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1、第三章第三章 稳健估计稳健估计 主要内容主要内容概述概述 稳健估计原理稳健估计原理 稳健估计的选权迭代法稳健估计的选权迭代法一次范数一最小估计的线性规划法一次范数一最小估计的线性规划法稳健估计精度评定稳健估计精度评定数据探测法数据探测法 现代测量平差理论中，考虑粗差产生的原因和影响，在数据处理时可将粗差归为函数模型，或归为随机模型。将粗差归为函数模型，粗差即表现为观测误差绝对值较大且偏离群体；将粗差归为随机模型，粗差即表现为先验随机模型和实际随机模型的差异过大。第一节 模型误差与稳健估计 将粗差归为函数模型，可解释为均值漂移模型，其处理的思想是在正式进行最小二乘平差之前探测和定位粗差，然后剔除
2、含粗差的观测值，得到一组比较净化的观测值，以便符合最小二乘平差观测值只具有偶然误差的条件； 将粗差归为随机模型，可解释为方差膨胀模型，其处理的思想是根据逐次迭代平差的结果来不断地改变观测值的权或方差，最终使粗差观测值的权趋于零或方差趋于无穷大，这种方法可以保证所估计的参数少受模型误差，特别是粗差的影响。一、模型误差一、模型误差 实际模型与所建模型之差称为模型误差。模型误差分为随实际模型与所建模型之差称为模型误差。模型误差分为随机误差、系统误差和粗差。机误差、系统误差和粗差。二、稳健估计的概念及任务二、稳健估计的概念及任务 1概念概念 所谓稳健估计，是在粗差不可避免的情况下，选择适当的所谓稳健估
3、计，是在粗差不可避免的情况下，选择适当的估计方法，使所估参数尽可能减免粗差的影响，得出正常模式估计方法，使所估参数尽可能减免粗差的影响，得出正常模式下最佳或接近最佳的估值。下最佳或接近最佳的估值。 稳健估计与经典估计理论的根本区别在于前者是把稳健估稳健估计与经典估计理论的根本区别在于前者是把稳健估计理论建立在符合于观测数据的实际分布模式而不是像后者那计理论建立在符合于观测数据的实际分布模式而不是像后者那样建立在某种理想的分布模式上。样建立在某种理想的分布模式上。 2目标目标 （1在采用假定模型下，所估计的参数应具有最优或接近在采用假定模型下，所估计的参数应具有最优或接近最优性；（最优性；（2如
4、果实际模型与假定模型存在较小的偏差，则对如果实际模型与假定模型存在较小的偏差，则对应的估计参数所受影响也较小；（应的估计参数所受影响也较小；（3即使实际模型与假定模型即使实际模型与假定模型有较大的偏差，其参数估值的性能也不应太差，亦即不至于对有较大的偏差，其参数估值的性能也不应太差，亦即不至于对估值产生灾难性的后果。估值产生灾难性的后果。3、稳健估计讨论问题方式、稳健估计讨论问题方式 稳健估计的原则是要充分利用观测数据或样本中的有效信息，限制利用可用信息，排除有害信息。由于事先不大准确知道观测数据中有效信息和有害信息所占比例以及它们具体包含在哪些观测中，从抗差的主要目标着眼是要冒损失一些效率的
5、风险，去获得较可靠的、具有实际意义的、较有效的估值。第二节 稳健估计原理一、影响函数一、影响函数 影响函数是用来判断估计统计量对异常值敏感程影响函数是用来判断估计统计量对异常值敏感程度的指标，反映了在不同位置上异常数据对估值所造度的指标，反映了在不同位置上异常数据对估值所造成的相对影响的大小。成的相对影响的大小。影响函数的定义式为：影响函数的定义式为：其中其中F为正常观测值的分布函数，为正常观测值的分布函数，x为异常观测值为异常观测值引起的阶跃分布函数。引起的阶跃分布函数。当以一个小的概率出现的异常值的分布函数成为F： 因此估计统计量与正常观测值下的估计函数描述了异常值对估计函数的影响，这就是
6、影响函数的实现含义。之差， 在实用中可剔除一组含粗差数据s后，由其余n-s个数据得到的估值 与全部数据获得估值 之差求出s个数对估值的影响函数 该式刻画了剔除的数据对估值的影响大小或敏感程度。 因而，影响函数可用来刻划各种稳健估计方法而且作为其稳定性的度量。 二、广义极大似然估计二、广义极大似然估计MM估计）估计） 设有参数向量X，是未知的非随机量，为了估计X，进行n次观测，得到了观测向量L的观测值l，由极大似然估计有：三、顺序统计量线性组合估计三、顺序统计量线性组合估计L L估计）估计） 设Ll1,l2,ln为相互独立具有同一分布F的随机变量，把lii=1，2，n按其大小顺序排列得：四、秩检
7、验型估计四、秩检验型估计R R估计）估计）第三节、选权迭代法一、选权迭代法的基本思想 由M估计式：二、计算程序二、计算程序计算程序为：（1列立误差方程，令观测权函数初值为1。（2解算法方程95），得出x和v的第一次估值。（3由v确定各观测权函数，再解算法方程，类似迭代计算，直至前后两次解的差符合限差要求为止。（4得到最后结果。三、几种常用的选权迭代法三、几种常用的选权迭代法第四节 一次范数最小估计的线性规划法一、线性规划的基本概念线性规划的数学模型为： 目标函数：f(X)=CTX=min 约束条件： AX=b (96) X0在数学模型中，变量X为n1向量，C是目标函数系数n1向量，b是约束条件
8、m1常数向量，A为参数的mn系数矩阵。n称为线性规划的维数，m称为线性规划的阶数。 对于具体问题，应用上述数学模型可作如下考虑： （1）、若要求目标函数f(X)=max,只需将其进行转换，求函数-f(X)的最小值，所求参数不变。 （2）、当第i个约束条件为：ai1x1+ai2x2+ainxnbi或（bi可以引入松弛变量xn+i0,使不等式成为：ai1x1+ai2x2+ainxnxn+i=bi （3）、若某些变量xj可正可负，一般可引进变量xj=xj-xj.要求xj，xj0。 在线性规划中，通常称满足约束条件Ax=b和x0的解为可行解，所有可行解组成的集合称为可行解集，或称可行域。 在一般线性规
9、划问题中，mn,约束条件AX=b有无穷多个解，如任取其中n-m)个参数令其为零，可解出其余m个不全为零的一组参数，由此得到的解X=x1,x2,xm,0,0T称为X的基本解，而满足非负条件x0的基本解，又是可行解，称为基本可行解。基本可行解全体组成的点集称为基本可行解系，其中大于零的分量称为基本变量，其余为非基本变量。 二、单纯形法 单纯形法的基本思想是：根据线性规划的数学模型，从方程AX=b的基本可行解开始，在它所有相邻的可行解中选择使目标函数有较大下降的可行解代替原来的解，这是一次迭代，经过有限次迭代，当目标函数达到极小值时，便得到最优解。三、一次范数最小估计的单纯形算法第五节、等价权原理第六节 秩亏自由网参数的稳健估计 第七节 稳健选权迭代估计精度评定 第八节 数据探测法一、粗差对残差的影响二、单个粗差检验的巴尔达法 巴尔达数据探测法的基本思想：假定平差系统只有一个观测存在粗差，并纳入函数模型，用统计假设检验方法检测粗差并剔除粗差。剔除含有粗差的观测值后，建立新的平差系统，若仍存在粗差，再假设只存在一个粗差，逐次不断进行，直至判断不再含有粗差。三、多维粗差统计假设检验
