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1、 第 2 章 2. 3 . 2 无穷小量的比较与运算法则无穷小量的比较与运算法则 2 . 3 . 3 等价等价 无穷小及其应用无穷小及其应用2 . 3 . 1 无穷小量的概念无穷小量的概念 2. 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大2 . 3 . 4 无穷大量无穷大量是 (当2. 3. 1 无穷小量的概念无穷小量的概念定定 义义: 则称变量 u 为该极限过程中的无穷小量。例如例如 :故函数 是 (当时的) 无穷小；故数列时为) 无穷小；故函数 是 (当时为) 无穷小；机动 目录 上页 下页 返回 结束 约定：约定： 某个给定的极限过程中变量 u 的极限.当自变量时，它表示函数的
2、极限；当自变量取正整数时，它表示数列的极限。注注：简称无穷小。若记作：则称 v 为该极限过程中的一有界量，记作：若函数 是 (当时为) 有界量。）不能忽略极限过程谈论无穷小量；）除了常数 0 之外，任何非零常数均不是无穷小量。机动 目录 上页 下页 返回 结束 注明注明: :）约定：无穷小量均为取非零值的变量。为讨论问题的方便，一般地，视自变量的变化状态而选取无穷的度量尺度（基本无穷小）为：当时；当时；当时；定理定理 ：定理定理 ( 函数极限与无穷小的关系 )证证:且且）有限个无穷小量的和（积）仍为无穷小量；机动 目录 上页 下页 返回 结束 ）有界量与无穷小量的积是无穷小量。推论：常数与无穷
3、小量的积是无穷小量；有限个无穷小量的线性组合仍是无穷小量。且都是无穷小, 无穷小量的比较与运算法则无穷小量的比较与运算法则例如例如 . 当当但 因此，有必要对它们作进一步的分析与研究。这里提出了机动 目录 上页 下页 返回 结束 尽管各无穷小量的极限均相同（为 0 ）, 但在同一极限过程中它们趋于零的快慢程度（速度）、方式并非完全一致。两个方面的问题：. 确立一套比较原则（方法），即如何比较的问题；. 选定一个比较标准或称为比较尺度（基本无穷小），即用什么作比较的问题。时，定定 义：义：）若则称 u 是 比 v 高阶的高阶的无穷小）若）若）设 为该极限过程的基本无穷小，或记作：（或称 v 是则
4、称 u 与 v 是同阶的同阶的无穷小，则称 u 是 k 阶阶无穷小，则称 u 与 v 是等价的等价的无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束 设同一极限过程中记作：记作：称为无穷小 u 的主部。无穷小 u 的阶；记作：若k 称为比 u 低阶的低阶的无穷小），C 为常数，显然即例如例如 , 当时又如又如 ，故时是（关于 x 的） 2 阶无穷小, 其主部是：机动 目录 上页 下页 返回 结束 即注明：注明：并不是任意的两个无穷小都可以进行比较的。并不是任意的两个无穷小都可以进行比较的。例如：均是无穷小( x0 ),但两者是无法比校的。无穷小量的运算：无穷小量的运算：定定 理理 ：设同一极限过程中
5、的C 为非零常数， 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 3. 3 等价无穷小及其应用等价无穷小及其应用证证:即例如例如,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 定定 理理 1 .设在同一极限过程中：则（和取低阶的原则）当时，即定定 理理 2 .（等价替换原理）（等价替换原理） 则证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ）积 (商) 替换：设）和 (差) 替换： 设w 为一表达式，则) 的证明不难，同学自证，下只证）例例 1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算下列极限：例例2. 求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 3. 4 无穷大量无穷大量定定 义义 ：则称函数（当时
6、）为无穷大无穷大， 使得若在定义中将 式改为记作记作存在着机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称函数（当时）为正无穷大正无穷大，若在定义中将 式改为记作则称函数（当时）为负无穷大负无穷大，注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数当但所以时 ,不是无穷大 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 . 证明证证: 任给正数 M ,要使即只要取则对满足的一切 x , 有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线 .渐近线说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定定 理理：（无穷小与无穷大的关系）：（无穷小与无穷大的关系）变量 u 为某一极限过程的无穷大量的充分必要条件是：变量为同一极限过程的无穷小量。据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系Th3. 无穷小与无穷大的关系Th第五节 目录 上页 下页 返回 结束 4. 无穷小的比较：设 , 为同一极限过程中的两个无穷小，且满足： 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小，k 称为无穷小 的阶，
