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1、八年级八年级 上册上册 13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 为什么有的人会经常践踏草地呢？为什么有的人会经常践踏草地呢？ 禁止践踏禁止践踏 爱护草坪爱护草坪 绿地里本没有路，走的人多了绿地里本没有路，走的人多了 两点之间，线段最短两点之间，线段最短 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路可供选择，你会选地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？走哪条路最近？你的理由是什么？ CA D EB 两点之间两点之间,线段最短线段最短 F 要在河边修建一个泵站向张村引水，在何要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？处修建才
2、能使所用引水管道最短？为什么？ 张村张村 泵站泵站 河流河流 垂线段最短 前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线两点的所有连线中，线 段最短段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为等的问题，我们称它们为 最短路径问题最短路径问题 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题 . .本节本节 将利用数学知识探究数学史中著名的将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问将军饮马问题题” 将军饮马问题：将军饮马问题： 两点之间线段最短这个问题早
3、在古罗马时代就两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：向他请教一个百思不得其解的问题： 将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡 A A出发，到城堡出发，到城堡B B，途中，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？ 这就是被称为这就是被称为 将军饮马将军饮马 而广为流传的问题。而广为流传的问题。 ( (一一将将军饮马军饮马： ) )两点在一
4、条直线两侧两点在一条直线两侧 例例1.1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡如图：古希腊一位将军骑马从城堡 A A到城堡到城堡B B，途中，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？ 最短路线：最短路线： A -P- B. A P B 根据：根据： 两点之间线段最短两点之间线段最短. 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧 例例2.2.如图：一位将军骑马从城堡如图：一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B， 途途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？路程最短？ A B 河河 将将A，B 两地抽象
5、为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线抽象为一条直线 前面的问题就转化为：当饮马点前面的问题就转化为：当饮马点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时， AC 与与CB 的和最小的和最小 做法：（做法：（1）作点）作点B关于直线关于直线l 的对称点的对称点B； （2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交于点相交于点C 利用对称：将利用对称：将B 则点则点C 即为所求即为所求 两条线段的和两条线段的和A C 河边河边 转化到一条直转化到一条直线上线上，运用两，运用两点之间线段最点之间线段最短求最小值短求最小值 B 你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明 AC + +BC最短吗？
6、最短吗？ 证明：如图，在直线证明：如图，在直线 l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不 重合），连接重合），连接AC，BC，BC B 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， A BC = =BC，BC=BC AC + +BC C l = = AC + +BC = = AB， C AC + +BC = = AC+ +BC 在在ABC中中， B ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即即 AC +BC 最短最短 证明证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线 l 上上 任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC + +BC
7、？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点 A C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离 和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + C BC 最小最小 C B l B 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？助什么解决问题的？ B 轴对称轴对称 A C C l B ( (二二) )一次轴对称：一次轴对称：两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧 . A. C. Bl. B. A活动一：活动一： 甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现甲、乙两村之间隔
8、一条河，如图所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？的行程最短，桥应修在何处？ B A 活动一：活动一： 甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？的行程最短，桥应修在何处？ D B B1 A 利用平移：将利用平移：将折线和的最小折线和的最小值，值，转化到一转化到一条直线上条直线上，用，用两点之间线段两点之间线段最短求最小值最短求最小值 c 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借回顾前面的探究过程，我们
9、是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？助什么解决问题的？ 平移平移 活动二活动二 如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公司司A A在锐角内现在要在河边建一个码头在锐角内现在要在河边建一个码头 C C，在公路边，在公路边D D修修建一个仓库，工人们从公司出发，先到建一个仓库，工人们从公司出发，先到 河边的码头卸货，河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到 A A处，问处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短 河流河流 C 公司公司 A B
10、 公路公路 活动二活动二 抽象成数学模型：抽象成数学模型： 点点A A在在MONMON内，在边内，在边MOMO和和NONO上各找一点上各找一点B B、C C使使 AC+CB+BAAC+CB+BA（即（即ABCABC的周长）的距离最短。的周长）的距离最短。 N C 公司公司 A 提示一：提示一：求三角形求三角形周长的最小值可转周长的最小值可转化为一条直线上化为一条直线上 M O B 活动二活动二 抽象成数学模型：抽象成数学模型： 点点A A在在MONMON内，在边内，在边MOMO和和NONO上各找一点上各找一点B B、C C使使 AC+CB+BAAC+CB+BA（即（即ABCABC的周长）的距离
11、最短。的周长）的距离最短。 河流河流 A2 C 公司公司 A 利用对称：将利用对称：将三角形三边和，三角形三边和，转化到一条直转化到一条直线上线上，用两点，用两点之间线段最短之间线段最短求最小值求最小值 公路公路 B A1 我思考我思考,我我进进步步 变式思考变式思考 活跃思维活跃思维 活动三：活动三：根据上述原理回答：在两条互相垂直根据上述原理回答：在两条互相垂直的公路的公路a a、b b旁有两个居民小区旁有两个居民小区 A A、B B，现要在这，现要在这两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，应建两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，应建在何处，使得两居民小区在何处，使得两居民小区 A A、B
12、B与这两个奶站所与这两个奶站所围成的四边形的周长最小？围成的四边形的周长最小？ 公路公路b 公路公路a D C B A 我思考我思考,我我进进步步 变式思考变式思考 活跃思维活跃思维 活动三活动三 抽象成数学模型：在直线抽象成数学模型：在直线 a a和直线和直线b b上各找一点上各找一点C C、D D，使，使AB+AD+CD+BCAB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。（即围成的四边形）的最小值。 提示一：提示一：AB为定值，为定值，公路公路b 只需求折线只需求折线AD、CD、BC和的最小值。和的最小值。 C 公路公路a D B A 我思考我思考,我我进进步步 变式思考变式思考 活跃
13、思维活跃思维 活动四活动四 抽象成数学模型：在直线抽象成数学模型：在直线 a a和直线和直线b b上各找一点上各找一点C C、D D，使，使AB+AD+CD+BCAB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。（即围成的四边形）的最小值。 公路公路b B1 公路公路a D A1 A C B 利用对称：三利用对称：三边和边和转化到一转化到一条直线上条直线上，用，用两点之间线段两点之间线段最短求最小值最短求最小值 探究二：探究二： 在河边有在河边有A、B两个村庄，要在河边建两个村庄，要在河边建立水泵站，要使它到两个村庄的距离之立水泵站，要使它到两个村庄的距离之差最大，请你确定水泵站的位置？差最大
14、，请你确定水泵站的位置？ 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧 A C B 当当A、B、C三点共线时，三点共线时，| |CBCA| |最大最大 C 问：两边之差问：两边之差| |CBB CA|A|是否存在最值问题？是否存在最值问题？ 探究二：探究二： 在河两边有在河两边有A、B两个村庄，要在河边两个村庄，要在河边建立水泵站，要使它到两个村庄的距离建立水泵站，要使它到两个村庄的距离之差最大，请你确定水泵站的位置？之差最大，请你确定水泵站的位置？ 两点在一条直线两侧两点在一条直线两侧 B P1 A 探究二：探究二： 两点在一条直线两侧两点在一条直线两侧 抽象成数学模型：抽象成数学模型： A、B两点
15、分别在直线两点分别在直线L的两侧，在直线的两侧，在直线L上取一点上取一点P使使PBPA最大。最大。 作作提示：提示： B B的对称点的对称点B1B1，将，将PB-PAPB-PA转化到同侧转化到同侧 B P1 A 探究二：探究二： 抽象成数学模型：抽象成数学模型： A、B两点分别在直线两点分别在直线L的两侧，在直线的两侧，在直线L上取一点上取一点P使使PBPA最大。最大。 B P P1 A B1 利用对称：将利用对称：将两线段之差两线段之差转转化到三角形中化到三角形中比较，当三点比较，当三点共线时求线段共线时求线段差的最大值差的最大值 小结小结 （1）本节课研究问题的基本过程是什么？）本节课研究
16、问题的基本过程是什么？ （2）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？ 能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想思想 利用轴对称或平移实质是利用轴对称或平移实质是 将折线段转化为直线段，将折线段转化为直线段， 利用利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短 ”来解决问题来解决问题 两条线段两条线段和和的最的最小小值值 两点之间，线段最短两点之间，线段最短 两条线段两条线段差差的最的最大大值值 三角形两边之差小于第三边三角形两边之差小于第三边 当当Q运动到运动到F 时，即时，即C、D、F三点三点当当P运动到运动到E时，时，PAPB最小最小 共线时，共线时，| |QDQC| |最大最大
