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1、第十二章第十二章 动动 量量 矩矩 定定 理理质点的动量矩质点的动量对点O的矩。 质点动量质点动量mvmv在在OxyOxy平面内的投影（平面内的投影（mvmv）xyxy对于点对于点OO的矩，定的矩，定义为质点动量对于义为质点动量对于z z轴的矩，简称对于轴的矩，简称对于z z轴的动矩轴的动矩 。 结论结论:力对点之矩的矢量在某一轴上的投影力对点之矩的矢量在某一轴上的投影, ,等于这一力对该轴之矩等于这一力对该轴之矩 。 力对轴之矩与力对力对轴之矩与力对点之点之矩的关系矩的关系 质点对点质点对点O O的动量矩矢在的动量矩矢在z z轴上轴上的投影，等于对的投影，等于对z z轴的动量矩轴的动量矩 。
2、质点系的动量矩 质点系对点质点系对点OO的动量矩矢在的动量矩矢在z z轴上轴上的投影，等于质点系对的投影，等于质点系对z z轴的动量矩轴的动量矩 。矢量和代数和 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积 。 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。数，等于作用力对同一点的矩。质点的动量矩定理：质点系的动量矩定理 质点系对于某定点质点系对于某定点质点系对于某定点质点系对于某定点O O O O的动量矩对时间的导数，等于作用的动量矩对时间的导数，等于作用的动量矩对时间的导数，等于作用的动量矩对时间的导数，等于作用
3、于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。试用动量矩定理导出单摆试用动量矩定理导出单摆( (数学摆数学摆) )的运的运动微分方程。动微分方程。OA&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理mgLv 两个鼓轮固连在一起，其总质量是两个鼓轮固连在一起，其总质量是 m，对水对水平转轴平转轴 O的转动惯量是的转动惯量是 JO ；鼓轮的半径是鼓轮的半径是 r1 和和 r2 。绳端悬挂的重物绳端悬挂的重物 A和和 B 质量分别是质量分别是 m1 和和 m2 (图图a
4、)，且且 m1 m2。试求鼓轮的角加速度试求鼓轮的角加速度。OABr1r2(a)&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理mAgmBg动量矩守恒定律 当外力对于某定点（或某定轴）的主当外力对于某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。的动量矩保持不变。 摩摩擦擦离离合合器器靠靠接接合合面面的的摩摩擦擦进进行行传传动动。在在接接合合前前，已已知知主主动动轴轴 1 1 以以角角速速度度 0 0转转动动，而而从从动动轴轴 2 2 处处于于静静止止。一一经经结结合合，轴轴 1 1 的的转转速速迅迅速速
5、减减慢慢，轴轴 2 2 的的转转速速迅迅速速加加快快，两两轴轴最最后后以以共共同同角角速速度度 转转动动。已已知知轴轴 1 1 和和轴轴 2 2 连连同同各各自自的的附附件件对对转转轴轴的的转转动动惯惯量量分分别别是是 J J1 1 和和 J J2 2 ，试试求求接接合合后的共同角速度后的共同角速度 ，轴承的摩擦不计。轴承的摩擦不计。 0 1 2 2 1(a)(b)&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理小小球球A，B以以细细绳绳相相连连。质质量量皆皆为为m，其其余余构构件件质质量量不不计计。忽忽略略摩摩擦擦，系系统统绕绕z轴轴自自由由转转动动，初初始始时时系
6、系统统的的角角速速度度为为0。当当细细绳绳拉拉断断后后，求求各各杆杆与与铅铅垂垂线线成成角角时时系系统统的的角角速速度度 。 0zaallABzaallAB&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理 L Lz z1 1= =L Lz z2 2 转动惯量转动惯量是刚体转动惯性的度量。是刚体转动惯性的度量。如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为转动惯量为J，带动带动滑轮的皮带拉力为滑轮的皮带拉力为F1和和F2。求滑轮的角加速度求滑轮的角加速度 。R R O OF1F2例例例例 题题题题&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量
7、矩定理动量矩定理解：解：解：解：飞飞轮轮对对O的的转转动动惯惯量量为为JO，以以角角速速度度O绕绕水水平平的的O轴轴转转动动，如如图图所所示示。制制动动时时，闸闸块块给给轮轮以以正正压压力力F FN。已已知知闸闸块块与与轮轮之之间间的的滑滑动动摩摩擦擦系系数数为为fs，轮轮的的半半径径为为R，轴轴承承的的摩摩擦擦忽略不计。求制动所需的时间忽略不计。求制动所需的时间t。 OO&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理FsFNFOxFOymg传传动动轴轴如如图图所所示示。设设轴轴和和的的转转动动惯惯量量分分别别为为J1和和J2，转转动动比比 , , R1，R2分分别
8、别为为轮轮 ，的的半半径径。今今在在轴轴上上作作用用主主动动力力矩矩M1，轴轴上上有有阻阻力力力力矩矩M2，转转向向如如图图所所示示。设设各各处处摩摩擦擦忽忽略略不不计计，求求轴轴的角加速度。的角加速度。 M1M2&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理M11R1FFNM22R2FNF因因因因，于是得，于是得，于是得，于是得 例例例例 题题题题&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理1、简单形状物体的转动惯量计算2、回转半径（惯性半径）细直杆均质圆环均质圆板转动惯量 同质量一样，转动惯量是刚体固有的物理属性，它与刚体的运动无关
9、，也不来自任何力学定理。一旦转轴确定，转动惯量即为恒定，且恒为正值。 对于连续体 若把刚体的总质量M集中于刚体上某一点处，该点到转轴的距离为，则有：平移轴定理： 刚体对任意轴的转动惯量JZ等于对与该轴平行的质心轴的转动惯量JC加上刚体的总质量与两轴间距离d的平方的乘积。刚体对质心轴的转动惯量最小。：回转半径或惯性半径CRdrdr均质圆轮质量为m，半径为R，求对质心轴C的转动惯量。解：取单位厚度的圆轮研究，取一面积微元dm对轮缘上任一点，有：解：取一微元dx对杆端，有：均质杆质量为m，长为l，求对质心轴C的转动惯量。CdxxOxz平行轴定理 刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并于该
10、轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。 无无无无外外外外力力力力矩矩矩矩作作作作用用用用的的的的半半半半径径径径为为为为R R，质质质质量量量量为为为为mm0 0的的的的圆圆圆圆柱柱柱柱形形形形自自自自旋旋旋旋卫卫卫卫星星星星绕绕绕绕对对对对称称称称轴轴轴轴旋旋旋旋转转转转，质质质质量量量量各各各各为为为为mm的的的的两两两两个个个个质质质质点点点点沿沿沿沿径径径径向向向向对对对对称称称称地地地地向向向向外外外外伸伸伸伸展展展展，与与与与旋旋旋旋转转转转轴轴轴轴的的的的距距距距离离离离x x x x不不不不断断断断增增增增大大大大如如如如图图图图示示示示。联联联联系系系系
11、卫卫卫卫星星星星与与与与质质质质点点点点的的的的变变变变长长长长度度度度杆杆杆杆的的的的质质质质量量量量不不不不计计计计，设设设设质质质质点点点点自自自自卫卫卫卫星星星星表表表表面面面面出出出出发发发发时时时时卫卫卫卫星星星星的的的的初初初初始始始始角角角角速速速速度度度度为为为为0 0 。试试试试计计计计算算算算卫卫卫卫星星星星自自自自旋旋旋旋角速度角速度角速度角速度 的变化规律。的变化规律。的变化规律。的变化规律。m m0 0R R xx&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理例例例例 题题题题&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定
12、理动量矩定理圆轮重Q ， 受外力作用，问地面光滑和有摩擦时，圆轮质心如何运动?FFF1).地面光滑时2).地面有摩擦时:左图质心保持不动，因为水平方向的合外力为零; 右图质心将沿力F方向运动.左图质心将向右运动， 右图中: a.若主动力FQf，则质心不动; b.若主动力FQf，则质心向右运动. 两相同的均质圆轮绕质心轴转动，角速度分别为1和2，且1 2 ，问 ： 1）哪个动量大? 分别为多少? 2）哪个动量矩大? 分别为多少? 答：1）一样大，均为0 汽车为何不能在光滑的水平路面上行使？答：系统在水平方向无外力，质心在水平面运动守恒。2）J1J2 均质圆轮半径均为r，求在下列不同形式下的动量、
13、对O点的动量矩。 只滚不滑CCOOO答：1）动量： 0、 mr、 mr 2）动量矩： Jo 、Jo、 Jo质系的动量为零，其动能是否也必为零？质系的动能为零，其动量是否也必为零？答：JZ=Pr ，两系统的转动惯量不同，所以角加速度不同。两质量同为m的均质轮，一作用一力P，一挂一重物重P，问两轮的角加速度是否相同？是多少？PPPOO怎样用旋转的方法区别生蛋和煮熟的鸡蛋，为什么？答：旋转时间较长的是熟蛋，时间短的是生蛋。 因为，熟蛋的壳、青、黄为一整体，而生蛋的则相对分离，开始时由于惯性，壳转，青、黄不转，内阻力使其早早停止转动。芭蕾舞演员伸臂抬腿旋转，收回臂、腿时将会出现什么现象？为什么？答：旋
14、转速度更快，因为对z轴动量矩守恒。人坐在转椅上，双脚离地，能否用双手将转椅转动？为什么？ 不能，因为对z轴动量矩守恒 实际上，动量矩定理除了对固定点O、固定轴z、质心C可以取矩外，还可以对瞬心P取矩，但是要求瞬心P到质心C的距离保持为常量，其公式的形式不变。O： 固定点z： 固定轴C： 质心P： 瞬心，要求PC=常量在圆轮作纯滚动及椭圆规机构中，此式显得特别方便。质点的动量对点O的矩质点系对于点O的动量矩也是矢量，为若z轴通过点O，则质点系对于z轴的动量矩，为若c为质点系的质心，对任一点o有动量矩对于定点o和定轴z有若C为质心、CZ轴通过质心，也有动量矩定理若zC与z轴平行，有转动惯量若z轴为
15、定轴或通过质心，有刚体绕z轴转动的动量矩为刚体的平面运动微分方程为高炉运送矿石用的卷高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮扬机如图所示。已知鼓轮的半径为的半径为R，质量为质量为m1，轮轮绕绕O轴转动。小车和矿石总轴转动。小车和矿石总质量为质量为m2。作用在鼓轮上作用在鼓轮上的力偶矩为的力偶矩为M，鼓轮对转轴鼓轮对转轴的转动贯量为的转动贯量为J，轨道的倾轨道的倾角为角为。设绳的质量和各处设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车摩擦均忽略不计，求小车的加速度的加速度a。OMW1vW2FN&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理OMW1FOxFOyvW2W2NW2t
16、FN&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2 。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动贯量为J，轨道的倾角为。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。 匀匀质质细细杆杆 AB 的的质质量量是 m，长长度度是是 2l，放放在在铅铅直直面面内内，两两端端分分别别沿沿光光滑滑的的铅铅直直墙墙壁壁和和光光滑滑的的水水平平地地面面滑滑动动。假假设设杆杆的的初初位位置置与与墙墙成成交交角角 0，初初角角速速度度等等于于零零；试试求求杆杆沿沿铅铅直直墙墙壁壁下下
17、滑滑时时的的角角速速度度 和和角角加加速速度度 以以及及杆杆开开始始脱脱离离墙墙壁壁时时它它与与墙墙壁壁所所成成的角度的角度 1 。xyOABC&例题例题第第第第4 4章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理 质量为m的点在平面Oxy内运动，其运动方程为其中a，b和为常量。求质点对原点O的动量矩。12-11 无重杆OA以角速度0绕轴O转动，质量m=25kg、半径R=200mm的均质圆盘以三种方式安装于杆OA的点A，如图所示。在图a中，圆盘与杆OA焊接在一起；在图b中，圆盘与杆OA在点A铰接，且相对杆OA以角速度r逆时针向转动；在图C中，圆盘相对杆OA以角速度r顺时针向转动。已知0=r=
18、4rad/s，计算在此三种情况下，圆盘对轴O的动量矩。12-12 图示两轮的半径各为R1和R2，其质量各为m1和m2，两轮以胶带相连接，各绕两平行的固定轴转动。如在第一个带轮上作用矩为M的主动力偶，在第二个带轮上作用矩为M的阻力偶。带轮可视为均质圆盘，胶带与轮奸无滑动，胶带质量略去不计求第一个轮的角加速度12-17重物质量为m1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮，并绕在鼓轮上，如图所示由于重物下降，带动了轮，使它沿水平轨道只滚不滑设鼓轮半径为r，轮的半径为，两者固连在一起，总质量为m2，对于其水平轴的回转半径半径为求重物的加速度12-14均质圆柱体的质量为m，在外圆上绕以细绳，绳的一端固
19、定不动，如图所示当铅垂时圆柱下降，其初速为零求当圆柱体的轴心降落了高度h时轴心的速度和绳子的张力12-16例例例例 题题题题&例题例题第第第第4 4章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理解解解解: : 在在 A 端脱离墙壁以前，受力如图所示。杆端脱离墙壁以前，受力如图所示。杆作平面运动，取坐标系作平面运动，取坐标系 Oxy ，则杆的运动微分则杆的运动微分方程可写成方程可写成由几何关系知由几何关系知xyOFAFBmgCvABC例例例例 题题题题&例题例题第第第第4 4章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理将式将式(d)和和(e)对时间求导，得对时间求导，得把把 (f)和和(g
20、)分别代入分别代入 (a)和和(b)，再把再把 FA 和和 FB 的值代入的值代入 (c)最后得杆最后得杆 AB 的角加速度的角加速度例例例例 题题题题&例题例题第第第第4 4章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理xyOFAFBmgCvABC利用关系利用关系把上式化成积分把上式化成积分求得杆求得杆 AB 的角速度的角速度例例例例 题题题题&例题例题第第第第4 4章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理xyOFAFBmgCvABC当杆即将脱离墙时当杆即将脱离墙时，FA 0。以。以FA = 0代入代入(a)，再根据再根据(f)得得把把(h) 和和(i)的表达式在的表达式在 = 1
21、 时的值代入上式，得关系时的值代入上式，得关系整理后，求得杆开始脱离墙时与墙所成的夹角整理后，求得杆开始脱离墙时与墙所成的夹角例例例例 题题题题&例题例题第第第第4 4章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理质量为质量为m半径为半径为r的滑轮（可视作均质圆盘）的滑轮（可视作均质圆盘）上绕有软绳，将绳的一端固定于点上绕有软绳，将绳的一端固定于点A而令滑轮自而令滑轮自由下落如图示。不计绳子的质量，求轮心由下落如图示。不计绳子的质量，求轮心C的加的加速度和绳子的拉力。速度和绳子的拉力。CrvCA&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理例例例例 题题题题&例题
22、例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理取滑轮和软绳组成的系统为对象，画出受力图。取滑轮和软绳组成的系统为对象，画出受力图。滑轮的运动可看作沿过点滑轮的运动可看作沿过点A的铅垂线向下的铅垂线向下作纯滚动，滚动角速度作纯滚动，滚动角速度，滚动角加，滚动角加速度速度。解：解：解：解：应用质心运动定理沿铅垂轴的投影，得应用质心运动定理沿铅垂轴的投影，得在在列列写写第第二二个个方方程程时时，可可以以任任意意选选用用以以下下方方法中的一种：法中的一种：(a)(a)1.列写对固定轴列写对固定轴Az的动量矩定理。的动量矩定理。CrmgFA例例例例 题题题题&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理联立求解式联立求解式（a），（b），得到得到2.列写对平移轴列写对平移轴Cz的动量矩定理。的动量矩定理。再代入式再代入式（a）解得解得将将，,，代入上式，得，代入上式，得即即即即Crm mg gF F A（b b）&例题例题第第第第1212章章章章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理
