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1、 当理想流体当理想流体流动时流动时，由于忽略了黏性力，所以流体，由于忽略了黏性力，所以流体各部分之间也各部分之间也不存在不存在这种这种切向力切向力，流动流体，流动流体仍然具有静仍然具有静止流体内的压强的特点止流体内的压强的特点，即，即压力总是垂直于作用面压力总是垂直于作用面的的流体动压强流体动压强：流体在流体在流动时内部的压强流动时内部的压强称为流体动压强称为流体动压强. .二、定常流动二、定常流动( (steady flow) ) 流体流动时，其中任一质元流过不同地点的流速不流体流动时，其中任一质元流过不同地点的流速不尽相同，而且流经同一地点，其流速也会随时间而变尽相同，而且流经同一地点，其
2、流速也会随时间而变定常流动：定常流动：在某些情况下，尽管流体内在某些情况下，尽管流体内各处的流速不同各处的流速不同，而各处的流速而各处的流速却不随时间而变化却不随时间而变化，这种流动称为定常流，这种流动称为定常流动动( (稳定流动、稳流稳定流动、稳流) )流线：流线：为了描述流体的运动，可为了描述流体的运动，可在流体中作一系列曲线，使曲线在流体中作一系列曲线，使曲线上任一点的切线方向都与该点处上任一点的切线方向都与该点处流体质元的速度方向一致各条流体质元的速度方向一致各条流线都是连续的且不相交，流线流线都是连续的且不相交，流线密处流速大，流线疏处流速小。密处流速大，流线疏处流速小。 即即, ,
3、不可压缩流体作稳定流动时不可压缩流体作稳定流动时, ,同一流管中横截面小处流速大同一流管中横截面小处流速大, ,横截面大处流速小横截面大处流速小 连续性方程连续性方程( (推导略推导略) )： 伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明了理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的了理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的压强压强p、流速、流速v和和高度高度h三个量之间的关系三个量之间的关系. .下面用下面用功能原理功能原理导出伯努利方程。导出伯努利方程。 如图所示，我们研究如图所示，我们研究管道中一段流体的运动。管道中一段流体的运动。设在某一时刻，这段流
4、设在某一时刻，这段流体在体在a1a2位置，经过极位置，经过极短时间短时间 t t后，这段流体后，这段流体达到达到b1b2位置位置. .v1v2p2 S2p p1 1 S S1 1h1h2a1b1a2b2三、伯努利三、伯努利( (D.Bernoulli) )方程方程 现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。假设流体没有粘性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁假设流体没有粘性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁对这段流体的作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。对这段流体的作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。所以所以流动过程中，除了重力之外，只有在它前后
5、的流体流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体对它作功对它作功。在它。在它后面的流体推它前进后面的流体推它前进，这个作用力，这个作用力作正作正功功；在它；在它前面的流体阻碍它前进前面的流体阻碍它前进，这个作用力，这个作用力作负功作负功。 v1v2p2 S2p p1 1 S S1 1h1h2a1b1a2b2因为时间因为时间 t极短，所以极短，所以a1b1和和a2b2是两段极短的是两段极短的位移，在每段极短的位位移，在每段极短的位移中，压强移中，压强p、截面积、截面积S和流速和流速v都可看作不变。都可看作不变。设设p1、S1、v1和和p2、S2、v2分分别是别是a1b1与与a2b2处流体的压强
6、、处流体的压强、截面积和流速，则后方流体截面积和流速，则后方流体的作用力是的作用力是p1S1，位移是，位移是v1 t，所作的所作的正功正功是是v1v2p2 S2p p1 1 S S1 1h1h2a1b1a2b2因为流体被认为不可压缩。所以因为流体被认为不可压缩。所以a1b1和和a2b2两小段流体两小段流体的的体积体积必然必然相等相等，用，用 V表示，则上式可写成表示，则上式可写成而前面流体作用力作的而前面流体作用力作的负功负功是是由此，外力的总功是：由此，外力的总功是： 其次，计算这段流体在其次，计算这段流体在流动中能量的变化流动中能量的变化. .对于稳对于稳定流动来说，在定流动来说，在b1a
7、2间的流间的流体的动能和势能是不改变体的动能和势能是不改变的。由此，就的。由此，就能量的变化能量的变化来说，可以看成是原先来说，可以看成是原先在在a1b1处的流体，在时间处的流体，在时间 t内内移到了移到了a2b2处处，由此而引起，由此而引起的能量增量是的能量增量是v1v2p2 S2p p1 1 S S1 1h1h2a1b1a2b2由功能原理由功能原理整理后得整理后得这就是伯努利方程，这就是伯努利方程，它表明在同一管道中任何一点处，它表明在同一管道中任何一点处，流体每单位体积的机械能的增量等于压力差的功流体每单位体积的机械能的增量等于压力差的功.在在工程上，上式常写成工程上，上式常写成得得三项
8、都相当于长度，分别叫做压力三项都相当于长度，分别叫做压力头、速度头、水头。头、速度头、水头。所以伯努利方程表明所以伯努利方程表明在在同一管道的任一处，压力头、同一管道的任一处，压力头、速度头、水头之和是一常量速度头、水头之和是一常量，对作稳定流动的理想对作稳定流动的理想流体，用这个方程对确定流体内部压力和流速有很流体，用这个方程对确定流体内部压力和流速有很大的实际意义，在水利、造船、航空等工程部门有大的实际意义，在水利、造船、航空等工程部门有广泛的应用。广泛的应用。根据伯努利方程根据伯努利方程,在等在等高高(水平水平)流管中流管中,有有即即,流速大处压强小流速大处压强小,流速小处压强大流速小处
9、压强大.例题例题1 1 水电站常用水库出水管道处水流的动能来发水电站常用水库出水管道处水流的动能来发电出水管道的直径与管道到水库水面高度电出水管道的直径与管道到水库水面高度h相比为相比为很小，管道截面积为很小，管道截面积为S试求出水处水流的流速和流试求出水处水流的流速和流量。量。解：解：把水看作理想流体把水看作理想流体. .在在水库中出水管道很小，水水库中出水管道很小，水流作定常流动如图所示，流作定常流动如图所示，在出水管中取一条流线在出水管中取一条流线ab.在水面和管口这两点处的在水面和管口这两点处的流速分别为流速分别为va和和vb. .在大水在大水库小管道的情况下，水面库小管道的情况下，水
10、面的流速的流速va远比管口的小远比管口的小, ,可可以忽略不计，即以忽略不计，即va=0.取管口处高度为取管口处高度为0，则水面高度为，则水面高度为h. .在在a、b两点的压两点的压强都是大气压强都是大气压pa=pb=p0由伯努利方程，得由伯努利方程，得式中式中是水的密度，求出是水的密度，求出 即管口流速和物体从高度即管口流速和物体从高度h处自由落下的速度相等处自由落下的速度相等流量是单位时间内从管口流出的流体体积，常用流量是单位时间内从管口流出的流体体积，常用Q表表示，根据这个定义，可得示，根据这个定义，可得例题例题2 2 测流量的测流量的文丘里流文丘里流量计量计如图所示若已知截如图所示若已
11、知截面面S1和和S2的大小以及流体的大小以及流体密度密度，由两根竖直向上，由两根竖直向上的玻璃管内流体的高度差的玻璃管内流体的高度差h，即可求出流量，即可求出流量Q 解：解：设管道中为理想流体作定常流动，由伯努利方程，设管道中为理想流体作定常流动，由伯努利方程，因因p1-p2=gh，又根据连续性方程，有又根据连续性方程，有得得由此解得由此解得 于是求出流量为于是求出流量为 例例:机翼的升力机翼的升力 马格努斯效应马格努斯效应 在相对机翼静止的参考系里在相对机翼静止的参考系里,气流是自左向由的定气流是自左向由的定常流动常流动.起初的流动如图起初的流动如图,机翼上下气流速度几乎相等机翼上下气流速度
12、几乎相等.不久不久,由于机翼形状的不对称和流体粘滞性等的影响由于机翼形状的不对称和流体粘滞性等的影响,下部气流速度超过上部下部气流速度超过上部,于是在机翼尾部两股气流汇于是在机翼尾部两股气流汇合处形成逆时针方向的涡旋合处形成逆时针方向的涡旋.此涡旋脱离机翼而漂向下游此涡旋脱离机翼而漂向下游,对机翼不起作用对机翼不起作用.而由而由于角动量守恒于角动量守恒,机翼周围就形成一个机翼周围就形成一个顺时针方向的顺时针方向的环流环流.此环流此环流叠加叠加在原气流上在原气流上,使机翼使机翼上部的气流速上部的气流速度增大度增大,下部的气流速度减小下部的气流速度减小,最后机翼周围形成如最后机翼周围形成如图所示的
13、定常气流图所示的定常气流,此气流在机翼上部的流速比下此气流在机翼上部的流速比下部的大部的大.根据伯努利方程根据伯努利方程,下部的压强将大于上部下部的压强将大于上部,此压强差就此压强差就形成对机翼的升力形成对机翼的升力.设环流速度为设环流速度为u,机翼远前方气流的速度和压强可视为机翼远前方气流的速度和压强可视为常量常量,与位置无关与位置无关,分别设为分别设为v和和p0,机翼上部的压强为机翼上部的压强为p1,下部为下部为p2,则由伯努利方程则由伯努利方程,有有由此得由此得设机翼宽为设机翼宽为d,长为长为l,则升力则升力式中式中上式称上式称茹可夫斯基公式茹可夫斯基公式.当绕着自身轴旋转着的圆柱或圆球
14、形物体在流体中运当绕着自身轴旋转着的圆柱或圆球形物体在流体中运动时动时,由于粘滞作用由于粘滞作用,物体周围也会形成类似于机翼周物体周围也会形成类似于机翼周围的环流围的环流,在随物体一起移动的参考系中在随物体一起移动的参考系中,此环流叠加此环流叠加在迎面来的气流上在迎面来的气流上,最终也在物体周围形成上下不对最终也在物体周围形成上下不对称的定常气流称的定常气流,形成一个与物体移动方向和自转轴方形成一个与物体移动方向和自转轴方向均垂直的横向力向均垂直的横向力F,力的方向总是从气流与环流方向力的方向总是从气流与环流方向相反的一方指向相同的一方相反的一方指向相同的一方.称为称为马格努斯效应马格努斯效应.网球、乒乓球中的网球、乒乓球中的”弧弧圈球圈球”以及足球中的以及足球中的”香蕉球香蕉球”偏离原运动方偏离原运动方向的现象向的现象,就是由于这就是由于这一效应造成的一效应造成的.
