《2.3隐函数的导数和高阶导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.3隐函数的导数和高阶导数（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数主要任务：熟练掌握隐函数求法，主要任务：熟练掌握隐函数求法，了解高阶导数的概念，熟练掌握初了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的高阶导数的求法等函数的高阶导数的求法. . 2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数重点：掌握隐函数求导法及高阶导数求法重点：掌握隐函数求导法及高阶导数求法难点：掌握隐函数求导难点：掌握隐函数求导2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数2.3.1 隐函数的导数隐函数的导数定义定义: :隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导
2、?2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例1 1解解解得解得2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例2 2解解所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点.2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例3 3解解2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数2.3.3 2.3.3 对数求导法对数求导法观察函数观察函数方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数
3、和高阶导数例例4 4解解等式两边取对数得等式两边取对数得2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例5 5解解等式两边取对数得等式两边取对数得2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数小结小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率. .2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数 案例案例案例案例 加速度的表示加
4、速度的表示加速度的表示加速度的表示 我们知道，变速直线运动的速度我们知道，变速直线运动的速度我们知道，变速直线运动的速度我们知道，变速直线运动的速度v v( (t t) )是路程函数是路程函数是路程函数是路程函数s s( (t t) ) 关于时间关于时间关于时间关于时间t t t t的导数，即的导数，即的导数，即的导数，即 或或或或 ，而加速度，而加速度，而加速度，而加速度 a a又是速度又是速度又是速度又是速度v v( (t t) )关于时间关于时间关于时间关于时间t t的导数，即的导数，即的导数，即的导数，即或或或或 我们称这种导数我们称这种导数我们称这种导数我们称这种导数 的导数的导数的
5、导数的导数 或或或或 为为为为s s( (t t) )对对对对t t的二阶导数。的二阶导数。的二阶导数。的二阶导数。 2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数1.1.高阶导数的定义高阶导数的定义定义定义2.3.4 2.3.4 高阶导数高阶导数2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数 进一步的练习进一步的练习进一步的练习进一
6、步的练习在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车练习练习练习练习1 1 刹车测试刹车测试刹车测试刹车测试 假设汽车作直线运动，求汽车在假设汽车作直线运动，求汽车在假设汽车作直线运动，求汽车在假设汽车作直线运动，求汽车在t t=4s=4s时的速度和时的速度和时的速度和时的速度和加速度加速度加速度加速度 行驶的距离（单位：行驶的距离（单位：行驶的距离（单位：行驶的距离（单位：mm）与时间与时间与时间与时间t t ( (单位：单位：单位：单位：s) s)满足满足满足满足2.32.3
7、隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数汽车刹车后的速度为汽车刹车后的速度为汽车刹车后的速度为汽车刹车后的速度为 解解解解(m/s)(m/s)， 汽车刹车后的加速度为汽车刹车后的加速度为汽车刹车后的加速度为汽车刹车后的加速度为 (m/s(m/s2 2) )， t t=4s=4s时，汽车的速度为时，汽车的速度为时，汽车的速度为时，汽车的速度为 t t=4s=4s时，汽车的加速度为时，汽车的加速度为时，汽车的加速度为时，汽车的加速度为 0 0(m/s)(m/s)， (m/s(m/s2 2) )， 2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数练习练习练习练习2222通货膨涨通货膨涨通
8、货膨涨通货膨涨 在通货膨涨期间，在通货膨涨期间，在通货膨涨期间，在通货膨涨期间， p p ( (t t) )将迅速增加。将迅速增加。将迅速增加。将迅速增加。(1) (1) (1) (1) 通货膨涨仍然存在。通货膨涨仍然存在。通货膨涨仍然存在。通货膨涨仍然存在。(2) (2) (2) (2) 通货膨涨率正在下降。通货膨涨率正在下降。通货膨涨率正在下降。通货膨涨率正在下降。(3) (3) (3) (3) 在不久的将来，物价将稳定下来。在不久的将来，物价将稳定下来。在不久的将来，物价将稳定下来。在不久的将来，物价将稳定下来。请用请用请用请用p p ( (t t) )的导数描述以下叙述：的导数描述以下
9、叙述：的导数描述以下叙述：的导数描述以下叙述： 设函数设函数设函数设函数p p ( (t t) )表示在时刻表示在时刻表示在时刻表示在时刻t t t t某种产品的价格，则某种产品的价格，则某种产品的价格，则某种产品的价格，则2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来 解解解解 (1)(1)(1)(1)表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在。表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在。表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在
10、。表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在。(2)(2)(2)(2)表示通货膨涨存在，表示通货膨涨存在，表示通货膨涨存在，表示通货膨涨存在， 表示通货膨涨率正在下降；表示通货膨涨率正在下降；表示通货膨涨率正在下降；表示通货膨涨率正在下降； (3)(3)(3)(3)2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数2. 2. 高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1解解由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例2 2解解2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例3 3解解2.32.3隐函数的
11、导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例4 4解解2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例5 5解解同理可得同理可得2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例6 6解解2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例7 7解解2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数3.高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例8 8解解2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数常用高阶导数公式常用高阶导数公式2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例9 9解解2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例1010解解2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数例例11设设 连续，且连续，且 ，求求 .解解可导可导不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求2.32.3隐函数的导数和高阶导数隐函数的导数和高阶导数小结小结高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;
