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1、二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限2.22.2、2.32.3自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :函数的极限及性质 三、函数的单侧极限三、函数的单侧极限四、函数极限的性质四、函数极限的性质播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.1、定义：、定义：2、几何解释、几何解释:例例1. 证明证明:证证:取取因此因此就有就有故
2、故欲使欲使即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 =(a - - , ,a+ ) 邻邻 域域:二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限1、定义：、定义：2、几何解释、几何解释:注意：注意：例例2证证例例3证证例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.三、函数的单侧极限三、函数的单侧极限:1、在有限点的左右情况、在有限点的左右情况 左极限与右极限左极限与右极限左极限左极限 :当当时时, 有有右极限右极限 :当当时时, 有有定理定理1: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设函数设函数讨论讨论 时时的极限是否存在的极限是否存在 . 解解: 利用定理利用
3、定理 3 . 因为因为显然显然所以所以不存在不存在 .左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6：证证2、在无限远处的另两种情形、在无限远处的另两种情形:四、函数极限的性质四、函数极限的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性推论推论3.不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) )定理定理3(3(保号性保号性) )推论推论4.子列收敛性子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理4证证例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .例例7：证证二者不相等二者不相等,小结小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 思考题思考题思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.思考与练习思考与练习1. 若极限若极限存在存在,2. 设函数设函数且且存在存在, 则则是否一定有是否一定有？3.Let (a) Find (i)(ii)(b) Does exist?(c) Sketch the graph of F.一、填空题一、填空题:练练 习习 题题练习题答案练习题答案
