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1、角的平分线的性质角的平分线的性质 授课人授课人 ：宝东中学：宝东中学 王国华王国华不利用工具，请你将一张用纸片做的角不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活活 动动1 再再再再打打打打开开开开纸纸纸纸片片片片 ，看看看看看看看看折折折折痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？ （对折）（对折）角的平分线定义：从角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线。1、如如图图：是是一一个个平平分分角角的的仪仪器，其中器，其中AB=AD,BC=DC。将将点点A放放在在角角的的顶顶点
2、点,AB和和AD沿沿着着角角的的两两边边放放下下,沿沿AC画画一一条条射射线线AE,则则AE就就是是角角的的平平分分线，你能说明它的道理吗线，你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如如果果前前面面活活动动中中的的纸纸片片换换成成木木板板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 证明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB DC=BC CA=CA（公共边）（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB AC平分平分DABADBCE 根据平分角的仪器制作原理怎样根据平分角的仪器制作原理怎样作一个角的平分线？（不用平分角的作一个角的平分线？（不用平分角的仪器或量角
3、器）仪器或量角器）OABCE活活 动动3NOMCENM 分别以，为圆心分别以，为圆心大于大于 的长为的长为半径作弧两弧半径作弧两弧AOB的的内部交于内部交于如何用尺如何用尺如何用尺如何用尺规规作角的平分作角的平分作角的平分作角的平分线线？A A作法：作法：以为圆心，适当长以为圆心，适当长为半径作弧，交于，为半径作弧，交于，交于交于作射线作射线OC则则射线即为所求射线即为所求 探究角平分线的性质活活 动动4 (2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. . (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条
4、折痕为斜边），然后展开，三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？么结论？证明：证明：OC平分平分 AOB 1= 2 PD OA，PE OB PDO= PEO 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO 1= 2 OP=OP PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，(3)验证验证猜想猜想点点P在在OC上，上，PDOA于点于点D，PEOB于点于点E求证求证: PD=PE角
5、的平分线上角的平分线上的点到角两边的点到角两边的距离相等。的距离相等。(4)得到得到角平角平分线的性质分线的性质定理：定理：活活 动动5 利利用用此此性性质质怎怎样样书书写写推推理理过过程程?(几何语言几何语言)P PA AO OB BC CE ED D12 1=2 PDOA ， PEOB PD=PEOABED思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的的平分线平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为什么为什么?CPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不它们不是角平分线上任一点这个角两是角平分线上任一点这个角两边的距离边的距离,所以不一定相等所以不一定相等随堂练习随
6、堂练习BOACDPE1.如图，如图，OC是是 AOB的平分线，的平分线， PD=PEPDOA，PEOB动脑筋动脑筋2.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC， DE AB于于E，则：，则：图中相等的线段有哪些？相等的角呢？图中相等的线段有哪些？相等的角呢？哪条线段与哪条线段与DE相等？为什么？相等？为什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的长和的长和AED的周长。的周长。EDCBA 3.如如 图图 ： 在在 ABC中中 ，C=90 AD是是BAC的的平平分分线线，DEAB于于 E， F在在 AC上上 ，BD=DF；求证：；求证：CF=EBACDEBF 分分析析:要要证证CF=EB
7、,首首先先我我们们想想到到的的是是要要证证它它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现现已已有有一一个个条条件件BD=DF(斜斜边边相相等等),还还需需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE (因因为为角角的的平平分分线线的的性性质质) 再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！从这节课中你从这节课中你有哪些收获？有哪些收获？1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；2 2：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的角的平分线上的点到角的两边的距离距离相等相等 3：角平分线的性质的应用：角平分线的性质的应用2.如图如图,在在ABC中，中，ACBC，AD为为BAC的平的平分线，分线，DEAB，AB7，AC3，求，求BE的长。的长。EDCBA2.如图如图,在在ABC中，中，ACBC，AD为为BAC的平的平分线，分线，DEAB，AB7，AC3，求，求BE的长。的长。EDCBA
