分离变量法的精神和解题要领

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1、习题一：习题一：判定下列二阶方程的类型及化简判定下列二阶方程的类型及化简答案：答案：答案：习题二：长为l的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零，另一端有恒定热量q进入（即单位时间由通过单位截面积流入的热量为q），杆的初始温度分布是 ，试写出相应的定解问题。答案：n建立方程解题思路： 设其热传导系数为k，比热为c，线密度为。求杆内温度变化的规律。n建立坐标：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm= dx，热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则 由能量守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(

2、x,t)dxdt于是有c ut = -qx 由热传导定律q(x,t) = -k ux(x,t)代入前面的式子，得到c ut = k uxxut = a2 uxxxu解题方法：解题方法： 1 1建立方程，建立方程， 2 2定解条件：边界条件，初始条件定解条件：边界条件，初始条件 3 3定解问题定解问题分离变量法的精神和解题要领分离变量法的精神和解题要领n1分离变量法的精神n将未知函数按多个单元函数分开，如，令n从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解n2分离变量法的解题步骤n用分离变量法求解偏微分方程分4步n（1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界

3、条件，得到相应的特征值问题和其它常微分方程。n（2）求解特征值问题n（3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如 ）。n（4）叠加（如 ）用初始条件和齐次边界条件确定系数（即任意常数），从而得到偏微分方程定解问题的解。特征值问题n在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。n常涉及到的几种特征值问题：n（1） 特征值 ，特征函数 n（2） 特征值 ，特征函数 n（3） 特征值 ，特征值函数 n（4） 特征值为 ，特征值函数 有界弦的自由振动 特征值问题同热导相同特征值问题同热导相同形式不变形式不变有界杆上的热传导有界杆上的热传导形式不变形式不变特征值问题同振动方程相同特征值问题同振动方程相同本征值和本征函数波动与热导对比本征值问题X(x)：T(t)：本征值问题X(x)：T(t)：波动热导