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1、Chapter 2(2)偏导数与高阶偏导数 返回一一. .偏导数偏导数二二. .高阶偏导数高阶偏导数三三. .偏导数在经济分析中的应用偏导数在经济分析中的应用8.28.2 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数目的要求目的要求: :一一. .理解多元函数的偏导数的概念理解多元函数的偏导数的概念二二. .熟练掌握求一阶和二阶偏导数的方法熟练掌握求一阶和二阶偏导数的方法重点：重点：一一. .一阶、二阶偏导数计算一阶、二阶偏导数计算三三. .熟练掌握偏导数在经济分析中的应用熟练掌握偏导数在经济分析中的应用二二. .偏导数的经济应用偏导数的经济应用 与一元函数类似，二元函数关于自变量的变与一元函数类似，
2、二元函数关于自变量的变 数学上，人们将这种变化率称之为数学上，人们将这种变化率称之为偏导数偏导数。第二节第二节 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数而对另一个自变量求变化率而对另一个自变量求变化率。我们可按实际需要，我们可按实际需要，把其中的一个自变量视为常数把其中的一个自变量视为常数情况下，二元函数的自变量都是情况下，二元函数的自变量都是彼此无关彼此无关的，的，化率仍然是一个十分重要的概念。由于在通常的化率仍然是一个十分重要的概念。由于在通常的所以所以，繁啦！烦 多多元元函函数数的的偏偏导导数数是是一一元元函函数数导导数数的的推推广广, ,其其计计算算往往往往是是借借用用一一元元函函数数的的
3、导导数数计计算算公公式式和和方方法法, ,但但实际计算往往较繁实际计算往往较繁. . 在在推推广广中中有有一一些些东东西西将将起起质质的的变变化化. .我我们们通通常常介介绍绍二二元元函函数数的的情情形形, , 所所得得结结果果可可以以推推广广到到更更高高元元的的函函数数中中, , 一般一般不会遇到不会遇到原则性问题原则性问题. .第二节 偏导数与高阶偏导数一一 、偏导数的定义及其计算、偏导数的定义及其计算在西方经济学中，柯布在西方经济学中，柯布- -道格拉斯生产函道格拉斯生产函这里这里 为常数，为常数， 当劳动力投入不变时当劳动力投入不变时,产产量对资本投入的变化率为量对资本投入的变化率为
4、当资本投入不变时，产当资本投入不变时，产量对劳动力投入的变化率量对劳动力投入的变化率 该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下，的条件下，Q表示产量表示产量.别表示投入的劳动力数量和资本数量，别表示投入的劳动力数量和资本数量，分分数为数为引例引例对另一个变量的变化率对另一个变量的变化率. . 第二节 偏导数与高阶偏导数 （1 1）函数的偏改变量（偏增量）函数的偏改变量（偏增量） 函数函数在点在点处的偏增量为处的偏增量为: :及及1. 1. 二元函数的偏增量和全增量二元函数的偏增量和全增量 第二节 偏导数与高阶偏导数沿此曲沿此曲线计算的函数在算
5、的函数在点点 P 处的增的增量量为偏增量偏增量第二节 偏导数与高阶偏导数（2 2） 函数的全改变量（全增量）函数的全改变量（全增量） 或或函数函数在点在点处的全增量为处的全增量为: :第二节 偏导数与高阶偏导数2. 2. 偏导数概念偏导数概念 设函数设函数 z = f (x, y) 在点在点(x0, y0)的某一邻域内的某一邻域内有定义有定义, 则称此极限值为则称此极限值为z=f (x,y)在点在点(x0,y0)处对处对x的的记为记为一元函数导数一元函数导数如果极限存在如果极限存在,函数有增量函数有增量相应相应(1)定义定义当当y 固定在固定在y0 , 而而 x 在在x0 处有增量处有增量x时
6、时, 偏导数偏导数.第二节 偏导数与高阶偏导数即即类似地类似地, 函数函数z = f (x, y)在点在点(x0, y0)处对处对y的偏导数为的偏导数为也可记为也可记为变量 x 和 y 的偏导数均存在 , 则称函数若函数 在点 处关于在点可偏导.2. 2. 偏导数概念偏导数概念在区域 D内的任一点若函数内可偏导.处均可偏导 , 与一元函数的情况类似, 函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数, （2）二元函数的偏导函数（偏导数）分别记作函数在区域上的偏导数.一般仍称为在区域 D则称函数第二节 偏导数与高阶偏导数偏导数的概念可以推广到偏导数的概念可以推广到二元以上的多元函数二元以上的多元函数.如函数
7、如函数 在在 处处 第二节第二节 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数 注意！偏导数的符号是一个整体记号,与的商.不能像一元函数那样将看成是 全导数全导数第二节 偏导数与高阶偏导数可以看出可以看出: 定定义时, 变量量 y 是不是不变的的, 实际上上,是是对函数函数, 将将 y 视为常数常数, 关于关于变量量 x 按按一元一元函数函数导数的定数的定义进行的：行的：实质实质上是上是上是上是2.2.偏导数的计算偏导数的计算 求多元函数的偏求多元函数的偏导数数相相应的一元函数的的一元函数的导数数. 实质上是求上是求忘忘记了了, 请赶快复赶快复习一下一下.如果一元函数的求如果一元函数的求导方法和公式方
8、法和公式2.2.偏导数的计算偏导数的计算 多元函数的偏多元函数的偏导数的数的计算方法算方法,没有任何没有任何技技术性的新性的新东西西.求偏导数时求偏导数时, ,只要将只要将 n 个自变量个自变量中的某一个看成中的某一个看成变量变量, ,自变量均视为自变量均视为常数常数, , 的求导方法的求导方法进行计算即可进行计算即可 . .方法方法:其余的其余的 n1个个 然后然后按一元函数按一元函数2.2.偏导数的计算偏导数的计算 将将 y 看成常数时看成常数时, , 将将 x 看成常数时看成常数时, , 解解是对幂函数求导是对幂函数求导. .是对指数函数求导是对指数函数求导. .例例1 求函数求函数 的
9、偏导数的偏导数.2.2.偏导数的计算偏导数的计算 例例2 求函数求函数 的偏导数的偏导数.例例2 求函数求函数 的偏导数的偏导数.解解2.2.偏导数的计算偏导数的计算 例例3 求函数求函数 在点在点(1, 3) 处对处对x 和和 y 的偏导数的偏导数. 例例3 求函数求函数 在点在点(1, 3) 处处对对x 和和 y 的偏导数的偏导数.解解将点将点(1,3)代入上式，得代入上式，得可得可得所以所以在求在求定点处定点处的导数时，的导数时，先代入固定变量取值，先代入固定变量取值，然后再求导，可简化求导计算。然后再求导，可简化求导计算。2.2.偏导数的计算偏导数的计算 或或例例4 设设 求求 解解所
10、以所以二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算例例 求函数求函数 的偏导数的偏导数.对对x求偏导数就是视求偏导数就是视y, z为常数，对为常数，对x求导数求导数同理同理因为因为解解2.2.偏导数的计算偏导数的计算 例例5 5解解求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求由偏导数定义可知：由偏导数定义可知：故故2.2.偏导数的计算偏导数的计算 小结小结二、多元函数的偏导数的概念与计算二、多元函数的偏导数的概念与计算一、多元函数的连续性一、多元函数的连续性Chapter 2(3)、2（4）一、偏导数与高阶偏导数二、全微分P52 3. 确定并画出下列函数的定义域确定并画出下列函数的定义域:解解函数的定
11、义域为函数的定义域为要使函数有意义须满足要使函数有意义须满足作业讲评:OxySolution.所求定义域为所求定义域为作业讲评:Solution. P58 1. 求下列极限求下列极限 由夹逼准则由夹逼准则 即即 P59.4.P59.4.讨论下列函数的连续性讨论下列函数的连续性解解Chapter 2(3)、2（4）一、偏导数与高阶偏导数二、全微分 复习二、多元函数的偏导数的概念与计算一、多元函数的连续性 二元初等函数在其定义区域内处处连续二元初等函数在其定义区域内处处连续.3.3.二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义 当当 y = y0时时, 曲面曲面z = f (x, y)与平面与
12、平面 y = y0 的交线方程的交线方程为为在点在点 M0(x0, y0, z0) 处处由一元函数导数的几何意义知由一元函数导数的几何意义知 ：fx (x0, y0) 几何意义几何意义是是对对x 轴的切线斜率轴的切线斜率. 同理同理二元函数二元函数 z =f (x, y) 的图形表示空间一张曲面的图形表示空间一张曲面.曲线曲线即即fx (x0, y0), 第二节第二节 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数4.4.偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系 对于二元函数偏导数与连续的关系如何？对于二元函数偏导数与连续的关系如何？连续连续解解一元函数可导与连续的关系：一元函数可导与连续的关系：可导可导由
13、偏导数定义由偏导数定义例例第二节第二节 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数所以，函数在所以，函数在(0, 0) 处对变量处对变量 x，y 的偏导数存在的偏导数存在.让让 沿直线沿直线 而趋于（而趋于（0,0），），它将随它将随k k的不同而具有不同的值，的不同而具有不同的值，结论：结论：二元函数偏导数存在二元函数偏导数存在, ,但未必连续但未必连续. .则有则有所以函数在所以函数在(0,0)处不连续处不连续.不存在不存在.因此极限因此极限求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求4.4.偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系 例例 说明二元函数说明二元函数 ，在点，在点(0,0)处是连续的处是连续
14、的, 但在但在(0,0)点偏导数不存在点偏导数不存在.解解所以，函数所以，函数 在点处在点处(0,0)连续连续.又因为又因为极限不存在，极限不存在，因为因为所以偏导数不存在所以偏导数不存在. 结论：结论：二元函数二元函数连续连续, ,但但偏导数偏导数未必未必存在存在. .4.4.偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系 对多元函数来说对多元函数来说, ,函数的偏导数函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系存在与否与函数的连续性无必然关系. .这是多元函数与一元函数的这是多元函数与一元函数的一个本质区别一个本质区别. .偏导数存在偏导数存在 连续连续. .一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导
15、 连续连续， 可见，多元函数的理论除了与一元函数的理可见，多元函数的理论除了与一元函数的理论有许多论有许多类似类似之处，也是还有一些之处，也是还有一些本质本质的差别。的差别。二、高阶偏导数 设函数设函数 z = f (x, y) 在区域在区域 D内有偏导函数内有偏导函数 与与 有下列有下列四个二阶偏导数四个二阶偏导数按求导顺序不同按求导顺序不同, 偏导数偏导数. 则称其偏导数为二阶则称其偏导数为二阶且其偏导数仍存在且其偏导数仍存在, 一个多元一个多元函数的函数的 n 1 阶偏导数的偏导数阶偏导数的偏导数, 例例1 求求 的二阶偏导数的二阶偏导数.解解高阶偏导数的求导原则是高阶偏导数的求导原则是
16、逐阶求导逐阶求导.二阶及二阶以上的偏导数称为二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数高阶偏导数.同样可定义三阶、四阶以至同样可定义三阶、四阶以至 n 阶偏导数阶偏导数.n阶偏导数阶偏导数. 称为原来函数的称为原来函数的1、先求一阶偏导数、先求一阶偏导数 2、再求二阶偏导数、再求二阶偏导数称为称为一阶偏导数一阶偏导数 （低阶偏导数低阶偏导数）.二、高阶偏导数解解二、高阶偏导数原原函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形二二阶阶混混合合偏偏导导函函数数图图形形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：二、
17、高阶偏导数解解例例3 求求 的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数. 此例中两个二阶混合偏导数相等此例中两个二阶混合偏导数相等. 如果函数如果函数z =f (x, y)在开区域在开区域 D上二阶混合偏导数上二阶混合偏导数连连续续, 在什么条件下在什么条件下两个混合偏导数相等？两个混合偏导数相等？ 两个混合偏导数也未必一定相等两个混合偏导数也未必一定相等,数运算的次序不同，数运算的次序不同，但是由于求偏导但是由于求偏导定理定理则在该区域上任一点处必有则在该区域上任一点处必有 即：二阶混合偏导数在即：二阶混合偏导数在连续连续的条件下与求导的的条件下与求导的次序次序无关无关,这给混合偏导数的计算带来了方便
18、这给混合偏导数的计算带来了方便.二、高阶偏导数问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？解解例例4 4求求问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？显然显然Solution.例例5 5二、高阶偏导数Proof.例例6 6二、高阶偏导数证明证明 这是因为连续只保证当点这是因为连续只保证当点(x, y)以任意方式趋于点以任意方式趋于点 (x0, y0) 时时,二元函数连续与偏导数之间关系：二元函数连续与偏导数之间关系：连续连续 偏导数偏导数(x0, y0) 点时点时, 变化率存在变化率存在. 但不能保证点但不能保证点(x, y)函数函数 f (x, y) 趋于趋于 f (x0, y0). 沿着平行坐标轴方向趋于沿着平行坐标轴方向趋于(x0, y0) 时时, 反之反之, 偏导数存在偏导数存在. 只能保证当只能保证当点点(x, y)沿着平行坐标轴的方向趋于沿着平行坐标轴的方向趋于f (x, y) 趋于趋于f (x0,y0), (x, y) 以任意方式趋于点以任意方式趋于点(x0, y0) 时时, f (x, y) 趋于趋于f (x0, y0).但不能保证当点但不能保证当点函数函数 f (x, y)变化率存在变化率存在,此时沿着平行坐标轴的方向此时沿着平行坐标轴的方向 二、高阶偏导数
