数学实验[—用计算机做数学]

《数学实验[—用计算机做数学]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学实验[—用计算机做数学]（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、数 学 实 验用计算机做数学数学实验微分方程实验科学实验科学实验根根据据一一定定目目的的, ,运运用用仪仪器器、设设备备等等物物质质手手段段，在在人人为为控控制制的的条条件件下下模模拟拟自自然然现现象象，以以认认识识自自然然界界事事物物的的本质和规律为目的和任务。本质和规律为目的和任务。 数学实验数学实验以以数数据据、图图形形等等为为“思思想想材材料料”，以以计计算算机机为为手手段段，以以数数学学软软件件为为实实验验平平台台，通通过过对对数数学学问问题题和和实实际际问问题的探索，得到相应问题的解，并进行计算机模拟。题的探索，得到相应问题的解，并进行计算机模拟。数学实验微分方程实验【主主主主要要

2、要要内内内内容容容容】首首首首先先先先介介介介绍绍绍绍如如如如何何何何利利利利用用用用MATHEMATICAMATHEMATICA求求求求解解解解微微微微分分分分方方方方程程程程，然然然然后后后后讨讨讨讨论论论论与与与与微微微微分分分分方方方方程程程程相相相相关关关关的的的的几几几几个个个个问问问问题题题题：微微微微分分分分方方方方程程程程的的的的线线线线素素素素场场场场、欧欧拉拉方方法法、最最陡陡下下降降法法、微分方程的稳定性。微分方程的稳定性。【主主主主要要要要目目目目的的的的】本本本本实实实实验验验验将将将将借借借借助助助助MATHEMATICAMATHEMATICA研研研研究究究究与与

3、与与一一一一阶阶阶阶常常常常微微微微分分分分方方方方程程程程相相相相关关关关的的的的几几几几个个个个问问问问题题题题，让让让让我我我我们们们们了了了了解解解解几几几几类类类类微微微微分分分分方方方方程程程程模模模模型型型型、利利利利用用用用MATHEMATICAMATHEMATICA求求求求解解解解微微微微分分分分方方方方程程程程的的的的方方方方法法法法以以以以及及及及通通过过几几何何直直观观和和数数值值计计算算的的方方法法了了解微分方程解的性态。解微分方程解的性态。 第二讲第二讲 微分方程实验微分方程实验数学实验微分方程实验牛牛顿顿最最早早研研究究天天体体的的运运动动规规律律时时，假假定定行

4、行星星是是各各自自独独立立的的对对象象，只只受受到到太太阳阳引引力力的的作作用用，因因此此牛牛顿顿的的分分析析只只涉涉及及两两个个对对象象，这这类类问问题题统统称称为为“二二体体问问题题”.牛牛顿顿采采用用数数学学方方法法研研究究二二体体问问题题时时，需需要要求求解解的的运运动动方方程程就就是是微微分分方方程程. 1864年年英英国国数数学学家家勒勒维维耶耶由由引引力力定定律律建建立立了了一一个个微微分分方方程程模模型型，经经严严密密分分析析后后断断定定了了海海王王星星的的存存在在性性，并并确确定定了了海海王王星星在在天天空中的位置空中的位置. 数学实验微分方程实验利用利用MATHEMATIC

5、A解微分方程解微分方程DSolveyx=fx,yx,yx,x 求一求一阶阶微分方程微分方程 的特解的特解DSolveyx =fx,yx,yx0=y0,yx,x 求一阶微分方程求一阶微分方程 的通解的通解数学实验微分方程实验例例1 1 利用利用MATHEMATICA求微分方程求微分方程的通解及在初始条件的通解及在初始条件 下的特解下的特解. DSolveyx=(1+x2) yx,yx,xDSolveyx=(1+x2) yx,y0=1,yx,x s=DSolveyx=(1+x2) yx,y0=1,yx,x;yx_=yx/.s1,1数学实验微分方程实验Plotyx,x,-1,2微分方程的积分曲线微分

6、方程的积分曲线数学实验微分方程实验求一求一阶阶微分方程微分方程组组 的通解的通解 DSolvext=ft,xt,yt,yt=gt,xt,yt,xt,yt,t 求一求一阶阶微分方程微分方程组组 的特解的特解数学实验微分方程实验 DSolvext=ft,xt,yt,yt=gt,xt,yt,xt0=x0,yt0=y0,xt,yt,t 例例2 2 利用利用Mathematica求微分方程组求微分方程组的通解和在初始条件的通解和在初始条件 下的特解下的特解. 数学实验微分方程实验DSolvext=3xt-2yt,yt=2xt-yt,xt,yt,tDSolvext=3xt-2yt,yt=2xt-yt, x

7、0=1,y0=0,xt,yt,t 数学实验微分方程实验轨线轨线解曲线解曲线s=DSolvext=3xt-2yt,yt=2xt-yt, x0=1,y0=0,xt,yt,t ;xt_=xt/.s1,1;yt_=yt/.s1,2;f1=ParametricPlot3D0,xt,yt,t,0,1f2=ParametricPlot3Dt,xt,yt,t,0,1Showf1,f2数学实验微分方程实验NDSolveyx=fx,yx,yx0=y0,yx,x,x0,x1 求一求一阶阶微分方程微分方程 的数的数值值解解例例3 3 求黎卡提求黎卡提(Riccati)方程方程 在初始条在初始条件件 下的数值解下的数值

8、解. NDSolveyx=x2+yx2,y0=0.5,yx,x,0,1数学实验微分方程实验实验一：磁场的分布实验一：磁场的分布微分方程的线素场微分方程的线素场 磁力线演示磁力线演示磁磁力力线线是是用用来来形形象象地地描描述述磁磁场场状状态态的的一一种种工工具具，以以力力线线上上某某一一点点的的切切线线方方向向表表示示该该点点的的磁磁场场强强度度的的方方向向，以力线的疏密程度表示磁场的强度。以力线的疏密程度表示磁场的强度。 数学实验微分方程实验斜率斜率方程方程 的积分曲线与线素的积分曲线与线素积分曲线积分曲线数学实验微分方程实验由由MATHEMATICA描绘方程的线素场（方向场）描绘方程的线素场

9、（方向场）ClearAllf,hdirectionalFieldf_,x_,xmin_,xmax_,y_,ymin_,ymax_,m_,n_,h_,opts_:=Modules,s1,x,y,a,b,k,i,j,lines, s=Solvey-b=k (x-a),(x-a)2+(y-b)2=h2,x,y/Simplify; s1=Flattens; xa_,b_,k_=x/.s14; ya_,b_,k_=y/.s13; h1=(xmax-xmin)/m; h2=(ymax-ymin)/n; a=xmin+i h1;b=ymin+j h2; k=f/.xa,yb; lines=TableLine

10、a,b,xa,b,k,ya,b,k,i,0,m,j,0,n; ShowGraphicslines,opts,Axes-Automatic,AspectRatio-Automatic 这是一个通用程序，只要给定右端函数，线素场的这是一个通用程序，只要给定右端函数，线素场的区域和选取点的个数，就可自动生成该方程对应的区域和选取点的个数，就可自动生成该方程对应的线素场线素场.数学实验微分方程实验fx_,y_:=x2+y2-1directionalFieldfx,y,x,-2,2,y,-2,2,20,20,0.1 数学实验微分方程实验在平面在平面 和和 处分别放置两个正、负单位电处分别放置两个正、负单

11、位电荷，则它们在平面上产生一磁场荷，则它们在平面上产生一磁场. 数学实验微分方程实验磁场的分布图磁场的分布图 数学实验微分方程实验实验二：炮弹飞行的轨迹实验二：炮弹飞行的轨迹欧拉方法欧拉方法数学实验微分方程实验考虑初值问题考虑初值问题 取一列点取一列点 ，记，记则有则有 欧拉（欧拉（Euler）方法）方法 数学实验微分方程实验用欧拉方法和用欧拉方法和MATHEMATICA求微分方程近似解求微分方程近似解 ClearAllfeulerf_,x_,x0_,x1_,h_,y_,y0_,opt_:= Modulepoints,y0=y0;xn_:=x0+n h; yn_:=yn-1+ h f/.x-x

12、n-1,y-yn-1/N; m=Floor(x1-x0)/h; points=Tablexn,yn,n,0,m;ListPlotpoints,opt数学实验微分方程实验线素场和欧拉方法近似解的比较线素场和欧拉方法近似解的比较数学实验微分方程实验比较方程比较方程 的解析解与近似解的解析解与近似解数学实验微分方程实验欧拉方法的改进欧拉方法的改进 数学实验微分方程实验实验三：黄土高原上的沟壑实验三：黄土高原上的沟壑最陡下降法最陡下降法 也也许许你你去去过过西西北北的的黄黄土土高高原原，也也许许从从各各种种媒媒体体上上了了解解那那里里的的景景象象，到到处处是是沟沟壑壑交交错错，这这主主要要是是由由于于

13、长长年年雨雨水水的的冲冲刷刷而而形形成成的的. 你你也也许许会会想想到到，这这些些沟沟壑壑的的分分布布走走向向与与地地形形有有关关，如如果果你你手手中中有有一一张张当当地地的的地地形形图图，你你会会发发现现这这些些沟沟壑壑往往往往是是垂垂直直穿穿过过所所倚倚山山峦峦的等值线的等值线 .数学实验微分方程实验西点军校附近地区地形等高线图西点军校附近地区地形等高线图数学实验微分方程实验例例 设设有有一一表表面面光光滑滑的的橄橄榄榄球球，它它的的表表面面形形状状为为由由长长半半轴轴为为6，短短半半轴轴为为3的的椭椭圆圆绕绕其其长长轴轴旋旋转转一一周周所所得得的的旋旋转转椭椭球球面面。在在无无风风的的细

14、细雨雨天天，将将球球放放在在室室外外草草坪坪上上，使使长长轴轴水水平平放放置置，求求雨雨水水从从椭椭球球面面流流下下的的路路线方程。线方程。数学实验微分方程实验建立方程建立方程投影曲线投影曲线数学实验微分方程实验解方程解方程 ，其中，其中（1）求投影曲线方程）求投影曲线方程 （2）求出投影曲线的自变量的变化范围）求出投影曲线的自变量的变化范围 （3）描绘雨水下流路线及投影曲线）描绘雨水下流路线及投影曲线利用利用MATHEMATICA求解上述问题的步骤：求解上述问题的步骤：数学实验微分方程实验quickestdescenta_, b_, c_, x0_, y0_, h1_, h2_, opt_:

15、=Modulef, fx, fy, g, ellipsoid, s, t, r, l, p, d, descentroad, projection, generator, y,fx_, y_:=c Sqrt1-x2/a2-y2/b2;fxx_, y_:=Dfx, y, x;fyx_, y_:=Dfx, y, y;gx_, y_=fyx, y/fxx, y;ellipsoid=ParametricPlot3Da Sinu Cosv, b Sinu Sinv, c Cosu,u, 0, Pi/2, v, 0, 2Pi, DisplayFunction-Identity;s=DSolveyx=gx,

16、yx, yx0=y0, yx, x;yx=yx/. s1,1;Printy(x)= , yx;t=Solvefx,y=0, y=yx/. s1,1, x, y;Fori=1, i0, l=r;p=Tablex, yx/. s1,1, 0, x, x0, l, h1;projection=Graphics3DRGBColor1,0,0, Thickness0.015, Linep;d=Tablex, yx/. s1,1, fx, yx/. s1,1, x, x0, l, h1;descentroad=Graphics3DRGBColor1,0,0,Thickness0.015, Lined;ge

17、nerator=TableGraphics3DRGBColor0, 1, 0,Linex, yx/. s1,1, 0, x, yx/.s1,1, fx, yx/.s1,1, x, x0, l, h2;startpoint=Graphics3DPointSize0.03, RGBColor1,0,0,Pointx0, y0, fx0, y0;Showprojection, ellipsoid, startpoint, descentroad, generator,PlotRange-a,a,0,b,0,c,opt 数学实验微分方程实验x0=0.1;y0=1.5;a=3;b=6;c=3;f1=qu

18、ickestdescenta,b,c,x0,y0,0.001,0.2,ViewPoint-1,-2,1, DisplayFunction-Identity,Boxed-Falsef2=quickestdescenta,b,c,x0,y0,0.001,0.2,ViewPoint-1,2,1, DisplayFunction-Identity,Boxed-Falsef3=quickestdescenta,b,c,x0,y0,0.001,0.2,ViewPoint-1,-2,0.7, DisplayFunction-Identity,Boxed-FalseShowGraphicsArrayf1,f2

19、,f3 数学实验微分方程实验实验四：战争能爆发吗？实验四：战争能爆发吗？微分方程稳定性微分方程稳定性 两两国国势势均均力力敌敌的的军军事事力力量量互互相相制制约约，能能保保证证相相互互之之间间的的和和平平共共处处，一一旦旦某某一一国国的的军军事事力力量量无无限限扩扩张张，便便会会对对另另一一国国构构成成威威胁胁，爆爆发发战战争争的的机机会会大大大增加大增加. 影响军事力量增加的速度有三个方面：影响军事力量增加的速度有三个方面：（1）对对方方国国家家的的军军事事力力量量可可以以刺刺激激本本国国军军事事力力量量的发展；的发展；（2）本本国国已已有有的的军军事事力力量量会会对对本本国国继继续续扩扩军

20、军产产生生抑制作用；抑制作用；（3）本本国国人人民民、军军队队对对对对方方国国人人民民、军军队队产产生生仇仇视的程度会增加本国扩军视的程度会增加本国扩军. 数学实验微分方程实验将甲乙两国的军事力量量化为将甲乙两国的军事力量量化为 和和 其中其中 为正常数，为正常数， 和和 是对对方国的是对对方国的敌视程度，为简单我们设它们为常数敌视程度，为简单我们设它们为常数 和和 . 解方程解方程 得平衡点得平衡点 数学实验微分方程实验（1）当当 时时 ，平平衡衡点点是是稳稳定定的的，此此时时由由于于甲甲、乙乙两两国国的的军军事事力力量量趋趋于于 和和 ,所所以以在在这这一一时期内两国会和平相处；时期内两国

21、会和平相处； （2）当当 时时 ，平平衡衡点点是是不不稳稳定定的的，此此时由于一方的军事扩张，可能形成战争的威胁时由于一方的军事扩张，可能形成战争的威胁. 例例如如，1909年年到到1914年年，德德奥奥匈匈联联盟盟与与法法俄俄联联盟盟的的军备竞争，双方扩军与抑制的情形是军备竞争，双方扩军与抑制的情形是 k=l=0.9, =0.2, k l=0.04-0.810 平平衡衡点点(0,0)是是不不稳稳定定的的，双双方方不不能能和和平平相相处处，两两个军事集团最终爆发了第一次世界大战个军事集团最终爆发了第一次世界大战! 数学实验微分方程实验甲乙双方军事力量的变化甲乙双方军事力量的变化数学实验微分方程实验The End !The End !Thanks !Thanks !