留数及留数定理

《留数及留数定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《留数及留数定理（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、用用Laurent级数的展开式计算积分级数的展开式计算积分 根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得 步骤：步骤：1.1.分析分析f(z)f(z)的解析性，确定解析环域；的解析性，确定解析环域；2.2.在包含积分路径在包含积分路径C C的解析环域里将函数的解析环域里将函数展成展成LaurentLaurent级数级数因此，我们可以根据求出系数因此，我们可以根据求出系数c-1-1 的值来计算积分。的值来计算积分。 留数和留数定理留数和留数定理一一、留数的定义和计算、留数的定义和计算二、二、 留数定理留数定理三三* *、函数在无穷远点的留数、函数在无穷远点的留数设设为

2、为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;.的某去心邻域的某去心邻域包含包含的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线C.一一 、留数的定义和计算、留数的定义和计算定义定义 在在的的留数留数(Residue),为为内的内的Laurent级数级数:在在.计算留数计算留数0(高阶导数公式高阶导数公式)0 ( (柯西积分定理柯西积分定理) )即即在在为中心的圆环为中心的圆环的的留数留数为为的系数。的系数。在在注注域内的域内的Laurent级数中负幂项级数中负幂项计算留数的一般公式计算留数的一般公式（1 1）若）若z0为函数为函数f(z)的可去奇点，则它在点的可去奇点，则它在点z0的留的留数为零数为零。 当当

3、z0 0为为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若的孤立奇点时，若g()为偶函为偶函数，则数，则f(z)在点在点z0的去心邻域内的去心邻域内Laurent级数只含级数只含 z-z0的偶次幂，其奇次幂系数都为的偶次幂，其奇次幂系数都为0，从而得知，从而得知 成成Laurent级数求级数求(2)(2)如果如果为为的本性奇点的本性奇点, , 展开展开则需将则需将规则规则1 1o o 若若z0为为f(z)的一阶极点，则有的一阶极点，则有(3)(3)如果如果为为的极点的极点, , 则有如下计算规则则有如下计算规则 规则规则2o 若若z0为为f(z) 的的n阶极点，则对任意整数阶极点，则对任意整数 有有

4、规则规则3 3 如果如果设设及及在在都解析，都解析，那末那末为为的一级极点的一级极点, 且有且有为为 的一级极点的一级极点,的一级零点的一级零点,为为的一级极点的一级极点，为为证证 典型例题典型例题例例1 求求在在的留数（的留数（n为正整数）。为正整数）。解解例例2 求求在在的留数的留数.分析分析是是的三级零点的三级零点由规则由规则2得得计算较麻烦计算较麻烦.如果利用如果利用Laurent展开式求系数展开式求系数c-1较方便：较方便：解解说明说明: : 如如 为为m级极点，当级极点，当m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时, 可直接展开可直接展开Laurent级数求级数求c-1来计算

5、留数。来计算留数。2. 在在应用应用规则规则2 2时时, 取得比实际的级数高取得比实际的级数高.级数高能够使得计算方便级数高能够使得计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般要将为了计算方便一般要将m因为有时把因为有时把m取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取例例3 3求下列函数在指定点处的留数求下列函数在指定点处的留数(1)(1) , ;, ;解解： 是函数是函数 的一级零点的一级零点, , 又是函数又是函数 的五级零点的五级零点. .于是它是于是它是 的四级极点的四级极点, ,可用规则可用规则 计算其留数计算其留数, ,其中其中n=

6、4, ,为了计算简便应为了计算简便应当取其中当取其中m=5, ,这时有这时有 另另解解： 在在点点 的的去去心心邻邻域域 内内的的Laurent级数为级数为 例例3 3求下列函数在指定点处的留数求下列函数在指定点处的留数(1)(1) , ;其中其中n=4的项的系数为的项的系数为c-1=1/4!, , 从而也有从而也有 (2)(2) , ; 解解： 在在点点 的的去去心心邻邻域域 内内的的Laurent级数为级数为 显然显然 为它的本性奇点为它的本性奇点, ,其中其中 的项的系的项的系数为数为 , ,于是得于是得注注留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C 积分转化为求积分转化为求被积函数在被

7、积函数在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数. .留数定理留数定理点点的一条正向简单闭曲线的一条正向简单闭曲线, 奇点奇点z1,z2,zn外处处解析外处处解析, , 函数函数 f(z) 在区域在区域 D 内除内除有限有限个孤立个孤立C 是是D 内包围诸奇内包围诸奇那末那末二、留数定理二、留数定理证明证明 首先在首先在C的内部，环绕的内部，环绕f(z)的每个奇点的每个奇点zk作互作互不相交且互不包含的正向小圆周不相交且互不包含的正向小圆周Ck 根据积分路径的复闭路定理得根据积分路径的复闭路定理得由定义由定义1，所证等式成立。所证等式成立。例例1 1 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:

8、解解被积函数被积函数 的奇点的奇点 （一（一级极点）级极点）和和 （二级极点）都在圆（二级极点）都在圆 的的内部内部, ,并且并且例例2 2. . 计算积分计算积分解解： 在在圆圆 的的内内部部有有一一个二级极点个二级极点 和两个一级极点和两个一级极点 ,于是利用留数的计算规则于是利用留数的计算规则 和和 得得最后由留数定理得其积分值为最后由留数定理得其积分值为例例3 3 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周: :解解 被积函数被积函数有四个一级极点有四个一级极点都都在圆周在圆周的内部的内部 , , 所以所以由规则由规则3 3 例例4 4 计算积分计算积分C 为正向圆周为正向圆周 :解解 除

9、除被积函数被积函数点外无其他奇点点外无其他奇点，在圆外在圆外。所以所以设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;的某去心邻域的某去心邻域内的任一条正向简单闭曲线内的任一条正向简单闭曲线C:一一 、函数在无穷远点的留数及计算、函数在无穷远点的留数及计算定义定义 在在的的留数留数(Residue)为为函数函数 f(z) 在扩充复平面上在扩充复平面上 只有只有有限有限个孤立个孤立 推广的留数定理推广的留数定理奇点，设为奇点，设为，那末，那末定理定理 若函数若函数f(z)在环域在环域 内解析，则对包内解析，则对包含圆含圆|z|=R的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线C有有证明证明： 设设f(z)在

10、所给环域在所给环域 内的内的Laurent级数级数为为 由由Laurent级数展开定理，则有级数展开定理，则有定理定理 若函数若函数f(z)在环域在环域 内解析，则对包内解析，则对包含圆含圆|z|=R的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线C有有作变换作变换 ， 在点在点 的去心邻域的去心邻域 内解析，且在该邻域内有内解析，且在该邻域内有例例5 5 计算下列积分计算下列积分, ,其中积分闭路取正向其中积分闭路取正向. .(1)(1)解解：被积函数：被积函数 在环域在环域 内解析内解析, ,它的它的7 7个个奇点都在圆周奇点都在圆周 的内部的内部, ,用用定理定理1 1计算非常困难计算非常困

11、难, ,可是该积分满足定理可是该积分满足定理2 2的条件的条件, ,利用利用定理定理2 2得得例例5 5 计算下列积分计算下列积分, ,其中积分闭路取正向其中积分闭路取正向. .(2)(2)解解：被被积积函函数数 在在环环域域内内 解解析析, ,其其奇奇点点为为 , , , ,其其中中 , ,显显然然这这些些奇奇点点有有无无穷穷多多个个, ,它它们们都都在在圆圆周周 的的内内部部, ,不不能能用用定定理理1 1计计算算其其积积分分值值; ;可可是是该该积积分分函函数数满满足足定定理理2 2条条件件, ,于是由定理于是由定理2 2得得1 1 若若z0为函数为函数f(z) 的可去奇点（负幂项的项数

12、为零个）的可去奇点（负幂项的项数为零个）, 则它在点则它在点z0的留数为零。的留数为零。留数的计算留数的计算3 若若z0为为f(z) 的一级极点，则有的一级极点，则有4 若若z0为为f(z) 的的m级极点，则对任意整数级极点，则对任意整数 有有2 2 当当z0为为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若的孤立奇点时，若 为偶为偶函数，则函数，则f(z)在点在点z0的留数为零。的留数为零。 0),(Re0= =zzfs5 设设f(z)=P(z)/Q(z)，其中，其中P(z)和和Q(z)在点在点z0都解析。都解析。若若 ，Q(z0)=0且且 ，则，则z0为为f(z) 的一的一级级极点，且有极点，

13、且有6 由由Laurent级数展开定理，留数等于级数展开定理，留数等于f(z)在环域在环域 内内Laurent级数的负一次幂系数级数的负一次幂系数c-17 对于函数对于函数f(z)孤立奇点孤立奇点z0和曲线和曲线C，由，由 f(z)在点在点 z0 处处留数留数 的定义，计算积分的定义，计算积分其中闭路其中闭路C取正向。取正向。留数定理留数定理定理定理1 若函数若函数f(z)在正向简单闭曲线在正向简单闭曲线C上处处解析，上处处解析，在在C的内部除有限个孤立奇点的内部除有限个孤立奇点z1,z2,zn外解析，则外解析，则有有定理定理2 若函数若函数f(z)在环域在环域 内解析，则对内解析，则对包含圆包含圆|z|=R的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线C有有