《高考数学总复习精品课件苏教版：第八单元第二节 一元二次不等式及其解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习精品课件苏教版：第八单元第二节 一元二次不等式及其解法（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节第二节 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法基础梳理基础梳理1. 一元二次不等式的定义只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.2. 一元二次不等式的解集如下表 ,3. 分式不等式与一元二次不等式的关系 设a0; 0等价于（x-a）(x-b)0； (2)8x-116x2.分析 可根据二次函数、方程和不等式的关系求解，也可利用二次函数图象求解，还可对不等式左边（右边为0)进行因式分解，然后求解.解 (1)两边同乘以-3，得3x2-6x+20,且方程3x2-6x+2=0的根是 x1=1- ,x2=1+ , 所以原不等式的解集是x|1- x1+ (2)方法一
2、：原不等式即为16x2-8x+10, 其相应方程为16x2-8x+1=0, =(-8)2-416=0, 上述方程有两相等实根x=14, 结合二次函数y=16x2-8x+1的图象知，原不等式的解集为R.方法二：8x-116x216x2-8x+10(4x-1)20, xR,不等式的解集为R.举一反三举一反三学后反思 一般地，对于a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解.1. 设mR,解关于x的不等式 解析： 分类讨论：(1)当m=0时，不等式恒成立，不等式的解集为R;(2)当m0时，原不等式化为(mx+2)(mx-1)0，解得 (3)当m0时，原不等式化为(mx
3、+2)(mx-1)0，解得 综上,当m=0时，不等式的解集为R; 当m0时，不等式的解集为 ( , );当m0时，不等式的解集为( , ).题型二题型二 三个二次问题三个二次问题【例2】函数f(x)=x2+ax+3.(1)当xR时，f(x)a恒成立,求a的取值范围；(2)当x-2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围.分析 设g（x）=f(x)-a=x2+ax+3-a,f(x)a恒成立问题转化为g(x)0恒成立问题： （1）中xR时,g(x)0恒成立，即g(x)的图象不在x轴下方，故0;(2)中求当x-2,2时，g(x)0恒成立，并不能说明抛物线恒在x轴上方，怎样解呢？解 （1）xR时，有x
4、2+ax+3-a0恒成立，则有=a2-4(3-a)0,即a2+4a-120,-6a2.(2)方法一：当x-2,2时，g(x)=x2+ax+3-a0,分如下三种情况讨论：如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，有=a2-4(3-a)0,即-6a2.如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但在x-2,+)时，g(x)0,即 0, a2-4(3-a)0, a2或a-6, x=- -2, 即 - 4 g(-2)0, 4-2a+3-a0 a , 解得a.如图3,g(x)的图象与x轴有交点,但在x(-,2时,g(x)0, 即 0, a2-4(3-a)0 a2或a-6, x=- 2 即 - 2, a2
5、,即a-4时，f(x)min=f(2)=2a+7.令2a+7a,则a-7,-7a-4. 当- 4时,f(x)min=f(-2)=7-2a.令7-2aa时,则a ,a. 由,得-7a2.即当a-7,2时，在x-2,2时，有f(x)a恒成立.学后反思 (1)f(x)=ax2+bx+c0(a0)对xR恒成立时， a0只要求满足 0 即可.另外：ax2+bx+c0(a0)恒成立 a0, 0;ax2+bx+c0(a0)恒成立 a0, 0;ax2+bx+c0(a0)恒成立 a0, 0.(2) 区别“f(x)0对xR恒成立”与“f(x)0对xm,n恒成立”的不同.f(x)0对xm,n恒成立，即f(x)在m,
6、n上的最小值f(x)min0举一反三举一反三2. 不等式 对于xR恒成立，则a的取值范围是.解析： (1)当a=2时，不等式恒成立；(2)由 解得-2a2.综上,-2a2.答案：(-2,2题型三题型三 一元二次不等式的实际应用一元二次不等式的实际应用【例3】(14分)国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品m t,按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析 理解题意,巧设未知数,正
7、确将不等关系转化成不等式是解题关键.解 设税率调低后的税收总收入为y元, .1则y=2 400m(1+2x%)(8-x)%= (x2+42x-400)(0x8). .4依题意,得y2 400m8%78%,即 (x2+42x-400)2400m8%78%. .7整理得x2+42x-880,解得-44x2. .10根据x的实际意义,知0x8,所以00),易知1 s走了 = (m),由题意得 x22t0+ 15,即 ，解得0x23.所以卡车的最大限速为23 km/h.易错警示易错警示【例】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.错解 ax2-（a+1）x+10x2-(1+ )x+1a0,即(x-
8、1)(x- )1,即0a1时,不等式解集为x|1x .当 1或a0时,不等式解集为x| x1.错解分析 上述错解有如下错误：应首先对二次项x2的系数a的正负进行讨论.讨论时漏掉了a=0和a0两种情况,在比较 与1的大小时,又忽视了 =1这种情况.此外应注意如下错误:步骤要规范完整,分类讨论的试题要有总结性的语言,如“综上所述，有”；再有，由于关于x的不等式是按a的取值分类讨论的,故最后结论不应取并集,应分别叙述;若是按x分类讨论的,则最后应取并集,故何时取交集、并集还是分别说明应引起重视.正解 若a=0,原不等式-x+11;若a0x1;若a0，原不等式x- (x-1)1时，式（*） x1;当0
9、a1时，式（*）1x .综上所述，当a0时,不等式解集为x|x1;当a=0时，不等式解集为x|x1;当0a1时，不等式解集为x|1x1时，不等式解集为x|1ax1.考点演练考点演练解析：由题意知a0,可设 而a0, -4a0的解集为（1,2）,若f(x)的最大值小于1，求a的取值范围.11. (2010厦门质检)若不等式 对满足-2m2的所有m都成立，求实数x的取值范围.解析: 设 要使f(m)0在-2m2上恒成立，只需 即 或 12.(2009南京模拟)已知不等式ax2-3x+64的解集为x|xb.(1)求a,b;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc4的解集为x|xb,所以x1=1与x
10、2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b1,由根与系数关系得 1+b= , a=1, 1b= , 解得 b=2.(2)ax2-(ac+b)x+bc0x2-(2+c)x+2c0,即(x-2)(x-c)2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为x|2xc;当c2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为x|cx2;当c=2时,不等式(x-2)(x-c)2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为x|2xc;当c2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为x|cx2;当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bcPF2知，PF2垂直于长轴.故在RtPF2F1中，4c2=PF12-
11、PF22= ,c2=53，于是b2=a2-c2= .又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 .举一反三举一反三1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3,2),求椭圆的方程.解析: （1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 (ab0),则 解得 此时所求的椭圆方程为 (2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 (ab0)，则 解得 此时所求的椭圆方
12、程为 综上，所求的椭圆方程为 或 题型二题型二 椭圆的几何性质椭圆的几何性质【例2】已知P是椭圆 (ab0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点.（1）若 (0)，求证:F1PF2的面积为 (2)若存在点P,使 ，求椭圆离心率的取值范围.分析 （1） 为焦点三角形，设 , ,则m+n=2a,而 只要将mn用m+n表示出来即可.（2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解.解 (1)证明：如图所示，设 , , 的面积为S，则 . 在 中， m+n=2a,1+cos 0, .由、得 (2)当 时，由(1)得 又 (当且仅当m=n时取等号), e , e的取值范围为 ,1)
13、.学后反思 本题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.举一反三举一反三2. (2009北京)椭圆 的焦点为 , ,点P在椭圆上，若|P |=4,求|P |及 的大小.解析: , , ,又|P |=4,且|P |+|P |=2a=6,|P |=2,又由余弦定理，得 题型三题型三 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【例3】(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、
14、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.解 （1）据题意设椭圆的标准方程为 ,由已知得a+c=3,a-c=1, .2a=2,c=1,b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程为x24+y23=1. .4(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m， x24+y23=1，得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3
15、)=0, .6则由题意得=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,即3+4k2-m20.又x1+x2= ，x1x2= ，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= 8以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD=-1,即 ,y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, ,即7m2+16mk+4k2=0.解得m1=-2k,m2= ,且均满足3+4k2-m2012当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾；当m2=- k时,l的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0).所以直线l过定点，定点坐标为(
16、 ,0). 14学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.举一反三举一反三3. 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线l的方程.解析： 设A,B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）显然直线l的斜率存在,从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入
17、椭圆C的方程，得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A,B关于点M对称，所以 ,解得k= .所以直线l的方程为y= (x+2)+1,即8x-9y+25=0.【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域. 题型四题型四 椭圆的实际应用椭圆的实际应用分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如下图）
18、，则半椭圆方程为 (y0),解得 (0xr).S= (2x+2r) = (x+r),由S0和C与D不重合，得其定义域为x0xAB=2,由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此椭圆短轴的两端点，此时面积S= km2.易错警示易错警示【例】若椭圆 的离心率 ,则k的值为 .错解 由已知 , ,又 ,解得k=4.错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确定，即焦点也有可能在y轴上的情况.正解 （1）若焦点在x轴上，即k+
19、89时， , ,解得k=4;(2)若焦点在y轴上，即0k+8b0).c= , 由 ,消去y,得 设直线与椭圆相交于 , 两点，则 , 是上述方程的根，且有0,即 恒成立. 即 , .故所求椭圆方程为 12. (2008北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆 上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值.解析：（1）由题意，得直线BD的方程y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由 ,得 因为A、C在椭圆上,所以 ，解得 设A，C两点坐标分别为 ， 则 , 又 , ，所以 所以AC的中点坐标为 由四边形ABCD为菱形可知，点 在直线y=x+1上，即 ,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60,所以AB=BC=CA,所以菱形ABCD的面积 由（1）可得 所以 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值
