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1、2.3.3 2.3.3 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质一、复习一、复习1。直线和平面垂直的定义。直线和平面垂直的定义 直线和平面相交，并且和这个平面内的任何直线和平面相交，并且和这个平面内的任何一条直线都垂直。一条直线都垂直。2。直线和平面垂直怎样判断？。直线和平面垂直怎样判断？判定定理：判定定理： 如果一个条直线和一个平面内的两条相交直线都如果一个条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直垂直,那么这条直线垂直于这个平面那么这条直线垂直于这个平面.线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直线面垂直定义或判定定理线面垂直定义或判定定理线面垂直定义线面垂直定义唯一性公理一唯一性公理一过一点有且只有一
2、条直线和已知平面垂直过一点有且只有一条直线和已知平面垂直唯一性公理二唯一性公理二过一点有且只有一个平面和已知直线垂直过一点有且只有一个平面和已知直线垂直直线和平面垂直的判定直线和平面垂直的判定 例例例例1 1 1 1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面面，那么另一条也垂直于这个平面 已知： ， 求证： 证明：设 是 内的任意一条直线(定义) 可作定理使用可作定理使用线线平行的性质定理线线平行的性质定理 ：如果两条平行直线中的如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个一条垂直于一个平面，那么另一
3、条也垂直于同一个平面平面若若a b，a 则则b 这个可以当作这个可以当作直线和平面垂直的直线和平面垂直的又一个又一个判定定理判定定理，现在请同学们改变这个定理的题设和结论，写出它现在请同学们改变这个定理的题设和结论，写出它的逆命题的逆命题若若aa，bb，则，则abab 下面就让我们看看这个命题是否正确？下面就让我们看看这个命题是否正确？已知：已知：a ， b 求证：求证：a b分析：分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题
4、的条件比较简单，想说明但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，共面就很困难了，更何况还要证明平行更何况还要证明平行我们能否从另一个角度来证明，比如，我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法矛盾？这就是我们提到过的反证法您知道用反证法证明命题的一般步骤吗？您知道用反证法证明命题的一般步骤吗？否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论肯定结论证明：证明：假定b与a不平行设bO，b是经过点O与直线a平行的直线， ab，a，b经过同一点O的两条直线b，b都垂直于平面是不可能的因此，ab已知：已知：a ， b 求证：求证：a b线线垂
5、直线线垂直线面垂直线面垂直判定定理判定定理 性质定理性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行这就是这就是直线和平面垂直的性质定理直线和平面垂直的性质定理；平行平行于同一条直线的两条直线于同一条直线的两条直线平行平行平面中空间中垂直垂直于同一条直线的两条直线于同一条直线的两条直线平行平行平面中空间中两个两个角角的两边分别对应平行，那么这的两边分别对应平行，那么这两个角两个角相等相等或或互补互补。平面中空间中学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看理，我们再来看看点到平面的距离的定义
6、点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离例1、已知：一条直线l和一个平面平行 求证：直线l上各点到平面的距离相等分析：首先，我们应该明确，点到平面的距离定义，分析：首先，我们应该明确，点到平面的距离定义，在直线在直线l上任意取两点上任意取两点A、B，并过这两点作平面，并过这两点作平面的的垂线段，现在只要证明这两条垂线段长相等即可垂线段，现在只要证明这两条垂线段长相等即可证明：证明：过直线过直线l l上任意两点上任意两点A A、B B分别引平面分别引平面的垂线的垂
7、线AAAA1 1、BBBB1 1，垂足分别为，垂足分别为A A1 1、B B1 1 AA AA1 1，BBBB1 1， AAAA1 1BBBB1 1（直线与平面垂直的性质定理）（直线与平面垂直的性质定理）设经过直线设经过直线AAAA1 1和和BBBB1 1的平面为的平面为，A A1 1B B1 1 ll， lAlA1 1B B1 1 AAAA1 1=BB=BB1 1（直线与平面平行的性质定理）即直线上各点到（直线与平面平行的性质定理）即直线上各点到平面的距离相等平面的距离相等直线和平面的距离的定义：直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一条直线和一个平面平行，这条直线上
8、任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离距离本例题的证明，实际上是把立体几何中直线上的本例题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行点到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行直线的距离问题这种把立体几何的问题转化成直线的距离问题这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法，是解决立体几何问题时平面几何的问题的方法，是解决立体几何问题时常常用到得方法常常用到得方法思考（课后练习思考（课后练习4 4）安装日光灯时，怎样才能使灯管和天棚、地板平行？安装日光灯时，怎样才能使灯管和天棚、地板平行？本题仿照例题本题仿照例题
9、2 2方法很容易证明，但以下的论述却是方法很容易证明，但以下的论述却是假命题假命题，你知道是为什么吗？，你知道是为什么吗？直线直线l l上上A A、B B两点到平面两点到平面的距离相等，那么的距离相等，那么ll只要两条吊线等长只要两条吊线等长转化为数学模型是，转化为数学模型是，如图如图1-76已知：直线已知：直线l上上A、B两点到平面两点到平面的距离相等，求的距离相等，求证：证：l 例例2 2、图、图1-771-77，已知，已知E E，F F分别是正方形分别是正方形ABCDABCD边边ADAD，ABAB的中点，的中点，EFEF交交ACAC于于M M，GCGC垂直于垂直于ABCDABCD所在平面
10、所在平面（1 1）求证：）求证：EFEF平面平面GMCGMC（2 2）若）若ABAB4 4，GCGC2 2，求点，求点B B到平面到平面EFGEFG的距离的距离解：（1）连结BD交AC于O，E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，ACBD，EFACACGCC，EF平面GMC（2）可证BD平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG（五）归纳小结，强化思想本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个距离的定义定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的距离的定义定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接
11、证法常依据定义、方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法法线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直判定定理、定义判定定理、定义 性质定理、定义性质定理、定义六、练习六、练习1 1已知矩形已知矩形ABCDABCD的边长的边长ABAB6cm6cm，BCBC4cm4cm，在，在CDCD上截取上截取CECE4cm4cm，以，以BEBE为棱将矩形折起，使为棱将矩形折起，使BCEBCE的高的高C
12、FCF平面平面ABEDABED，求：，求：（1 1）点）点CC到平面到平面ABEDABED的距离；的距离；（2 2）CC到边到边ABAB的距离；的距离；（3 3）CC到到ADAD的距离的距离（1）作）作FH AB于于H，作，作FG AD于于G，则，则CH AB，2 2如图如图1-791-79，已知：，已知：ABCDABCD是矩形，是矩形，SASA平面平面ABCDABCD，E E是是SCSC上一点上一点求证：求证：BEBE不可能垂直于平面不可能垂直于平面SCDSCD用到反证法，假设用到反证法，假设BE 平面平面SCD， ABCD；ABBE AB SB，这与，这与Rt SAB中中SBA为锐角矛盾为锐角矛盾 BE不可能垂直于平面不可能垂直于平面SCD
