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1、第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布 本次课讲授第二章第五节、第六节、第本次课讲授第二章第五节、第六节、第七节、第八节七节、第八节 下次课讲授第二章第八节、第九节、第下次课讲授第二章第八节、第九节、第十节、第十一节十节、第十一节 下次上课时交作业下次上课时交作业P17P18 重点：连续随机变量的密度、分布及其重点：连续随机变量的密度、分布及其关系关系 难点：同上难点：同上一、连续型随机变量及其概率分布一、连续型随机变量及其概率分布1.连续型随机变量产生的背景连续型随机变量产生的背景如何描述连续型随机变量如何描述连续型随机变量X X的概率分布呢？的概率分布呢
2、？背景1：若样本空间为区域，则区域内任一点的概率为零若样本空间为区域，则区域内任一点的概率为零 背景2：若样本为一连续区间，则定义随机变量为样本的一若样本为一连续区间，则定义随机变量为样本的一子区间，则随机变量的概率与子区间，则随机变量的概率与第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布2.概率的分布函数的定义：概率的分布函数的定义：是随机变量是随机变量X=X=X(wX(w) )的概率分布函数，简称分布函数或分布的概率分布函数，简称分布函数或分布证：证：3.区间上的概率分布：区间上的概率分布
3、：第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布由于连续随机变量中，点的概率为零，所以：由于连续随机变量中，点的概率为零，所以：4.4.分布函数的性质：分布函数的性质：(3) 定义在区间定义在区间a , b上的随机变量上的随机变量X的分布函数的分布函数F(x)第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布5.5.离散随机变量的分布函数定义：离散随机变量的分布函数定义： 利用连续型随机变量的分布函数的定义可以定义离散型利用连续型随机变量的分布函数的定义可以定义离散型随机变量的分布函数定义。请注意随机变量的分布函数定义。请注意离散型随机变量的
4、分布离散型随机变量的分布函数与概率分布或与概率函数是不同的概念。函数与概率分布或与概率函数是不同的概念。第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布其分布函数的图形是右连续的阶梯曲线（如下图）其分布函数的图形是右连续的阶梯曲线（如下图）第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布1 第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布例例5-1-1解：利用函数的解：利用函数的0 0，1 1与递增这三个性质判断与递增这三个性质判断第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布例例5-1-
5、2第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布已知已知求求X 的分布函数的分布函数FX(x)。P-1230.20.50.3X例例5-1-3第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布解解-11230第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布例例5-1-4第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布二二. .概率密度函数的概念概率密度函数的概念1.概率密度函数定义：概率密度函数定义：设随机变量设随机变量
6、X 落在区间落在区间 上的上的概率为概率为: 则比值则比值第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布连续型随机变量连续型随机变量 落在区间落在区间 内的概率为：内的概率为： 或或 (3)(3)：第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布2.概率密度的性质：概率密度的性质： (1)(1)(1)(1)：非负性：非负性：非负性：非负性 注注: 概率密度的图形概率密度的图形 通常叫做通常叫做 分布曲线分布曲线。 (2)(2)(2)(2)：规范性：规范性：规范性：规范
7、性 若随机变量若随机变量X的一切可能值都位于区间的一切可能值都位于区间a , b内内,则则:第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布例例5-2-1 (柯西分布柯西分布)设连续随机变量设连续随机变量X 的分布函数为的分布函数为求求: (1)系数系数 A 及及 B ; (2) 随机变量随机变量X 落在区间落在区间(-1,1)内的概率内的概率; (3)随机变量随机变量X的概率密度的概率密度. 解解 (1)解得解得 (2)(3)解解(1)只要定义：只要定义： 即可即可. (2)不是不是. (3)当当 时时, 与与 矛盾矛盾, 不是不是. 函数函数 可否是随机变量可否是
8、随机变量X 的概率密度的概率密度, 如果如果X 的可能值的可能值 充满区间充满区间:例例5-2-2第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布例例5-2-3 (拉普拉斯分布拉普拉斯分布) 连续随机变量连续随机变量X 的概率密度为的概率密度为 求求: (1)系数系数 A ; (2) 随机变量随机变量X 落在区间落在区间(0,1)内的概率内的概率; (3)随机变量随机变量X 的分布函数的分布函数. 解解 (1)(2)(3) 当当 时时, 当当 时时, 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布讲授下例前，介绍常用的伽玛函数的定义
9、：讲授下例前，介绍常用的伽玛函数的定义：伽玛函数的性质：伽玛函数的性质：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布即：即：解解令令得得 例例5-2-45-2-4 设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度为的概率密度为 其中其中 k 为正整数，求系数为正整数，求系数 A 的值。的值。 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布三、均匀分布与指数分布三、均匀分布与指数分布1.均匀分布：均匀分布：定义定义设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的一切可能值充满某一个有限区的一切可能值充满某一个有限区并且在该区间内任一点有相同
10、的概率密度，即：并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即：则这种分布叫做则这种分布叫做均匀分布均匀分布（或（或等概率分布等概率分布）。）。间间第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布均匀分布的概率密度及分布函数的图形分别如下：均匀分布的概率密度及分布函数的图形分别如下：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布显然显然指数分布指数分布的分布函数为的分布函数为 2.指数分布指数分布定义定义2 2其中其中
11、0 为常数。为常数。设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度的概率密度此类分布为此类分布为指数分布指数分布，若若随机变量随机变量X 服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布记作记作第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布即：即：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布因随机变量因随机变量 X 在在2,5上服从均匀分布上服从均匀分布,则则 X 的概率密度的概率密度:解解:独立观测独立观测,试求至少有试求至少有2次观测值大于次观测值大于3的概率的概率.设随机变量设随机变量 X 在在2,5上服从均匀分布上服从均匀分布,
12、现对现对 X 进行进行3次次例例5-3-1(1989)观测值大于观测值大于3的概率的概率:3次观测中有次观测中有2次观测值大于次观测值大于3的概率为的概率为:第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布解解已知某电子管的寿命已知某电子管的寿命X （小时）服从指数分布：（小时）服从指数分布：求这种电子管使用求这种电子管使用1000小时以上的概率。小时以上的概率。例例5-3-2 某仪器装有某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件只独立工作的同型号电子元件,其寿命其寿命(单位单位:h)都服从同一指数分布都服从同一指数分布,概率密度为概率密度为:例例5-3-3(1989
13、)：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布试求试求:在仪器使用的最初在仪器使用的最初200小时内至少有一只元件损坏的概率小时内至少有一只元件损坏的概率 .解解设随机变量设随机变量X表示电子元件的寿命表示电子元件的寿命(单位单位:h),P(A)=P( 0 X 200 )第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布四、随机变量的函数的分布四、随机变量的函数的分布设设 g(x) 是定义在随机变量是定义在随机变量X 的一切可能值的一切可能值 x 的集合上的函数的集合上的函数,若存在随机变量若存在随机变量Y，当变量当变量X 取值取
14、值 x 时，时， Y 有唯一值有唯一值 y = g (x)与与之对应，则称之对应，则称Y Y是随机变量是随机变量 X 的函数的函数( (一）离散型随机变量的函数的概率分布一）离散型随机变量的函数的概率分布1.1.定义定义：设随机变量设随机变量X 的概率分布为：的概率分布为：则随机变量函数则随机变量函数 的概率分布是：的概率分布是： 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布2.定义说明：定义说明：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布例例5-4-1 设随机变量设随机变量X 的概率分布为：的概率分布为：- -2 - -1
15、 01230.100.20 0.250.200.150.10求：求：(1)随机变量随机变量Y1= - 2X的概率分布；的概率分布；(2)随机变量随机变量Y2=X 2的概率分布。的概率分布。XP(X=xi )解解 （1） 由已知有由已知有420- -2 - -4 - -6 0.100.20 0.250.200.150.10把随机变量的可能值由小到大排列把随机变量的可能值由小到大排列的概率分布为的概率分布为第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布- -6 - -4 - -2 0 240.100.150.200.250.200.10（2） 显然有：显然有：410
16、1490.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.1001490.250.400.250.10整理得整理得的概率分布的概率分布第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布求随机变量求随机变量 的概率分布。的概率分布。12n例例5-4-2 设随机变量设随机变量的概率分布为：的概率分布为：解解由于由于所以，随机变量函数所以，随机变量函数 只有三个取值只有三个取值-1，0，1。第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布同理可解：同理可解：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布整理得
17、整理得 的概率分布的概率分布 - -101第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布（二）连续随机变量函数的分布（二）连续随机变量函数的分布设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 ,又又x的函数的函数 存在反函数存在反函数 ，则函数，则函数 也是一个连续型随机变量，也是一个连续型随机变量，且：且：1.定义：定义：2.定义说明定义说明(1) 设函数设函数 g(x) 单调增加单调增加, 则它的反函数则它的反函数 x = g -1-1( y ) 也单调增加也单调增加. 第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数
18、的概率分布(2) 设函数设函数是单调减函数，是单调减函数，则它的反函数函数则它的反函数函数 也是单调减函数。也是单调减函数。第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布例例6-3-3 解解第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布为单调函数，为单调函数，第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布解解:1yyxo例例6-3-4：设随机变量设随机变量X在区间在区间 服从均匀分布，即概率密度服从均匀分布，即概率密度第六
19、讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布上式两边对上式两边对y求导数，即得求导数，即得Y 的概率密度的概率密度第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布解解1:yxo当当当当例例6-3-5：设随机变量设随机变量X的概率密度的概率密度:求求: 的概率密度的概率密度.第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布例例6-3-6(1988)：设随机变量：设随机变量 X 在在1,2上服从均匀分布上服从均匀分布,求随机变量求随机变量的概率密度函数的概率密度函数解解1: 因随机变量因随机变量 X 在在1,
20、2上服从均匀分布上服从均匀分布:对任意实数对任意实数 y ,随机变量随机变量Y的分布函数为的分布函数为:当当 y 0 时,分布分布为不可能事件概率不可能事件概率当当 y 0 时,第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布当当 0 y 时,当当 时,第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布四、部分习题讲解四、部分习题讲解例6-4-1（97年研7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5
21、，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律（概率分布）和分布函数。第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布例例6-4-26-4-2（9595研研6 6分）分）第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布例题例题6-4-36-4-3（0404研研4 4分）分）第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布例例6-4-4 通过点通过点(0,1)任做直线与任做直线与 x 轴相交成角轴相交成角 (0). 求求直线在直线在 x 轴上的截距的概率密度轴上的截距的概率密度. 解解 设随机变量设随机变量 , 由题意知由题意知: 服服 从从(0, )上的均匀分布上的均匀分布.即即设随机变量设随机变量 X= x 表示直线在表示直线在 x 轴上轴上的截距的截距,则则第六讲第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布
