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1、 8.5圆的综合问题中考数学中考数学 (河北公用河北公用)一、与圆相关的翻折问题一、与圆相关的翻折问题好题精练1.(2021邯邯郸一模一模,25)如如图1,知以知以AE为直径的半直径的半圆圆心心为O,半径半径为5,矩形矩形ABCD的的顶点点B在直在直径径AE上上,顶点点C在半在半圆上上,AB=8,点点P为半半圆上一点上一点.(1)矩形矩形ABCD的的边BC的的长为;(2)将矩形沿直将矩形沿直线AP折叠折叠,使点使点B落在点落在点B处.点点B到直到直线AE的最大的最大间隔是隔是;当点当点P与点与点C重合重合时,如如图2所示所示,AB交交DC于点于点M,求求证:四四边形形AOCM是菱形是菱形,并并
2、经过证明判明判别CB与半与半圆的位置关系的位置关系;当当EBBD时,直接写出直接写出EB的的长.图1 图2解析解析(1)4.衔接接OC,OB=8-5=3,OC=5,BC=4.(2)8.(提示提示:当当ABAE时,点点B到直到直线AE的的间隔最大隔最大,最大最大间隔是隔是8.)证明明:由折叠可知由折叠可知OAC=MAC.OA=OC,OAC=OCA,OCA=MAC,OCAM,又又CMOA,四四边形形AOCM是平行四是平行四边形形,又又OA=OC,AOCM是菱形是菱形.结论:CB与半与半圆相切相切.证明明:由折叠可知由折叠可知ABC=ABC=90.OCAM,ABC+BCO=180,BCO=90,CB
3、OC,OC为半半圆的半径的半径,CB与半与半圆相切相切.4+2或4-2.提示:过点B作BGAE.假设EBBD,那么有ABD=AEB.tanABD=,tanAEB=.设BG=x,EG=2x,那么AG=10-2x.在RtABG中,AB2=AG2+BG2,82=(10-2x)2+x2,解得x=4,EB=x=42. 2.如如图,O的半径的半径为6,AB为弦弦,将将O沿弦沿弦AB所在的直所在的直线折叠后折叠后,上的点上的点H与与圆心心O重合重合.(1)求弦求弦AB的的长度度;(2)点点E是是上的上的动点点,过点点E作作的切的切线交交O于于C、D两点两点.当点当点E与点与点O重合重合时,判判别CD与与AB
4、的位置关系的位置关系,并并阐明理由明理由;当点当点C与点与点A重合重合时,判判别CD与与AB的数量关系的数量关系,并并阐明理由明理由;请直接写出直接写出线段段CD的的长度的范度的范围.解析解析(1)如如图,衔接接OH,交交AB于于M,衔接接BO,O的半径的半径为6,沿沿AB折叠折叠,H和和O重合重合,OM=HM=3,OHAB,由勾股定理得由勾股定理得BM=3,由垂径定理得由垂径定理得AB=2BM=6.(2)当点当点E与点与点O重合重合时,CDAB,理由如下理由如下:如如图1,衔接接HE,OH是半径是半径,CD切切H于于E,OHCD,OHAB,CDAB.如图2,当点C与点A重合时,CD=AB=6
5、.理由如下:衔接HD,CD切H于A,HACD,HAD=90,HD为直径,即HD=26=12,AH=6,在RtDAH中,AD=6,即CD=AB=6.6CD12.思思绪分析分析(1)衔接接OH,交交AB于于M,衔接接BO,根据勾股定理求出根据勾股定理求出BM,根据垂径定理求出根据垂径定理求出AB=2BM,得出弦得出弦AB的的长;(2)衔接接EH,根据折叠得出根据折叠得出ABOH,根据切根据切线的性的性质定理得出定理得出OHCD,可推可推出出CD与与AB的位置关系的位置关系;先判先判别HD为O的直径的直径,然后在然后在RtDAH中求出中求出AD的的长,即可得出即可得出CD=AB;当点当点C和和A或或
6、B重合重合时,CD=AB,当和当和A、B不重合不重合时,根据直径是最根据直径是最长的弦的弦,得得CD=12,从而可得出从而可得出线段段CD的的长度的范度的范围.二、与圆相关的旋转问题二、与圆相关的旋转问题1.(2021保定保定竞秀一模秀一模,25)知矩形知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以以AB为直径的半直径的半圆O在矩形在矩形ABCD的外的外部部(如如图1),将半将半圆O绕点点A顺时针旋旋转度度(0180).(1)半半圆的直径落在的直径落在对角角线AC上上时,如如图2所示所示,半半圆与与AB的交点的交点为M,求求AM的的长;(2)半半圆与直与直线CD相切相切时,切点切点为N,与与线段段AD
7、的交点的交点为P,如如图3所示所示,求劣弧求劣弧AP的的长;(3)在旋在旋转过程中程中,半半圆弧与直弧与直线CD只需一个交点只需一个交点时,设此交点与点此交点与点C的的间隔隔为d,直接写出直接写出d的的取取值范范围.解析解析(1)如如图1,衔接接BM,图1在在RtABC中中,AB=4,BC=3,AC=5,AB为直径直径,AMB=90.AMB=ABC=90,BAM=CAB,ABCAMB.=,=,AM=.(2)如如图2,衔接接NO并延伸交并延伸交BA的延伸的延伸线于点于点Q,衔接接OP.图2半圆弧与直线CD相切于点N,ONCN,NQ=AD=3,ON=2,OQ=1.在RtOAQ中,sinOAQ=,O
8、AQ=30,PAO=60,又OA=OP,APO为等边三角形,AOP=60,的长度=.(3)4-d4或d=4+.详解:当B第一次落在CD上时(如图3),半圆弧开场与直线CD有交点.此时AD=3,AB=AB=4,DB=,CB=d=4-.从图3开场半圆弧与直线CD有一个交点,当点B第二次落在直线CD上时(如图4),半圆弧开场与直线CD有两个交点.此时半圆弧与直线CD的交点与点D重合并且出现第二个交点,即d=4.当半圆弧与直线CD相切时(如图2),半圆弧与直线CD只需一个交点,此时,AQ=DN=,CN=4+.d的取值范围是4-d4或d=4+.思思绪分析分析(1)利用利用圆周角定理和周角定理和类似三角形
9、的性似三角形的性质引出含有引出含有AM的等式得解的等式得解;(2)利用切利用切线的的性性质先求得先求得OQ的的长,进而得出而得出OAQ和和PAO的大小的大小,最后利用弧最后利用弧长公式求出公式求出的的长;(3)弄弄清半清半圆弧与直弧与直线CD的交点情况的界点即可得的交点情况的界点即可得d的取的取值范范围.2.(2021保定保定莲池一模池一模,25)在等在等边AOB中中,将扇形将扇形COD按按图1摆放放,使其半径使其半径OC、OD分分别与与OA、OB重合重合,OA=OB=2,OC=OD=1,等等边三角形三角形AOB不不动,让扇形扇形COD绕点点O逆逆时针旋旋转,线段段AC、BD也随之也随之变化化
10、,设旋旋转角角为(04,边AC与M有一个公共点,AC和M 相切或点C在M内,AC与M相切时,x是M的半径,x=,当点C刚好落在M上时,如图,衔接CM,AM,过点M作MGAC,在RtCMG中,GM2=CM2-CG2,AC=AG+CG=4,GM2=CM2-(4-AG)2,在RtAMG中,GM2=AM2-AG2,CM2-(4-AG)2=AM2-AG2,()2-(4-AG)2=(2)2-AG2,AG=,x=MG=,0x或x=.思思绪分析分析(1)先利用切先利用切线的性的性质得出得出GAN=2MAN,再利用三角函数求出再利用三角函数求出MAN,进而得而得出出的的值.(2)把三角形把三角形ABC绕A旋旋转
11、120就能得到就能得到图形形.先求出先求出NE的的长,作作MFDE,在在RtMFQ中中,利用勾股定理可求出利用勾股定理可求出QF,根据垂径定理知根据垂径定理知QF就是弦就是弦PQ的一半的一半,即可求出即可求出PQ的的长.过M作作AD的垂的垂线,垂足垂足为H,先判先判别MAN=MAD,然后利用角平分然后利用角平分线的性的性质定理可得定理可得MN=MH进而得解而得解.(3)分两种情况分两种情况AC与与M相切或点相切或点C在在M内部内部,利用勾股定理即可得出利用勾股定理即可得出结论.三、与圆相关的平移与滚动问题三、与圆相关的平移与滚动问题1.(2021秦皇秦皇岛海港一模海港一模,25)如如图,在等在
12、等边ABC中中,AB=3,点点O在在AB的延伸的延伸线上上,OA=6,且且AOE=30.动点点P从点从点O出出发,以每秒以每秒个个单位的速度沿射位的速度沿射线OE方向运方向运动,以以P为圆心心,OP为半径作半径作P,同同时点点Q从点从点B出出发,以每秒以每秒1个个单位的速度沿折位的速度沿折线B-C-A向点向点A运运动,Q与与A重合重合时,P,Q同同时停停顿运运动.设P的运的运动时间为t秒秒.(1)当当POB是直角三角形是直角三角形时,求求t的的值;(2)当当P过点点C时,求求P与与线段段OA圆成的封成的封锁图形的面形的面积;(3)当当P与与ABC的的边所在直所在直线相切相切时,求求t的的值;(
13、4)当当线段段OQ与与P只需一个公共点只需一个公共点时,直接写出直接写出t的取的取值范范围.解析解析(1)衔接接OC,ABC=60,OB=BC,AOC=BCO=30,OE经过点点C,ACO=90,当当PBO=90时,OP=2(如如图1).所以所以t=2.图1当BPO=90时,OP=OBcos 30=(如图2).所以t=.所以,当t=或t=2时,POB是直角三角形.(2)当点P运动到OC中点时,P过点C,设P交OA于点F,图2PO=PF,POF=PFO=30,OPF=120,又PO=,OF=,点P到OF的间隔为.S弓形=S扇形OPF-SOPF=-=-或S弓形=S扇形OCF+SOPF=+图3=+.
14、(3)P不能够与AB所在直线相切.当P与AC所在直线相切时,切点为点C(如图4).ACO=90,当点P运动到OC中点时,P与AC边所在直线相切,图4此时t=.当P与BC的边所在直线相切时,切点为点B(如图5).PBC=90,PB=OP=PCsin 30=PC,OP=.此时t=1,当t=1或t=时,P与ABC的边所在直线相切.(4)t的取值范围是t6.图5详解:开场运动后,OQ与P有两个公共点,不断到P过点Q(如图6).从这个时辰后不断到停顿运动,OQ与P只需一个公共点.OP=t,OC=3,BQ=t,BC=3.=,PQOB.QPC=BOC=30,图6QPC=OCB=30,PQ=CQ,t=3-t,
15、解得t=.t的取值范围为t6.2.(2021邢台模邢台模拟,25)如如图,A=45,ABC=60,ABMN,BHMN于点于点H,BH=8,点点C在在MN上上,点点D在在AC上上,DEMN于点于点E,半半圆的的圆心心为点点O,直径直径DE=6,G为的中点的中点,F是是上的上的动点点.发现:CF的最小的最小值是是,CF的最大的最大值为.探求探求:沿直沿直线MN向右平移半向右平移半圆.(1)当当G落在落在ABC的的边上上时,求半求半圆与与ABC重合部分的面重合部分的面积;(2)当点当点E与点与点H重合重合时,求半求半圆在在BC上截得的上截得的线段段长;(3)当半当半圆与与ABC的的边相切相切时,求求
16、CE的的长.解析解析发现:如如图1,图1当当F与与E重合重合时,CF的最小的最小值为CE的的长=6.当当CF经过圆心心时,CF的的长最大最大,最大最大值=OC+OF=+3=3+3.探求探求:(1)如如图2,当点当点G落在落在AC边上上时,点点E与与C重合重合,衔接接OG,图2G为的中点,那么DOG=GOC=90,半圆与ABC重合部分的面积=扇形ODG的面积+OCG的面积=32+33=+.如图3,当点G落在BC上,图3OGMN,BGO=BCE=60,设BC与半圆相交的另一个点为S,衔接OS,OS=OG,OSG是等边三角形,半圆与ABC重叠部分的面积=扇形OGS的面积-OGS的面积=32-32=-
17、 .综上,当G落在ABC的边上时,半圆与ABC重合部分的面积为+或-.(2)点E与H重合时,BH=8,OE=3,BO=5,设BC交半圆于R、T,OPRT于点P,那么PT=PR,图4CBE=30,OP=,衔接OR,那么RP=,RT=2PR=.(3)如图5,当半圆与AC相切时,设切点为K,那么CK=CE,作KUDE于U,图5KOE=45,OK=3,KU=OU=,EU=3-,作KLMN于L,可得KL=EU,KCL=45,CK=CE=KL=EU=3-3.如图6,当半圆与BC相切时,设切点为W,衔接OW,那么CE=CW,OCE=OCW=30,图6OE=3,tan 30=,CE=3.所以当半圆与ABC的边
18、相切时,CE=3-3或3.思思绪分析分析发现:当当F与与E重合重合时,CF的最小的最小值为CE的的长.当当CF经过圆心心时,CF的的长最大最大.探探究究:(1)分两种情形分两种情形,当点当点G落在落在AC边上上时,点点E与与C重合重合,半半圆与与ABC重合部分的面重合部分的面积=扇形扇形ODG的面的面积+OCG的面的面积;当点当点G落在落在BC上上时,重叠部分的面重叠部分的面积=扇形扇形OGS的面的面积-OGS的的面面积.(2)点点E与与H重合重合时,BH=8,OE=3,BO=5,作作OPRT,先求出先求出OP的的长,然后利用勾股定理求得然后利用勾股定理求得PR,即可求出即可求出RT的的长.(
19、3)当半当半圆与与AC相切相切时,设切点切点为K,那么那么CK=CE,作作KUDE于于U,根据根据CK=EU得解得解;当半当半圆与与BC相切相切时,设切点切点为W,衔接接OW,那么那么CE=CW,在在RtCOE中中,解直角三角解直角三角形即可形即可.3.(2021石家庄模石家庄模拟,24)如如图1,等等边ABC的的边长为3,分分别以以顶点点B、A、C为圆心心,BA长为半径半径作作、,我我们把把这三条弧所三条弧所组成的成的图形称作莱洛三角形形称作莱洛三角形,显然莱洛三角形依然是然莱洛三角形依然是轴对称称图形形,设点点I为对称称轴的交点的交点.(1)如如图2,将将这个个图形在形在线段段MN上做无滑
20、上做无滑动的的滚动,当它当它滚动一周后点一周后点A与端点与端点N重合重合,那么那么线段段MN的的长为;(2)如如图3,将将这个个图形的形的顶点点A与等与等边DEF的的顶点点D重合重合,且且ABDE,DE=2,将它沿等将它沿等边DEF的的边做无滑做无滑动的的滚动,当它第一次回到起始位置当它第一次回到起始位置时,求求这个个图形在运形在运动过程中所程中所扫过的区的区域的面域的面积;(3)如如图4,将将这个个图形的形的顶点点B与与O的的圆心心O重合重合,O的半径的半径为3,将它沿将它沿O的的圆周做无滑周做无滑动的的滚动,当它第当它第n次回到起始位置次回到起始位置时,点点I所所经过的途径的途径长为.(请
21、用含用含n的式子表示的式子表示)解析解析(1)等等边ABC的的边长为3,ABC=ACB=BAC=60,=,l=l=l=,线段段MN的的长为l+l+l=3.(2)如如图,由由题意知意知,AGAF,又又ABDE,等等边DEF的的边长为2,等等边ABC的的边长为3,S矩形矩形AGHF=23=6,易知易知BAG=120,S扇形扇形BAG=3,图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3(S矩形AGHF+S扇形BAG)=3(6+3)=27.(3)如图,衔接BI并延伸交AC于D,衔接AI,I是ABC的外心也是内心,DAI=30,AD=AC=,OI=AI=,当它第1次回到起始位置时,点I所经过的途径是以O为圆心,
22、OI为半径的圆周长,当它第n次回到起始位置时,点I所经过的途径长为n2=2n.思思绪分析分析(1)先求出先求出的弧的弧长,继而得出莱洛三角形的周而得出莱洛三角形的周长为3,即可得出即可得出MN的的长;(2)先判先判断出莱洛三角形断出莱洛三角形绕等等边DEF一周一周扫过的面的面积的的图形形,再求面再求面积;(3)先判先判别出莱洛三角形的一出莱洛三角形的一个个顶点和点和O重合旋重合旋转一周点一周点I的途径的途径,再用再用圆的周的周长公式即可得出点公式即可得出点I所所经过的途径的途径长.一、与圆相关的翻折问题一、与圆相关的翻折问题教师公用题组教师公用题组1.如如图,在在O中中,AB为直径直径,点点C
23、为圆上一点上一点,将劣弧将劣弧沿弦沿弦AC翻折翻折,交交AB于点于点D,衔接接CD,假假设BAC=20,那么那么BDC=()A.80B.70C.60D.50答案答案B如如图,衔接接BC,AB是是O的直径的直径,ACB=90,BAC=20,B=90-BAC=90-20=70.根据翻折的性根据翻折的性质,所所对的的圆周角周角为B,所所对的的圆周角周角为ADC,ADC+B=180,又又ADC+BDC=180,BDC=B=70,应选B.思思绪分析分析衔接接BC,根据直角三角形两根据直角三角形两锐角互余求出角互余求出B,再根据翻折的性再根据翻折的性质得到得到ADC+B=180,进而推出而推出BDC=B,
24、即可得出即可得出结论.2.如如图,扇形扇形OAB的半径的半径为4,AOB=90,P是半径是半径OB上一上一动点点,Q是弧是弧AB上的一上的一动点点.(1)当当P是是OB中点中点,且且PQOA时(如如图1),弧弧AQ的的长为;(2)将扇形将扇形OAB沿沿PQ对折折,使折叠后的弧使折叠后的弧QB恰好与半径恰好与半径OA相切于相切于C点点(如如图2).假假设OP=3,那么那么O到到折痕折痕PQ的的间隔隔为.解析解析(1).如如图,衔接接OQ,P是是OB中点中点,OB=4,OP=2,PQOA,BPQ=AOB=90,OP=OQ,1=30,2=1=30,所以弧所以弧AQ的的长=.(2).如如图,找点找点O
25、关于关于PQ的的对称点称点O,衔接接OO、OB、OC、OP,设OO与与PQ交于点交于点M,那么那么OM=OM,OOPQ,OP=OP=3,点点O是是所在所在圆的的圆心心,OC=OB=4,折叠后的弧折叠后的弧QB恰好与半径恰好与半径OA相切于相切于C点点,OCAO,OCOB,四四边形形OCOB是矩形是矩形,在在RtOBP中中,OB=2,在RtOCO中,OO=2,OM=OO=2=,即O到折痕PQ的间隔为. 思思绪分析分析(1)衔接接OQ,利用直角三角形直角利用直角三角形直角边是斜是斜边的一半的一半,那么那么这条直角条直角边所所对的的锐角角为30及平行及平行线的性的性质求出求出PQO=AOQ=30,再
26、利用弧再利用弧长公式公式计算得解算得解.(2)先找点先找点O关于关于PQ的的对称点称点O,衔接接OO、OB、OC、OP,那么易那么易证四四边形形OCOB是矩形是矩形,利用勾股定理求得利用勾股定理求得OB的的长,从从而求出而求出OO的的长,那么那么OM=OO=.二、与圆相关的旋转问题二、与圆相关的旋转问题1.(2021石家庄正定二模石家庄正定二模,26)如如图,正方形正方形ABCD的的边长是是5,圆D的半径是的半径是3,在在圆D上任取一点上任取一点P,衔接接AP,将将AP顺时针旋旋转90到到AP,衔接接BP.发现:无无论点点P在在圆D上的什么位置上的什么位置,BP的大小不的大小不变,BP的的长是
27、是.思索思索:(1)APD的最大面的最大面积是是;(2)点点P与与P之之间的最小的最小间隔是隔是;(3)当点当点P与点与点B之之间的的间隔最大隔最大时,CBP的度数是的度数是.探求探求:当当AP与与圆D相切相切时,求求CDP的面的面积.解析解析发现:衔接接DP,如下如下图:由旋由旋转的性的性质得得AP=AP,PAP=90,四四边形形ABCD是正方形是正方形,BC=AB=AD=5,BAD=90,BAD-DAP=PAP-DAP,即即BAP=DAP,在在ABP和和ADP中中,ABPADP(SAS),BP=DP=3.思索思索:(1)7.5.当当PDAD时,如下如下图:APD的最大面积=53=7.5.(
28、2)2.当P在AD上时,PP最小,此时P在AB上,AP=AP=5-3=2,PAP=90,PP=2.(3)45.当点P在射线BD上时,如下图:点P与点B之间的间隔最大,此时ABP=ADP=180-45=,CBP=-90=45.探求:分两种情况:如下图:衔接DP、DP、CP,过点P作AB的垂线,交AB于F,交CD于E,那么EFCD,EF=BC=5,AP是圆D的切线,APD=90,ABPADP,APB=APD=90,AP=AP=4,在RtABP中,PF=,PE=5-=,CDP的面积=5=;如下图,衔接DP、DP、CP,过点P作AB的垂线,交AB于F,交CD于E,同理得PF=,PE=5+=,CDP的面
29、积=5=.综上所述,当AP与圆D相切时,CDP的面积为或.思思绪分析分析发现:衔接接DP,由旋由旋转的性的性质和正方形的性和正方形的性质得出得出ABPADP,进而而BP=DP=3.思索思索:(1)当当PDAD时,APD的面的面积最大最大=53=7.5;(2)当当P在在AD上上时,AP最小也就是最小也就是PP最最小小;(3)当点当点P在射在射线BD上上时,点点P与点与点B之之间的的间隔最大隔最大,此此时ABP=ADP=,CBP=45.探求探求:分两种情况分两种情况:在在AD上方和上方和AD下方下方衔接接DP、DP、CP,过点点P作作AB的垂的垂线,交交AB于于F,交交CD于于E,先由勾股定理得出
30、先由勾股定理得出AP=AP=4,再利用等再利用等积法求出法求出PF=,进而得出而得出PE=或或PE=,即可求出即可求出CDP的面的面积.2.(2021秦皇秦皇岛海港二模海港二模,25)如如图,矩形矩形ABCD中中,AB=4,BC=2,点点O在在AB的延伸的延伸线上上,OB=2,AOE=60.动点点P从点从点O出出发,以每秒以每秒2个个单位位长度的速度沿射度的速度沿射线OE方向运方向运动,以以P为圆心心,OP为半径作半径作P.设P的运的运动时间为t秒秒.(1)BOC=,PA的最小的最小值是是;(2)当当P过点点C时,求求P与与线段段OA围成的封成的封锁图形的面形的面积;(3)当当P与矩形与矩形A
31、BCD的的边所在直所在直线相切相切时,求求t的的值.解析解析(1)30;2+3.如如图1,四四边形形ABCD是矩形是矩形,图1ABC=90,OBC=90,tanBOC=,BOC=30.当当APOP时,PA的的值最小最小,OA=AB+OB=4+2,在在RtAOP中中,AOE=60,sin60=,AP=(4+2)=2+3.故PA的最小值是2+3.(2)如图2,由题意得:OP=r=2t,图2设P与OA的另一个交点为M,衔接PC、PM,那么PC=PM=PO=r=2t,POC=PCO=BOP-BOC=60-30=30,BCO=90-BOC=90-30=60,PCB=BCO+PCO=60+30=90,即P
32、CBC(此时直线BC与P相切),过点P作PNOM于N,PNB=NBC=BCP=90,四边形PCBN是矩形,BN=PC=2t,NOP=60,在RtPNO中,OPN=30,ON=OP=t,BN+ON=BO,2t+t=2,t=,r=,当t=时,P经过点C,POM=60且PO=PM,POM是等边三角形,OM=2ON=2t=,PN=t=2,S小弓形OM=S扇形POM-SPOM,S小弓形OM=-2=-,S大弓形OM=S圆P-S小弓形OM=-=+.故P与线段OA围成的封锁图形的面积为-或+.(3)由(2)可知当P与矩形ABCD的边BC所在的直线相切时,t=;当P与矩形ABCD的边AD所在的直线相切时,如图3
33、,图3过P作PFAD于F,过P作PNAO于N,AN=FP=r=2t,ON=OP=t,AN+NO=AO,2t+t=2+4,t=;当P与矩形ABCD的边CD所在的直线相切时,如图4,图4过P作PMDC于M,交OA于H,那么PM=OP=2t,PH=t,PM+PH=BC,2t+t=2,t=4-2,综上所述,当P与矩形ABCD的边所在直线相切时,t的值是或或4-2.思思绪分析分析(1)在直角在直角OBC中中,先根据先根据锐角的正切求角的正切求BOC的度数的度数;根据垂根据垂线段最短可知段最短可知:当当APOP时,PA的的值最小最小,根据三角函数可求根据三角函数可求AP的最小的最小值.(2)过点点P作作P
34、NOM,可得矩形可得矩形PCBN,等等边三角形三角形POM,P与与线段段OA围成的封成的封锁图形是大弓形形是大弓形OM或小弓形或小弓形OM,利用扇形面利用扇形面积公公式、三角形面式、三角形面积公式可得公式可得结论.(3)分三种情况分三种情况:当当P与矩形与矩形ABCD的的边BC所在的直所在的直线相切相切时,是第是第(2)问中的情况中的情况,此此时t=;当当P与矩形与矩形ABCD的的边AD所在的直所在的直线相切相切时,根据根据AN+NO=AO列式可得列式可得t的的值;当当P与矩形与矩形ABCD的的边CD所在的直所在的直线相切相切时,根据根据PM+PH=BC列列式可得式可得t的的值.3.如如图1,
35、在在ABC中中,ACB=90,AC=BC=,以点以点B为圆心心,1为半径作半径作圆.设点点P为B上一点上一点,线段段CP绕着点着点C顺时针旋旋转90得到得到线段段CD,衔接接DA,PD,PB.(1)求求证:AD=BP;(2)假假设DP与与B相切相切,那么那么CPB的度数的度数为;(3)如如图2,当当B,P,D三点在同不断三点在同不断线上上时,求求BD的的长;(4)BD的最小的最小值为,此此时tanCBP=;BD的最大的最大值为,此此时tanCPB=.图1图2备用用图解析解析(1)证明明:ACB=90,DCP=90,ACD=BCP.AC=BC,CD=CP,ACDBCP(SAS),AD=BP.(2
36、)45或或.(3)CDP为等腰直角三角形等腰直角三角形,CDP=CPD=45,那么那么CPB=.由由(1)知知,ACDBCP,CDA=CPB=,AD=BP=1,BDA=CDA-CDP=90.在在RtABC中中,AB=2,在在RtBDA中中,BD=.(4)1;1;3;.思思绪分析分析(1)根据根据SAS即可即可证明明ACDBCP,再根据全等三角形的性再根据全等三角形的性质可得可得AD=BP;(2)利用切利用切线的性的性质结合等腰直角三角形求解合等腰直角三角形求解;(3)当当B、P、D三点在同一条直三点在同一条直线上上时,利用勾股定理可得利用勾股定理可得BD的的长;(4)当当B、D、A三点在同一条
37、直三点在同一条直线上上时(PBC=45),BD有最小有最小值1,进而得出当而得出当B、A、D三点三点在同一条直在同一条直线上上时(PBC=),BD有最大有最大值3.三、与圆相关的平移与滚动问题三、与圆相关的平移与滚动问题1.(2021石家庄模石家庄模拟,25)如如图,ABC中中,ACB=90,ABC=45,BC=12cm,半半圆O的直径的直径DE=12cm,点点E与点与点C重合重合,半半圆O以以2cm/s的速度从左向右运的速度从左向右运动,在运在运动过程中程中,点点D、E一直在一直在BC所在所在的直的直线上上.设运运动时间为x(s),半半圆O与与ABC重叠部分的面重叠部分的面积为S(cm2).
38、(1)当当x=(s)时,点点O与与线段段BC的中点重合的中点重合;(2)在在(1)的条件下的条件下,求半求半圆O与与ABC的重叠部分的面的重叠部分的面积S;(3)当当x为何何值时,半半圆O所在的所在的圆与与ABC的的边所在的直所在的直线相切相切?解析解析(1)如如图1,当点当点O在在AB的中点的中点时,x=6s.图1(2)如如图1,设O与与AB交于点交于点H,衔接接OH,CH.BC是直径是直径,CHB=90,AC=BC,ACB=90,HBC=HCB=45,HC=HB,OHBC,OH=OB=OC=6cm,S=S扇形扇形OHC+SOHB=62+66=(18+9)cm2.(3)如如图2,当当O与与边
39、AB所在的直所在的直线相切相切时(点点O在点在点B左左侧),易知易知OH=BH=6cm,OB=6cm,OC=(12-6)cm,x=(9-3)s.图2如图3,当O与边AB所在的直线相切时(点O在点B右侧),易知OH=BH=6 cm,OB=6 cm,OC=(12+6)cm,x=(9+3)s.图3如图1,x=6 s时,O与AC所在的直线相切.易知当x=0 s时,O与AC所在的直线相切.综上所述,当x=0或(9-3)或6或(9+3)s时,半圆O所在的圆与ABC的边所在的直线相切.2.(2021石家庄二模石家庄二模,26)如如图1,知点知点A(0,9),B(24,9),C(22+3,0),半半圆P的直径
40、的直径MN=6,且且P、A重合重合时,点点M、N在在AB上上,过点点C的直的直线l与与x轴的的夹角角为60.现点点P从从A出出发以每秒以每秒1个个单位位长度的速度向度的速度向B运运动,与此同与此同时,半半圆P以每秒以每秒15的速度的速度绕点点P顺时针旋旋转,直直线l以每秒以每秒1个个单位位长度的速度沿度的速度沿x轴负方向运方向运动(与与x轴的交点的交点为Q).当当P、B重合重合时,半半圆P与直与直线l停停顿运运动.设点点P的运的运动时间为t秒秒.【发现】(1)点点N距距x轴的最近的最近间隔隔为,此此时,PA的的长为;(2)t=9时,MN所在直所在直线能否能否经过原点原点?请阐明理由明理由;(3
41、)如如图2,当点当点P在直在直线l上上时,求直求直线l分半分半圆P所成两部分的面所成两部分的面积比比.【拓展】【拓展】如如图3,当半当半圆P在直在直线l左左侧,且与直且与直线l相切相切时,求点求点P的坐的坐标.【探求】【探求】求出直求出直线l与半与半圆P有公共点的有公共点的时间有多有多长.解析解析【发现】(1)9-3;6.当当PNy轴,且且N在在AB下方下方时,点点N距距x轴最近最近,A(0,9),OA=9,MN=6,PN=MN=3,点点N距距x轴的最近的最近间隔隔为9-3,此此时APN=90,t=6,PA的的长为6.(2)MN所在直所在直线经过原点原点,理由理由:当当t=9时,APN=180
42、-915=45,AP=91=9,设此此时直直线MN交交y轴于点于点D,那么那么AD=APtan45=91=9,又又OA=9,所以点所以点D与点与点O重合重合,即即MN所在直所在直线经过原点原点.(3)如如图1,当点当点P在直在直线l上上时,过点点P作作PHx轴,垂足垂足为H,OQ=OH+QH=AP+=t+=3+t,CQ=t,OQ+CQ=3+t+t=OC=22+3,得t=11,此时,APN=180-1115=15,NPQ=180-15-60=105,MPQ=180-105=75,S左S右=10575=75.【拓展】如图2,设直线l与AB交于点E,与半圆P相切于点T,衔接PT,那么PT=3,PE=
43、6,AE=AP+PE=t+6,图1过点E作EFx轴,垂足为F,图2那么OQ=OF+FQ=AE+=(t+6)+=6+3+t,又CQ=t,OQ+CQ=6+3+t+t=OC=22+3,得t=8,此时,点P的坐标为(8,9).【探求】当半圆P在直线l右侧,且与直线l相切时,如图3所示,设直线l与AB交于点G,与半圆P相切于点R,衔接PR,图3那么PR=3,PG=6,AG=AP-PG=t-6,过点G作GJx轴,垂足为J,那么OQ=OJ+JQ=AG+=(t-6)+=3-6+t,又CQ=t,OQ+CQ=3-6+t+t=OC=22+3,得t=14,那么直线l与半圆P有公共点的时间为14-8=6秒.思思绪分析分
44、析【发现】(1)当当PNy轴,且且N在在AB下方下方时,点点N距距x轴最近最近,易得易得PN=MN=3,点点N距距x轴的最近的最近间隔隔为9-3,此此时APN=90,求得求得t=6,所以所以PA的的长为6;(2)当当t=9时,得到得到APN=180-915=45,AP=91=9,然后求出直然后求出直线MN与与y轴的交点到点的交点到点A的的间隔隔,再与再与OA的的长比比较,即可判即可判别MN所在直所在直线经过原点原点;(3)当点当点P在直在直线l上上时,过点点P作作PHx轴,垂足垂足为H,用用t表示表示出出OC的的长,即可求出即可求出t的的值,然后求出然后求出NPQ与与MPQ的大小的大小,即可得到直即可得到直线l分半分半圆P所成两部所成两部分的面分的面积比比.【拓展】【拓展】设直直线l与与AB交于点交于点E,与半与半圆P相切于点相切于点T,衔接接PT,易知易知PT=3,AE=AP+PE=t+6,过点点E作作EFx轴,垂足垂足为F,求得求得OQ=6+3+t,构建方程构建方程,求得求得t的的值.即得点即得点P的坐的坐标.【探求】【探求】设直直线l与与AB交于点交于点G,与半与半圆P相切于点相切于点R,衔接接PR,易得易得PR=3,AG=AP-PG=t-6,过点点G作作GJx轴,垂足垂足为J,构建方程构建方程,求得求得t的的值,得出得出结论.
