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1、曲顶柱体体积：曲顶柱体体积：二重积分的计算二重积分的计算1. X型区域型区域特点特点:用平行于用平行于 y 轴且穿过轴且穿过 D 内部的直线与内部的直线与 D 的边界相的边界相交不多于两点。交不多于两点。 特点特点：平行于：平行于 x 轴且穿过轴且穿过 D 内部的直线与内部的直线与 D 的的边界相交不多于两点。边界相交不多于两点。2. Y 型区域型区域 X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点
2、线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割. 解解解解积分区域如图积分区域如图解解积分区域如图积分区域如图解解解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图. 极坐标下重积分的计算极坐标下重积分的计算（2）极坐标与直角坐标的关系极坐标与直角坐标的关系（3）曲线的极坐标表）曲线的极坐标表示示圆：圆：x2+y22y = 0 r2cos2 + r2sin22rsin = 0 r2 = 2rsin该圆的极坐标方程为该圆的极坐标方程为 r = 2sina = cr = ar = 2sinoM(x,y)xy
3、平面上给定点平面上给定点 M(x, y)M( r, ) 点点M的极坐标的极坐标（r为为常数常数，02）（1）极坐标）极坐标例如例如 r = a 圆圆 = c 射线射线以圆族以圆族 r = ri , 及射线族及射线族 = i （ i = 1，2，n）分）分割割D解解解解解解满足满足一阶偏导数连续一阶偏导数连续;雅可比行列式雅可比行列式(3) 变换变换定理定理2变换变换:是一一对应的是一一对应的 ,二重积分的变量变换公式二重积分的变量变换公式则则证证 根据定理条件可知变换根据定理条件可知变换 T 可逆可逆. 用平行于坐标轴的用平行于坐标轴的 直线分割区域直线分割区域 任取其中一个小矩任取其中一个小
4、矩形形, 其顶点为其顶点为通过变换通过变换T, 在在 xoy 面上得到一个四边面上得到一个四边形形, 其对应顶点为其对应顶点为则同理得同理得当当h, k 充分小时充分小时,曲边四边形曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四近似于平行四 边形边形, 故其面积近似为故其面积近似为因此面积元素的关系为因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式从而得二重积分的换元公式: 例如例如, 直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时, 广义极坐标变换广义极坐标变换例例 计算计算其中其中D 是是 x = 0, y = 0, x + y = 1 所围区域所围区域. 解解则则令令例例 求抛物线求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线和直线所围区域所围区域 D 的面积的面积. 解解令令
