若材料拉压性能不同，则若材料拉压性能不同，则若材料拉压性能不同，则MMyxs s s smaxmax压压压压s s s smaxmax拉拉拉拉MM zzWMIMy= = =maxmaxs s20例例例例9.9 9.9 空心矩形截面梁的横截面尺寸空心矩形截面梁的横截面尺寸空心矩形截面梁的横截面尺寸空心矩形截面梁的横截面尺寸HH=120mm=120mm，
25、 B B=60mm=60mm，h h=80mm=80mm，b b=30mm=30mm，若，若，若，若 =120MPa=120MPa， 试校核梁的强度。试校核梁的强度。试校核梁的强度。试校核梁的强度。解：解：解：解：1 1）作）作）作）作F FS S、MM图。图。图。图。 固定端弯矩最大，固定端弯矩最大，固定端弯矩最大，固定端弯矩最大，MM = =qLqL /2=14.4 kN.m /2=14.4 kN.mmamax x2 22) 2) 抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量WW z z 查表查表查表查表9-19-1有：有：有：有： W W = =HH B B- -b b( (h h/
26、 /HH) /6 ) /6 =1.227 10 m =1.227 10 m2 23 3-4-43 3z z3 3）强度校核）强度校核）强度校核）强度校核: : L=1.2mOq q=20kN/m=20kN/mAx xqLqLF FS S图图图图x xqLqL /2/22 2MM图图图图b bHHB Bh hz zbhb时，截面上时，截面上时，截面上时，截面上y y相同处相同处相同处相同处t t t t相同。相同。相同。相同。y y= h/2= h/2处，处，处，处，t t t t=0=0。t t t tmaxmax弯曲梁中有剪应力。弯曲梁中有剪应力。纵向面上的剪应力纵向面上的剪应力纵向面上的剪
27、应力纵向面上的剪应力t t t t 由由由由剪应力互等定理确定。剪应力互等定理确定。剪应力互等定理确定。剪应力互等定理确定。t t是是y的函数，呈抛物线分布，的函数，呈抛物线分布，最大剪应力在中性轴处且等最大剪应力在中性轴处且等于平均剪应力的于平均剪应力的1.5倍。倍。截面上截面上截面上截面上t t t t与与与与QQ平行，指向相同。平行，指向相同。平行，指向相同。平行，指向相同。y= h/2y= h/2处，处，处，处，t t t t=0=0。 中性轴处，中性轴处，中性轴处，中性轴处， y y=0=0，I Iz z= =bhbh /12 /12，故有：故有：故有：故有：剪应力强度条件：剪应力强
28、度条件：剪应力强度条件：剪应力强度条件： mzbhFSIFSht tt t5 . 12382max= = = =maxt tt t FSt t t t)4(22 22 2yhIFSSz zz z- -= =t t25讨论二讨论二、矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁ABAB受力如图。受力如图。受力如图。受力如图。 =150MPa=150MPa， t t t t=60MPa=60MPa， 若取若取若取若取h h/ /b b=2=2，试设计其尺寸。，试设计其尺寸。，试设计其尺寸。，试设计其尺寸。解：解：解：解：1.1.1.1.求反力，求反力，求反力，求反力，作作作作F FQQ、MM图。图。图。
29、图。 2. 2. 按弯曲正按弯曲正按弯曲正按弯曲正 应力设计：应力设计：应力设计：应力设计： AB1m10kN10kN4kN.m4kN.m1mF FB BMMB Bx xF FS S10kN10kN x xMM4kN.m4kN.m6kN.m6kN.m6/2maxmax s s = =bhM2. 2. 按弯曲剪按弯曲剪按弯曲剪按弯曲剪 应力设计：应力设计：应力设计：应力设计： 23Smaxmaxt tt t = =bhF一般按正应力设计，再校核剪切强度。一般按正应力设计，再校核剪切强度。一般按正应力设计，再校核剪切强度。一般按正应力设计，再校核剪切强度。26 1. 1. 梁横截面上的正应力梁横截
30、面上的正应力梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力s s s s呈线性呈线性呈线性呈线性 分布，其大小为分布，其大小为分布，其大小为分布，其大小为 s s s s = =MyMy/ /I Iz z 正负由弯曲后的拉压情况判断。正负由弯曲后的拉压情况判断。正负由弯曲后的拉压情况判断。正负由弯曲后的拉压情况判断。 2. 2. 中性轴过截面形心，该处正应力中性轴过截面形心，该处正应力中性轴过截面形心，该处正应力中性轴过截面形心，该处正应力s s s s 等于零。等于零。等于零。等于零。3. 3. 梁的弯曲强度条件：梁的弯曲强度条件：梁的弯曲强度条件：梁的弯曲强度条件： I I 为截面对为截面对为截面对
31、为截面对z z 轴的惯性矩，轴的惯性矩，轴的惯性矩，轴的惯性矩，WW 为抗弯截面模量。为抗弯截面模量。为抗弯截面模量。为抗弯截面模量。z zz z4. 4. 矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大剪矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大剪矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大剪矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大剪应力在中性轴处且等于平均剪应力的应力在中性轴处且等于平均剪应力的应力在中性轴处且等于平均剪应力的应力在中性轴处且等于平均剪应力的1.51.5倍。倍。倍。倍。C CMMy ymax压压smax拉拉sy yz zb bh hFSt t t tt t t tmaxmax= =3F
32、3FS S2 2bhbh小小 结结27杆的拉压杆的拉压杆的拉压杆的拉压9.4.1 梁的挠度和转角梁的挠度和转角梁在梁在梁在梁在xyxy平面内弯曲平面内弯曲平面内弯曲平面内弯曲。挠曲线：弯曲后梁的轴线。挠曲线：弯曲后梁的轴线。挠曲线：弯曲后梁的轴线。挠曲线：弯曲后梁的轴线。伸长或缩短伸长或缩短伸长或缩短伸长或缩短 D D D DL L轴的扭转轴的扭转轴的扭转轴的扭转单位扭转角单位扭转角单位扭转角单位扭转角 q q q q梁的弯曲梁的弯曲梁的弯曲梁的弯曲变形变形变形变形如何描述如何描述如何描述如何描述？x xy yo o挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线挠度挠度挠度挠度y y：梁弯曲后梁弯曲后梁弯曲后梁弯曲
33、后各截面形心的垂直位移，各截面形心的垂直位移，各截面形心的垂直位移，各截面形心的垂直位移，y=y(x)。c cc c x x挠度挠度挠度挠度转角转角转角转角q q q q：各截面转过的角度：各截面转过的角度：各截面转过的角度：各截面转过的角度( ( ( (角位移角位移角位移角位移) ) ) )，q q=q q(x)。 即即即即 x x处挠曲线的切线与处挠曲线的切线与处挠曲线的切线与处挠曲线的切线与x x轴的夹角。轴的夹角。轴的夹角。轴的夹角。q q q qq q q q转角转角转角转角y y 为正为正为正为正q q q q 截面截面截面截面 正正正正 9.4 梁的变形梁的变形返回主目录返回主目
34、录返回主目录返回主目录28再讨论再讨论: 线性叠加方法线性叠加方法在线弹性小变形条件下，在线弹性小变形条件下，在线弹性小变形条件下，在线弹性小变形条件下， s s s s= =E Ee e e e，变形与载荷间有线性关系。变形与载荷间有线性关系。变形与载荷间有线性关系。变形与载荷间有线性关系。图图图图( (a a)=)=图图图图(b)+(b)+图图图图(c)(c)l/4xyBAFlCFAF FB Bl/2l/4FD(a)xyBAFCFA1FB1l/2(b)l/4xyBAFA2FB2FD(c)若要求图若要求图若要求图若要求图( (a a) )中的中的中的中的y yC C、q q q qB B，有
35、：有：有：有： y yC C= =y yC1C1+ +y yC2 C2 ; ; q q q qB B= =q q q qB1B1+ +q q q qB2B2即可由已知简单情况的解，即可由已知简单情况的解，即可由已知简单情况的解，即可由已知简单情况的解，用叠加方法求复杂载荷情用叠加方法求复杂载荷情用叠加方法求复杂载荷情用叠加方法求复杂载荷情况下的变形。况下的变形。况下的变形。况下的变形。y yC Cy yC1C1y yC2C229已有结果：已有结果：已有结果：已有结果：x xy yB BA Aa ab bL LF FLEIbLFabzA6)(+ +- -= =q qLEIaLFabzB6)(+
36、+= =q q转转转转角角角角情况一：情况一：情况一：情况一：xyBAFCl/2la a=b=b=l l /2/2F(lF(l2 2/ /4)(34)(3l l/2)/2)A1A1l lEIEIz z6 6- -= = = =q q q q- -= = = =EIEIz z48483Fl 3Fl 2 2F(lF(l2 2/ /4)(34)(3l l/2)/2)B1B1l lEIEIz z6 6= = = =q q q q= = = =EIEIz z48483Fl 3Fl 2 2挠度挠度挠度挠度4/3(6222/LbLEIFbL/2 yzLx- -= = =)4/32 22 2ll /4 y1x
37、=l/21x=l/2- -(6lEIFl 2/4z z= =Fl 348EIz z=-=-30已有结果：已有结果：已有结果：已有结果：x xy yB BA Aa ab bL LF FLEIbLFabzA6)(+ +- -= =q qLEIaLFabzB6)(+ += =q q转转转转角角角角情况二：情况二：情况二：情况二：xyBAFD3l/4la a=3=3l l/4/4b=b=l l/4/4F(F(3 3l l2 2/16/16)(5)(5l l/4)/4)A2A2l lEIEIz z6 6- -= = = =q q q q- -= = = =EIEIz z1281285 5Fl Fl 2
38、2挠度挠度挠度挠度4/3(6222/LbLEIFbL/2 yzLx- -= = =)4/32 22 2ll /16 y2 2x=l/2x=l/2- -(6lEIFl 2/8z z= =11Fl 3768EIz z=-=-F(F(3 3l l2 2/16/16)(7)(7l l/4)/4)B2B2l lEIEIz z6 6= = = =q q q q= = = =EIEIz z1281287 7Fl Fl 2 231情况一：情况一：情况一：情况一：xyBAFCl/2l情况二：情况二：情况二：情况二：xyBAFD3l/4l叠加后得到：叠加后得到：叠加后得到：叠加后得到：l/4xyBAFCl/2l/
39、4FDlA1A1= = = =q q q q- -EIEIz z48483Fl 3Fl 2 2B1B1= = = =q q q qEIEIz z48483Fl 3Fl 2 2 y1C1CFl 348EIz z=-=-A2A2= = = =q q q q- -EIEIz z1281285 5Fl Fl 2 2 y2C2C11Fl 3768EIz z=-=-B2B2q q q q= = = =EIEIz z1281287 7Fl Fl 2 2A A= = = =q q q q- -EIEIz z3843843939Fl Fl 2 2B B= = = =q q q qEIEIz z384384454
40、5Fl Fl 2 2 yC C27Fl 3768EIz z=-=-返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录32除保证梁的强度条件外，还可能要求变形不能除保证梁的强度条件外，还可能要求变形不能超过允许的限度。即需满足梁的刚度条件：超过允许的限度。即需满足梁的刚度条件： ；y、q q分别为构件的许用挠度和许用转角。分别为构件的许用挠度和许用转角。一般主要是控制挠度。一般主要是控制挠度。 梁的刚度条件梁的刚度条件返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录33例例例例9.149.14中矩形截面梁中矩形截面梁中矩形截面梁中矩形截面梁h h/ /b b=2=2。若。若。若。若q q=10kN/m =10kN
41、/m ，L L=3m=3m，E E=200GPa=200GPa， s s s s=120MPa=120MPa， y y=L/250=L/250，试设计截面。，试设计截面。，试设计截面。，试设计截面。解解解解: 1. : 1. 求支承反力求支承反力求支承反力求支承反力 F FA A= =qLqL=30kN=30kN，MMA A=-=-qLqL2 2/2=45kN.m/2=45kN.mLAq qxByF FA AMMA A得到：得到：得到：得到：2.按强度条件设计按强度条件设计按强度条件设计按强度条件设计 -固定端处固定端处固定端处固定端处(A(A截面截面截面截面) )弯矩最大弯矩最大弯矩最大弯矩
42、最大强度条件强度条件强度条件强度条件: :326max322s sMbbhWbhz = = = =343. 3. 按刚度条件设计按刚度条件设计按刚度条件设计按刚度条件设计自由端自由端自由端自由端( (B B处处处处) )的挠度最大：的挠度最大：的挠度最大：的挠度最大：刚度条件为：刚度条件为：刚度条件为：刚度条件为： 即：即：即：即：有：有：有：有：b b= =maxmax 8.25 8.25，8.92 8.92 9cm9cm， h h=18cm=18cm。得到：得到：得到：得到：LAq qxBy35讨论：如何提高梁的强度和刚度讨论：如何提高梁的强度和刚度强度条件强度条件强度条件强度条件: :刚
43、度条件刚度条件刚度条件刚度条件: : 措施：措施：措施：措施：降低降低降低降低 MMmaxmax提高提高提高提高WWz z、I Iz z FLFL/4/4y yo oF FL L/2/2L L/2/2MMy yo oF FL L/3/3L L/3/3MMFLFL/6/6L L/3/3加复梁加复梁加复梁加复梁载荷均布载荷均布载荷均布载荷均布悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁降低降低降低降低 MMmaxmax：y yo oq q= =F F/ /L LL LMMFLFL/8/8y yo oF FL LMMFLFL/2/2L L/2/2增加支点增加支点增加支点增加支点36 提高提高提高提高WWz z、I Iz
44、 z： 截面设计应尽可能使材料远离中性轴截面设计应尽可能使材料远离中性轴z。拉压性能不同时，截面上下缘拉压性能不同时，截面上下缘应同时达到许用应力。应同时达到许用应力。讨论：如何提高梁的强度和刚度讨论：如何提高梁的强度和刚度 = =AzdAyI2y y ，I Iz z 、WWz z 。C Cmaxs压压压压maxs拉拉拉拉MM空心空心空心空心截面截面截面截面工字工字工字工字 钢钢钢钢槽槽槽槽 钢钢钢钢？EI是抗弯刚度，提高是抗弯刚度，提高E，当然，当然可以增加刚度、减少变形。但可以增加刚度、减少变形。但钢材钢材E相差不大。相差不大。返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录371 1）平面弯曲：
45、载荷均作用在梁的纵向对称面内，）平面弯曲：载荷均作用在梁的纵向对称面内，）平面弯曲：载荷均作用在梁的纵向对称面内，）平面弯曲：载荷均作用在梁的纵向对称面内， 变形后梁的轴线仍在该平面内。（讨论直梁）变形后梁的轴线仍在该平面内。（讨论直梁）变形后梁的轴线仍在该平面内。（讨论直梁）变形后梁的轴线仍在该平面内。（讨论直梁）2 2 2 2）梁的内力有剪力、弯矩。）梁的内力有剪力、弯矩。）梁的内力有剪力、弯矩。）梁的内力有剪力、弯矩。作内力图基本方法：作内力图基本方法：作内力图基本方法：作内力图基本方法：求约求约求约求约束反束反束反束反力力力力截取截取截取截取研究研究研究研究对象对象对象对象受受受受力力
46、力力图图图图列平列平列平列平衡方衡方衡方衡方程程程程内力内力内力内力方程方程方程方程画内画内画内画内力图力图力图力图必须必须必须必须掌握掌握掌握掌握小小 结结38 3 3）梁横截面上的正应力）梁横截面上的正应力）梁横截面上的正应力）梁横截面上的正应力s s s s呈线性呈线性呈线性呈线性 分布，其大小为分布，其大小为分布，其大小为分布，其大小为 s s s s = =MyMy/ /I Iz z 正负由弯曲后的拉压情况判断。正负由弯曲后的拉压情况判断。正负由弯曲后的拉压情况判断。正负由弯曲后的拉压情况判断。 4 4）中性轴过截面形心，该处正应力）中性轴过截面形心，该处正应力）中性轴过截面形心，该
47、处正应力）中性轴过截面形心，该处正应力s s s s 等于零。等于零。等于零。等于零。5 5）梁的弯曲强度条件：）梁的弯曲强度条件：）梁的弯曲强度条件：）梁的弯曲强度条件： I I 为截面对为截面对为截面对为截面对z z 轴的惯性矩，轴的惯性矩，轴的惯性矩，轴的惯性矩，WW 为抗弯截面模量。为抗弯截面模量。为抗弯截面模量。为抗弯截面模量。z zz z6 6）矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大）矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大）矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大）矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大剪应力在中性轴处且等于平均剪应力的剪应力在中性轴处且等于平均剪应力的剪应力在中性轴处且等于平均剪应力的剪应力在中性轴处且等于平均剪应力的1.51.5倍。倍。倍。倍。C CMMy ymax压压smax拉拉s39再再 见见习题习题: : 9-13 返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录40
