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1、变化率问题变化率问题黄流中学数学组黄流中学数学组黄流中学数学组黄流中学数学组 周敏周敏周敏周敏人教版选修人教版选修人教版选修人教版选修2-22-2第一章导数及其应用第第一章导数及其应用第第一章导数及其应用第第一章导数及其应用第1 1节变化率与导数节变化率与导数节变化率与导数节变化率与导数通过阅读引言我们知道：1.随着随着对函数的深入研究函数的深入研究产生了微生了微积分分, ,它是数学它是数学发展史上的一个具有划展史上的一个具有划时代意代意义的的伟大大创造，被誉造，被誉为数学史上的里程碑数学史上的里程碑. .微微积分的分的创立者是立者是2牛牛顿和莱布尼茨和莱布尼茨. .他们都是著名的科学家，我们
2、应该认识一下.牛牛顿（Isacc Newton,1642 - 1727)Isacc Newton,1642 - 1727)是英国数学是英国数学家、天文学家和物理学家家、天文学家和物理学家是世界上出是世界上出类拔萃的科学家。拔萃的科学家。 莱布尼茨莱布尼茨(1646-1716)德国数学德国数学家、哲学家，家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人和牛顿同为微积分的创始人.3.本章我们将要学习的导数是微本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一积分的核心概念之一. 打个比喻如果微积分是万丈打个比喻如果微积分是万丈高楼，那么平均变化率就是地基高楼，那么平均变化率就是地基. 那么我们这一节课就相当于那么我
3、们这一节课就相当于是是“地基地基”.现在我们就开始现在我们就开始“打造地基打造地基”姚明身高变化曲线图姚明身高变化曲线图(部分部分)2.262.12年龄年龄身高身高4710131619220.81.61问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 随随着着气气球球
4、体体积积逐逐渐渐变变大大,它它的的平平均均膨膨胀胀率率逐逐渐渐变变小小.当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的气球的平均膨胀率是多少平均膨胀率是多少?思考思考问题2 高台跳水 在在高高台台跳跳水水运运动动中中, 运运动动员员相相对对于于水水面面的的高高度度 h (单单位位:m)与与起起跳跳后后的的时时间间 t (单单位位:s) 存存在在函函数数关系关系:问题问题2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h (单位单位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t (单位单位:s) 存在函数关系存在函数关系 如果用运动员在某
5、段时间内的平均速度如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运描述其运动状态动状态, 那么那么:在在0 t 这段时间里这段时间里,在在1 t 2这段时间里这段时间里,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并并思考下面的问题思考下面的问题:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?探探 究究thO(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗问题吗?平均变化率平均变化率: 式子式子 令令x = x2 x1 , y = f
6、(x2) f (x1) ,则则称为函数称为函数 f (x)从从x1到到 x2的平均变化率的平均变化率.平均变化率的定义：1、式子中式子中x 、 y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 的的x值不能为值不能为0， y 的值可以为的值可以为02、若函数、若函数f (x)为常函数时，为常函数时， y =0 理理解解3、变式变式:观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?思考xyoBx2f (x2)Ax1f (x1)f (x2)-f (x1)x2-x1直线AB的斜率y=f (x)例例 (1) 计算函数计算函数 f (x) = 2 x +1在区间在区间 3 , 1上的平
7、均变化率上的平均变化率 ；(2) 求函数求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解： y=f (-1)- f (-3)=4 (2)解：解： y=f (x+ x)- f (x) =2 x x+( x )2 x=-1- (-3)=2练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=(D ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x l2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+x 小小结：1.函数的平均变化率函数的平均变化率l2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：f=y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：再见谢谢指导
