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1、数学教学内容的设计 -数学概念的教学设计12.1.1数学概念学习的本质1.本质：概括出数学中的一类事物对象的共同本质属性，正确区分同类事物的本质属性与非本质属性，正确形成数学概念的内涵和外延。数学概念学习的内容（）数学概念 的名称（）数学概念 的定义（）数学概念 的例子（）数学概念 的属性一数学概念学习的本质2概念教学的本质要使学生在脑中形成概念表象，帮助学生在脑中建构起良好的概念图式。人类获取概念的主要方式是概念的形成和概念的同化。概念的形成概念的形成是指从大量的具体例子出发，归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程概念的同化概念的同化是指学习者利用原有认知结构中的观念来理解接纳新概念的过程。
2、3二数学概念学习的四种水平了解了解 能回忆出概念的言语信息；能辨认出概念的常见例证；会举例说明概念的相关属性理解理解 能把握概念的本质属性；能与相关概念建立联系；能区别概念的例证与反例。掌握掌握 在理解的基础上，能把概念运用于新的情境。综合运用综合运用 能综合运用概念解决问题。4三概念设计的几个阶段引入、形成、巩固、运用等几个阶段1、引入：在人们的思维中，对某一类事物的本质属性有了完整的反映，才能说形成了这一类事物的概念，而只有运用抽象思维概括出本质属性，才能从整体上、从内部规律上把握概念所反映的对象。概念教学设计时：讲清概念的定义。充分揭示概念定义的本质特征，使学生确切理解所讲概念。在利用图
3、形引进概念时，要注意图形的变式，以舍弃无关特征，突出对象的关键属性，使获得的概念更准确易于迁移。另外，应使学生明确表示概念的符号的含义。5掌握内涵。概念的内涵有的是由定义推演得到的，如平行四边形的定义；有的还必须借助其他概念和知识的积累而趋于完善，如正方形的内涵。 完成分类。掌握概念不仅要掌握概念的内涵，而且要掌握概念的外延，这是概念的质和量的表现。掌握有关概念间的逻辑联系。每一个概念处在和其他一些概念的一定关系、一定联系中，引导学生正确地认识有关数学概念之间的逻辑联系，认识他们外延之间的联系，通过比较加深对概念的理解，促使知识系统化、条理化。62、巩固：首先，引入新练习后及时让学生做一些巩固
4、练习；其次用后次复习前次概念，进行知识的返回、再现。还要注意概念的比较，针对数学概念中容易出错的地方、易混淆和难理解的概念，有目的地设计一些问题，运用分析比较的方法，指出他们的相同点和不同点，供学生鉴别，以加深印象。如排列与组合、随机相象与随机事件等。再次要及时小结或总结，在讲完某一节或某一单元后，注意引导学生进行知识内容的小结和总结。概念是其中的主要内容，包括概念间的区别及联系等，使学生的概念知识系统化、条理化。最后要解题及反思，解题是使学生熟练掌握概念和数学方法的手段。73、运用。数学概念的运用是指学生在理解概念的基础上，运用它去解决同类事物的过程。数学概念的运用有两个层次：一是知觉水平上
5、的运用，是指学生在获的同类事物的概念后，当遇到这类事物的特例时，就能立即把它看作这类事物中的具体例子，将它归入一定的知觉类型；另外一种是思维水平上的运用，是指学生学习的新概念被纳入水平较高的原有概念中，新概念的运用必须对原有概念重新组织和加工，以满足解当时问题的需要。因此数学概念运用的设计应注意精心设计例题和习题，着重强调数学概念的简单运用和灵活运用。8为了帮助学生透彻理解并掌握所学的概念，教师应注意一下问题：1.加强对数学概念的解剖分析2.利用变式，突出概念的本质属性3.注意概念的对比和直观化4.注意概念体系的建构5.注意概念产生的背景见书：分母有理化教学过程92.1.2概念形成的教学设计案
6、例:(见书)映射的概念数学概念形成的教学模式 数学概念形成是从大量的实际例子出发，经过比较,分类从中找出一类事物的本质属性,然后通过具体的例子对所发现的属性进行检验与校正,最后通过概括得到数学概念的定义. 数学概念的形成是由特殊到一般,由具体到抽象的过程.因此对于那些初次接触或较难理解的数学概念,可以采取概念的形成方式进行学习.其教学过程为:提供概念例证-抽象出本质属性,形成初步概念-概念的深化-概念的运用10 1、概念形成的教学模式、概念形成的教学模式操作步骤操作步骤具体例子具体例子观察共性观察共性抽象本质抽象本质形成定义形成定义强化概念强化概念概念应用形成概念域（系）形成概念域（系）概念应
7、用概念应用112.数学概念形成的教学案例课题:任意角(见书)122.1.3概念同化的教学设计 概念同化是美国心理学家戴维奥苏伯尔提出的一种概念学习形式,指的是新信息与原有的认知结构中有关概念相互发生作用,实现新旧知识的意义的同化,从而使原有认知结构发生某种变化. 概念的同化实质上是学习者利用已掌握的概念去理解新概念,或者对原有概念重新进行加工整理的过程,它是一种有意义的学习.13以概念同化的方式来学习新概念必备的3个条件:(1).学习者必须具备我要学的动力.(2).新概念必须有逻辑意义(3).学生原有的认知结构中必须具备同化新概念所需要的基础.14概念同化是由一般到特殊,由总结概括概念认识从属
8、概念的过程,具体心理发展过程如下:(1)揭示概念的本质属性,给出定义,名称和符号(2)对概念进行特殊分类,用变式的方法突出本质 属性(3)建立新旧概念之间的联系(4)辨认肯定例证和否定例证,使新旧概念精确分化(5)通过实际应用强化概念,将新概念纳入相应的概念体系中.151.数学概念同化的教学模式 数学概念同化的学习过程是直接揭示数学概念的本质属性,通过对概念的分类和比较,建立与原有认知结构中的有关数学概念的联系,明确新的数学概念的内涵与外延;再通过实例的辨认,将新数学概念与原有认知结构中的某些概念相区别;并将新的数学概念纳入到相应的数学系统中,从而完善原有的认知结构,即在数学概念的教学当中,把
9、概念的意义直接以定义的形式呈现给学生,学生再利用自己认知结构中已有的适当知识和观念理解其意义,从而获得新的概念.16概念同化的教学过程:提供定义-解释定义,突出关键属性-辨别例证,促进迁移-运用概念2.数学概念同化的教学设计案例函数的单调性17案例案例 “代数式概念代数式概念”两种教学设计的对比两种教学设计的对比（ 1）介绍代数式概念）介绍代数式概念直接端出第三个馒头。直接端出第三个馒头。（2）给给出出一一些些代代数数式式、非非代代数数式式的的例例子子，带带领领学学生生参参照照概概念念的的定定义义，辩辩别别哪哪些些是是代代数数式式，哪哪些些不不是是代代数数式式教教师师示示范吃第三个馒头的过程。
10、范吃第三个馒头的过程。（3）提提供供若若干干个个辨辨别别代代数数式式的的练练习习，让让学学生生仿仿照照刚刚才才的的方方法解决它们法解决它们学生吃第三个馒头的过程。学生吃第三个馒头的过程。第一种第一种“代数式概念代数式概念”教学的设计是：教学的设计是：18（1）按按图图示示的的方方式式，搭搭1个个正正方方形形需需要要4根根小小棒棒，搭搭2个个正正方方形形需需要要 要要小小棒棒。需需要要 根根小小棒棒，搭搭3个个正正方方形形需需要要 根根小棒，搭小棒，搭4个正方形个正方形（2）搭搭10个个这这样样的的正正方方形形需需要要多多少少根根小小棒棒？搭搭100个个这这样样的正方形呢？你是怎样想到的？的正方
11、形呢？你是怎样想到的？（3）如如果果用用x表表示示所所搭搭正正方方形形的的个个数数，那那么么搭搭x个个这这样样的的正正方方形形需需要要多多少少根根小小棒棒？你你是是怎怎样样表表示示搭搭x个个这这样样的的正正方方形形需需要多少根小棒的？与同伴进行交流。要多少根小棒的？与同伴进行交流。第二种第二种“代数式概念代数式概念”教学的设计是：教学的设计是：出示右图：出示右图： ， ， 19对两种设计的点评：对两种设计的点评： 第二种设计是让学生通过活动来认识理解代数式概念第二种设计是让学生通过活动来认识理解代数式概念的。学生在这一活动中经历了一个有价值的探索过程：如的。学生在这一活动中经历了一个有价值的探
12、索过程：如何由若干个特例归纳出其中所蕴含的一般数学规律；同时，何由若干个特例归纳出其中所蕴含的一般数学规律；同时，尝试用数学符号表达自己的发现，与同伴交流。在活动中，尝试用数学符号表达自己的发现，与同伴交流。在活动中，学生不仅接触到了代数式，更了解到为什么要学习代数式，学生不仅接触到了代数式，更了解到为什么要学习代数式，还通过经历应用数学解决问题的过程感受到了数学的价值。还通过经历应用数学解决问题的过程感受到了数学的价值。当然，从事这个探索性活动也非常有益于学生归纳能力的当然，从事这个探索性活动也非常有益于学生归纳能力的发展，进一步来说，活动过程本身也是一个锻炼克服困难发展，进一步来说，活动过
13、程本身也是一个锻炼克服困难的意志、建立自信心的过程，还是实现数学思考、解决问的意志、建立自信心的过程，还是实现数学思考、解决问题、情感与态度等目标的途径题、情感与态度等目标的途径。 2021222324252627数学教学内容的设计 -数学原理的教学设计28数学原理学习的本质 1.原理的学习实际上是学习一些概念之间的关系2.原理学习不是习得描述原理的言语信息，而是习得原理的心理意义，它是一种有意义的学习3.原理学习实质上是习得 产生式。只要条件信息一满足，相应的行为反应就自然出现。学习者据此指导自己的行为并解决遇到的新问题。4.习得原理不是孤立地掌握一个原理，而是要在原理之间建立联系，形成原理
14、网络。原理主要包括公式、法则、定理和性质。29数学原理学习的四种水平了解了解 能回忆出原理的言语信息；能辨认出原理的常见例证；会举例说明原理的相关属性理解理解 能把握原理的本质属性；能与相关原理建立联系；能区别原理的例证与反例。掌握掌握 在理解的基础上，能直接把原理运用于新的情境。综合运用综合运用 能综合运用原理解决问题。30数学原理学习的形式1.由例子到原理的学习:指从若干例证中归纳出一般结论的学习。它是一种发现学习。他对学生的认知水平要求比较高，他概括的是由某些概念构成的特定关系。2.由原理到例子的学习：指先向学生呈现要学习的原理，然后再用实例说明原理，从而使学生掌握原理的学习。这是一种接
15、受学习。31例子-原理的教学设计1.例子-原理的教学模式 是一种由特殊到一般，由具体到抽象的过程。 其教学过程为：提供丰富的例证-提出假设-验证假设、进行推理论证和概括-提炼思想方法和原理的运用。案例：三角形三边的关系322.原理-例子的教学设计 条件是学生必须事先掌握构成原理的各个概念和原理。案例：两角差的余弦公式33例题、练习设计34v数学例题的设计 常规课堂教学，从应用的用途上分：有数学例题、数学习题、数学讨论等几种。1、数学例题的设计数学例题的设计具有引入新知识、解题示范、加深理解、提高能力等功能。例题的选择应具有目的性、典型性、启发性、科学性、变通性和有序性。课本例题一般具有典型性和
16、示范性，但设计时不排除对课本例题的深入剖析、改造与深化。例题的设计一般分例题的选择、例题的编排。352、数学习题的设计习题按题型可分封闭性和开放性的习题.选择习题的原则:温故原则:即选择容纳尽可能多的知识点的习题解疑原则:即针对学生的学习误区设计习题普化原则:即设计能从中提炼数学通性、通法以及可以普遍化的习题。习题可分求解题和求证题.习题客观性题和主观性题.36习题的编制1、演绎法这是一种从一般真命题或一组条件出发，通过逻辑推理编制数学习题的方法。例1 有这样一个真命题“二次方程有实根 ”据此，可任意取 ，从而编拟出一类条件不等式题。372、倒推法这时一种先给出题目预期结果，由此结果倒推处所需
17、要的条件的一种编制数学习题的方法。如根式 的编制,分为四步:1）任写出一个数字 为方程的根。2）写一个包括2的数字恒等式。如 2+4=6即 3）把16写成关于 的代数式384）3、基本量法在这个问题系统中，存在着n个量，使其余所有量都可以用这n个量来表示，而这n个量中的任何一个都不能用其他n-1个量来表示，我们就称这n个量为基本量。通过给出基本量来编制数学习题的方法叫做基本量法。a=5,b=12,c=13 4、模拟法根据已知题目的数量特征、结构特征、图形特征或求解思路，进行模仿编拟。为了得到更有创新性的题目这种模拟不仅需要类比，而且还常常作推广。 395、改编法就是直接将概念、定理、成题改编为
18、题目，常用的方法有：仿造、推演、转化、逆转、改变信息形态、改变条件或结论等。6、数学开放性问编制数学封闭性问题一般指条件完备、结论确定唯一的条件完备、结论确定唯一的数学问题。数学问题。 数学开放性问题是指数学问题中对探求目标只作原则数学问题中对探求目标只作原则性要求，其正确结论的个数不确定性要求，其正确结论的个数不确定。 40l数学开放性问题的特征数学开放性问题的特征（1）、非完备性。 （2）、不确定性。 （3）、发散性和探究性 （4）、层次性。 （5）、教师的主导性。 （6）、创新性 41l数学开放性问题设计的方法数学开放性问题设计的方法NPCAOMBD（1）、弱化封闭性问题的条件，使其结论
19、多样化。例如，弱化命题“怎样将一个正方形分割成9个同样大小的小正方形”的限制条件“同样大小的”，可得到以下开放性问题： 怎样将一个正方形分割成9个小正方形。（2）、隐去封闭性问题的结论，使其指向多样化。例如，如图，0是等腰梯形ABCD的内切圆，M、N、P分别为0与AB、CD、BC的切点，求证：OCOM=CPBO,OP=CNBM隐去此题的结论“OCOM=CPBO,OP=CNBM”，把它改编成具有多种指向的开放性问题：如图，0位等腰梯形ABCD 的内切圆M,N,P分别为0与AB,CD,BC的切点，由这些条件可得到哪些结论？本题可以从1)解的互余；2）角的互补；3)线段的相等；4）线段的和、差关系；
20、5）支线的相互垂直；6）比例线段；7）线段的比例中项关系；8）相似三角形；等方面去探索结论。42（3）、在给定的条件下，探求多种结论。这种方法与上述“隐去封闭性问题的结论”方法具有相似之处，不过隐去结论需封闭性问题作基础，这里则可更加“任意”与“自由”地构建条件或关系，使得在这种情形下引出多种结论。例如，在三角形ABC中，a=3，b=4，在此条件下可得什么结论?本题可以从三角形的边、角、面积、角的平分线、中线、外接圆半径、内切圆半径以及三角形的形状等多种角度加以探讨。（4）、给定结论，寻求使结论成立的充分条件。例如，已知四边形ABCD,仅从下列条件中任取两个加以组合，能否得出ABCD是平行四边
21、形的结论？ ABCD；BCAD；AB=CD；BC=AD；A=C；B=D； 这道开放性问题可以在进行“平行四边形 A B的判定”时作为学生课前活动。 oD C43（5）、比较某些对象的异同点 。 例如，试比较下列两个单项式的异同： 12a2b2c; 8a3xy（6）、利用不同知识的联系与区别进行推广或类比。（7）、考虑原名题的逆命题。（8）、在实际情境中，寻求多种解法与结论。 44数学习题的教学习题课设计常用的13种方式：1.新课之后单项练习2.习旧引新的练习3.显示思维过程的练习4.巩固教学重点的练习5.突破难点的练习6.发展性练习7.综合性练习458.培养能力的练习9.伸缩性的练习10.关键
22、部分集中练习11.变式练习12.沟通知识系统的练习13.错题集中辨析练习案例：函数及图像（习题课）46v数学讨论设计讨论是教师和学生、学生与学生之间的一种互动方式，通过相互交流观点，形成对某一个问题的较一致的评价或判断。讨论有以下功能：培养批判思维的能力、激发学生学习的主动性和积极性、培养数学交流能力、相互启发共同提高。数学讨论问题的设计：1、使学生明确讨论的问题。考虑学生已有知识、能力情况是讨论的起点，教师在准备讨论问题时必须注意问题难度以及学生的知识、能力水平。472、给学生充足的讨论空间。在整个讨论中，要留给学生充分的讨论时间，使学生自由思考，体验中学习。3、反馈调节。教学反馈从内容上分，主要有学生学习兴趣的反馈、知识理解程度的反馈、掌握知识与运用能力的反馈、思维发展情况的反馈等。48
