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1、第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程问题引航引航1.1.曲曲线的方程和方程的曲的方程和方程的曲线是如何定是如何定义的的? ?只只满足一足一个条件是否可以个条件是否可以? ?2.2.如何判断一个方程是某条曲如何判断一个方程是某条曲线的方程的方程? ?曲线的方程和方程的曲线的概念曲线的方程和方程的曲线的概念前提前提一般地一般地, ,在直角坐在直角坐标系中系中, ,如果某曲如果某曲线C(C(看作点的集看作点的集合或适合某种条件的点的合或适合某种条件的点的轨迹迹) )上的点与一个二元方上的点与一个二元方程程f(x,y)=0f(x,y)=0的的实数解建立了如下的关系数解建立了如下的关
2、系: :条件条件曲曲线上点的坐上点的坐标都是都是_;_;以以这个方程的解个方程的解为坐坐标的点都是的点都是_结论这个方程就叫做曲个方程就叫做曲线的方程的方程; ;这条曲条曲线就叫做方程就叫做方程的曲的曲线这个方程的解个方程的解曲曲线上的点上的点1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”, ,错误的打的打“”) )(1)(1)若以方程若以方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解的解为坐坐标的点都在曲的点都在曲线C C上上, ,则方程方程f(x,y)=0f(x,y)=0即即为曲曲线C C的方程的方程.(.() )(2)(2)若曲若曲线C C上的点上的点满足方程足方程F(x,y)=0,F(x,y
3、)=0,则坐坐标不不满足方程足方程F(x,y)=0F(x,y)=0的点不在曲的点不在曲线C C上上.(.() )(3)(3)方程方程x+y-2=0x+y-2=0是以是以A(2,0),B(0,2)A(2,0),B(0,2)为端点的端点的线段的方程段的方程. .( () )【解析解析】(1)(1)错误错误, ,曲线的方程必须满足两个条件曲线的方程必须满足两个条件. .(2)(2)正确正确, ,根据曲线的方程和方程的曲线的概念根据曲线的方程和方程的曲线的概念, ,不满足方程不满足方程F(x,y)=0F(x,y)=0的点的点, ,显然不在曲线显然不在曲线C C上上. .(3)(3)错误错误, ,以方程
4、的解为坐标的点不一定在线段以方程的解为坐标的点不一定在线段ABAB上上, ,如如M(-4,6)M(-4,6)就不在线段就不在线段ABAB上上. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线上上) )(1)(1)写出曲写出曲线xy-4x-3y=0xy-4x-3y=0上一点的坐上一点的坐标. .(2)(2)直直线C C1 1:x+y=0:x+y=0与直与直线C C2 2:x-y+2=0:x-y+2=0的交点坐的交点坐标为. .(3)(3)点点A A 在方程在方程x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=10=10表示的曲表
5、示的曲线上上, ,则m=m=. .【解析】【解析】(1)(1)取取x=1,x=1,代入得代入得y-4-3y=0,y-4-3y=0,所以所以,y=-2,y=-2,故点故点(1,-2)(1,-2)在曲线上在曲线上. .答案答案: :(1,-2)(1,-2)(答案不惟一答案不惟一) )(2)(2)由由 得得答案答案: :(-1,1)(-1,1)(3)(3)由点由点 在曲线在曲线x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=10=10上上, ,所以所以 +(-m-1) +(-m-1)2 2=10,=10,解得解得m=2m=2或或m= m= 答案答案: :2 2或或【要点探究要点探究】知知识点点 曲曲线的
6、方程和方程的曲的方程和方程的曲线对曲曲线的方程与方程的曲的方程与方程的曲线的定的定义的四点的四点说明明(1)(1)定定义中的条件中的条件说明曲明曲线上没有点的坐上没有点的坐标不是方程的解不是方程的解, ,即即曲曲线上每个点的坐上每个点的坐标都符合都符合这个条件个条件. .(2)(2)定定义中的条件中的条件说明符合条件的所有解构成的点都明符合条件的所有解构成的点都应在曲在曲线上上. .(3)(3)定定义的的实质是平面曲是平面曲线上的点集上的点集M|p(M)M|p(M)和方程和方程f(x,y)=0f(x,y)=0的的解集解集(x,y)|f(x,y)=0(x,y)|f(x,y)=0之之间是一一是一一
7、对应关系关系. .因此平面曲因此平面曲线可以理可以理解解为平面内符合某种条件的点的集合平面内符合某种条件的点的集合. .(4)(4)从集合角度看从集合角度看: :若若设曲曲线C C上的点的坐上的点的坐标组成集合成集合A,A,以方程以方程f(x,y)=0f(x,y)=0的的实数解数解为坐坐标的点的点组成集合成集合B,B,则A AB B且且B BA,A,所以所以A=B.A=B.【知识拓展知识拓展】两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系曲线曲线C C1 1,C,C2 2的方程分别为的方程分别为f(x,y)=0f(x,y)=0和和g(x,y)=0.g(x,
8、y)=0.(1)(1)若若P(xP(x0 0,y,y0 0) )为为C C1 1,C,C2 2交点交点, ,则则(2)(2)交点的个数与交点的个数与 的解的组数相同的解的组数相同. .特别地特别地,C,C1 1与与C C2 2没有公共点没有公共点 没有解没有解. .【微思考微思考】(1)(1)是否所有曲是否所有曲线都有相都有相应的方程的方程? ?提示提示: :不一定不一定, ,有的曲线有方程有的曲线有方程, ,有的曲线就没有方程有的曲线就没有方程. .如图如图, ,随随意画一条曲线意画一条曲线, ,则求不出方程与之对应则求不出方程与之对应. .(2)(2)怎怎样判断方程是曲判断方程是曲线的方程
9、的方程? ?提示提示: :判断方程是否是曲线的方程判断方程是否是曲线的方程, ,要从两个方面着手要从两个方面着手, ,一是检一是检验曲线上点的坐标是否都适合方程验曲线上点的坐标是否都适合方程, ,二是检验以方程的解为坐二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上标的点是否都在曲线上. .【即时练即时练】1.1.已知坐已知坐标满足方程足方程F(x,y)=0F(x,y)=0的点都在曲的点都在曲线C C上上, ,那么那么( () )A.A.曲曲线C C上的点的坐上的点的坐标都适合方程都适合方程F(x,y)=0F(x,y)=0B.B.凡坐凡坐标不适合不适合F(x,y)=0F(x,y)=0的点都不在曲的点
10、都不在曲线C C上上C.C.不在曲不在曲线C C上的点的坐上的点的坐标必不适合必不适合F(x,y)=0F(x,y)=0D.D.不在曲不在曲线C C上的点的坐上的点的坐标有些适合有些适合F(x,y)=0,F(x,y)=0,有些不适合有些不适合F(x,y)=0F(x,y)=0【解析解析】选选C.C.满足方程满足方程F(x,y)=0F(x,y)=0的点都在曲线的点都在曲线C C上上, ,但曲线但曲线C C上上的点的坐标不一定都适合方程的点的坐标不一定都适合方程F(x,y)=0,F(x,y)=0,故故A A不正确不正确; ;坐标不适坐标不适合合F(x,y)=0F(x,y)=0的点的点, ,也可能在曲线
11、也可能在曲线C C上上, ,故故B B不正确不正确; ;因为满足方程因为满足方程F(x,y)=0F(x,y)=0的点都在曲线的点都在曲线C C上上, ,故不在曲线故不在曲线C C上的点必不适合方程上的点必不适合方程F(x,y)=0,F(x,y)=0,故故C C正确正确,D,D不正确不正确. .2.2.设方程方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解集非空的解集非空, ,如果命如果命题“坐坐标满足方程足方程f(x,y)=0f(x,y)=0的点都在曲的点都在曲线C C上上”是不正确的是不正确的, ,则下面命下面命题中正确的是中正确的是( () )A.A.坐坐标满足足f(x,y)=0f(x,y)=0的
12、点都不在曲的点都不在曲线C C上上B.B.曲曲线C C上的点的坐上的点的坐标不不满足足f(x,y)=0f(x,y)=0C.C.坐坐标满足足f(x,y)=0f(x,y)=0的点有些在曲的点有些在曲线C C上上, ,有些不在曲有些不在曲线C C上上D.D.一定有不在曲一定有不在曲线C C上的点上的点, ,其坐其坐标满足足f(x,y)=0f(x,y)=0【解析解析】选选D.D.“坐标满足方程坐标满足方程f(x,y)=0f(x,y)=0的点都在曲线的点都在曲线C C上上”不不正确正确, ,就是说就是说“坐标满足方程坐标满足方程f(x,y)=0f(x,y)=0的点不都在曲线的点不都在曲线C C上上”是是
13、正确的正确的. .这意味着一定有这样的点这意味着一定有这样的点(x(x0 0,y,y0 0),),虽然满足方程虽然满足方程f(xf(x0 0,y,y0 0)=0,)=0,但但(x(x0 0,y,y0 0) ) C,C,即一定有不在曲线即一定有不在曲线C C上的点上的点, ,其坐标满其坐标满足足f(x,y)=0,f(x,y)=0,故应选故应选D.D.【题型示范型示范】类型一型一 点与曲点与曲线的关系及的关系及应用用【典例典例1 1】 (1)(1)点点P(a+1,a+4)P(a+1,a+4)在曲在曲线y=xy=x2 2+5x+3+5x+3上上, ,则a a的的值是是. .(2)(2014(2)(2
14、014天津高二天津高二检测) )若曲若曲线y y2 2=xy+2x+k=xy+2x+k通通过点点(a,-a) (a,-a) (aR),(aR),则k k的取的取值范范围是是. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中由条件点中由条件点P(a+1,a+4)P(a+1,a+4)在曲线在曲线y=xy=x2 2+5x+3+5x+3上上, ,能得出什么结论能得出什么结论? ?2.2.题题(2)(2)如何求二次函数如何求二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的最值的最值? ?【探究提示探究提示】1.1.由条件可得出点的坐标满足方程由条件可得出点的坐标满足方程. .2.2
15、.对对y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c配方得配方得y=y=当当a0a0时时,y,y有最小值有最小值 当当a0a1,1,即即x1,x1,且当且当x=1x=1时时y0,y0,故选故选D.D.【拓展拓展类型型】曲曲线的交点的交点问题【备选例例题】(1)(1)若直若直线x-2y-2k=0x-2y-2k=0与与y=x+ky=x+k的交点在曲的交点在曲线x x2 2+y+y2 2=25=25上上, ,则k k的的值是是( () )A.1A.1B.-1B.-1C.1C.1或或-1-1D.D.以上都不以上都不对(2)(2)求直求直线y=x+ y=x+ 与曲与曲线y= xy= x2 2的交点的交点.
16、.【解析解析】(1)(1)选选C.C.联立得方程组联立得方程组 解得交点为解得交点为(-4k,-3k),(-4k,-3k),代入圆的方程中代入圆的方程中. .即即(-4k)(-4k)2 2+(-3k)+(-3k)2 2=25,=25,所以所以k=k=1.1.(2)(2)由由把把代入代入得得x+ = xx+ = x2 2, ,即即x x2 2-2x-3=0,-2x-3=0,解得解得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3.=3.将将x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3=3代入代入得得y y1 1= ,y= ,y2 2= = 所以所求交点为所以所求交点为 【方法技巧方法技巧】求曲线交点的三
17、个步骤求曲线交点的三个步骤【易错误区】【易错误区】方程方程变形中不是恒等形中不是恒等变形致形致误【典例】【典例】(2014(2014高二高二年级年级检测) )方程方程(x+y-2)(x+y-2)=0=0表示的曲表示的曲线是是( () )A.A.一个一个圆和一条直和一条直线B.B.半个半个圆和一条直和一条直线C.C.一个一个圆和两条射和两条射线D.D.一个一个圆和一条和一条线段段【解析解析】选选C.(x+y-2)C.(x+y-2) =0=0变形为变形为: :x x2 2+y+y2 2-9=0-9=0或或表示以原点为圆心表示以原点为圆心,3,3为半径的圆和直线为半径的圆和直线x+y-2=0x+y-
18、2=0在圆在圆x x2 2+y+y2 2-9=0-9=0外面的两条射线外面的两条射线. .【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析选选A A将方程转化变形时漏掉阴影处将方程转化变形时漏掉阴影处, ,即忽略了根式应有即忽略了根式应有意义意义【防范措施防范措施】合理进行转化合理进行转化将方程变形时将方程变形时, ,前后应保持等价前后应保持等价, ,否则否则, ,变形后的方程表示变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线的曲线不是原方程代表的曲线. .另外当方程中含有根式时另外当方程中含有根式时, ,要注要注意根式必须有意义意根式必须有意义. .如本例含有根式如本例含有根式, ,在化简时就容易忽视根式在化简时就容易忽视根式必须有意义而导致错误必须有意义而导致错误. .【类题试解解】方程方程(x+y-1) =0(x+y-1) =0表示的是表示的是( () )A.A.两条直两条直线B.B.一条直一条直线, ,一条射一条射线C.C.一个点一个点D.D.两条射两条射线【解析解析】选选B.B.由方程由方程(x+y-1) =0(x+y-1) =0可得可得或或x-1=0,x-1=0,即即x+y-1=0(x1)x+y-1=0(x1)或或x=1.x=1.故方程表示一条射线故方程表示一条射线x+y-1=0(x1)x+y-1=0(x1)和一条直线和一条直线x=1.x=1.
