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1、 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第第第第2 2 2 2节节节节 正项级数敛散性的判别正项级数敛散性的判别正项级数敛散性的判别正项级数敛散性的判别第七章 无穷级数第二节第二节 正项级数敛散性的判别正项级数敛散性的判别常数项级数 正项级数 交错级数任意项级数一般项级数一.正项级数的审敛法正项级数收敛的充要条件比较判别法 比值判别法 根值判别法1.正项级数的定义若级数则称之为正项级数.定义2.正项级数收敛的充要条件正项级数Sn 有界.定理7.1级数是否收敛？该级数为正项级数, 又有(n =1, 2, )故 当n 1 时, 有即其部分和数列 Sn 有界, 从而, 级数解解 例13. 正项级数敛散
2、性的比较判别法且 0 un vn ( n = 1, 2, )大收小收, 小发大发.记 0 un vn (n = 1, 2, ) 0 Sn Gn证证 (1)记 0 un vn (n = 1, 2, ) 0 Sn Gn证证 (2)判断级数的敛散性. ( 0 x 0 ) 的敛散性.当 p1时, P 级数为调和级数:它是发散的.当 0 p 1 时, 按 1, 2, 22, 23, , 2n, 项而对 P 级数加括号, 不影响其敛散性： 故当 p 1 时, P 级数收敛.综上所述: 当当 p p 1 1 时时, P , P 级数收敛级数收敛. . 当当 p p 1 1 时时, P , P 级数发散级数发
3、散. .4.比较判别法的极限形式 由于( 0 0, N 0, 当 n N 时,不妨取运用比较判别法可知,具有相同的敛散性.证证(1) 当 0 0, 当 n N 时,故由比较判别法, 当 = 0 时,证证(2)由于( = ) M 0 (不妨取 M 1) , 即由比较判别法,证证(3)故 N 0, 当 n N 时,当 = 时, 0 vn 0 为常数).因为( 即 = 1 为常数 )又是调和级数, 它是发散的,发散.解解原级数故 例45. 比值判别法(1) 1 ( 包括 = ) 时, 级数发散；(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.利用级数本身利用级数本身来进行判别来进行判别. .判别级数
4、的敛散性, 其中, x 0 为常数.即 = x2解解记则 例5当 0 | x | 1 时, 1 时, 1, 级数发散.当 | x | =1 时, = 1, 但原级数此时为这是 n = 2 的 P 级数, 是收敛的.综上所述, 当 0 1 时, 原级数发散.由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛. 由级数收敛的必要条件得 例6解解6. 柯西根值判别法(1) 1 ( 包括 = )时, 级数发散；(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.解解例7 判别的敛散性. ( x 0, a 0 为常数) 记解解即当 x a 时,当 0 x a 时,当 x = a 时, = 1, 但故此时原级数发散.（级数收敛的必要条件）例8当 0 x a 时, 原级数收敛;当 x a 时, 原级数发散.综上所述,
