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1、第七章第七章线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析11. 高为炳编著： 运动稳定性基础运动稳定性基础，高等教育出版社, 1987 年5月2.黄琳： 稳定性理论稳定性理论，北京大学出版社, 1992年 7月3. 秦元勋、王慕秋、王联： 运动稳定性理论与应用运动稳定性理论与应用, 科学出版社, 1980年4. 王柔怀、伍卓群编： 常微分方程讲义常微分方程讲义, 人民教育出版社, 1978年5月5. 黄琳：稳定性与鲁棒性的理论基础稳定性与鲁棒性的理论基础,科学出版社，2003年2月参考书参考书26.LaSalle, J. P., Stability by Lyapunov direct metho
2、d, New York: Academic Press, 1961.7.Hahn, W., Stability of motion, New York, Springer-Verlag, 1967.8.Desoer, C.A. and Vidyasagar, M., Feedback systems: Input-output properties, New York: Academic Press, 1975.3 任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。显然，我们首先要考虑的问题是，当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。 此外，我们
3、知道，描述系统的数学模型，绝大部分都是近似的，这或者是由于量测误差，或者是为使问题简化，而不得不忽略某些次要因素。近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性问题。4预备知识预备知识: : 微分方程解的存在性及唯一性条件、解对初值的连续依赖性。1. 1. 微分方程解的表示。微分方程解的表示。考虑微分方程：其解 x(t) 是自变量 t 的函数，而t0, x0 变动时对应的解也随着变动，故它应该是自变量 t 与初值 t0、x0 的函数, 可记为 x(t, t0,x0) 例如5问题：问题：当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上的意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的数据
4、不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小。2. Lipschitz条件：条件：6若存在一个常数L，使得对任何 都有则称 f 在 上满足Lipschitz条件。这个定义可以推广到W为任意有限n维空间的情形。注：注：满足Lipschitz 条件可保证微分方程解的存在性和唯一性。3. 解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性7定理定理1（存在性及唯一性定理存在性及唯一性定理）：对于微分方程若 f (x,t) 在 WI 域内连续且满足Lipschitz 条件，则对任意的初始条件 x(x0, t0)WI，总存在常数a0，
5、使得有唯一解 x=x(t, t0, x0)在t0a, t0+a上存在、对t 连续 ，且满足初始条件x(t0)=x0。 稳定性所要研究的是解的渐近性质，即当解x(t)在t时的性状。故总假定在t0, ) 上解是存在的。8定理定理2（解对初值的连续依赖性解对初值的连续依赖性）：）：在定理1的条件下，若f (x,t) 在域内连续且满足Lipschitz 条件，则微分方程的解 x(t, t0,x0) 作为t, t0, x0的函数在它的存在范围内是连续的, 即 0, 0, 使得当 x (t0) (t0) 时,有x(t, t0, x(t0) (t, t0, (t0), atb , a t0 b以上定理说明：
6、以上定理说明：若在初始时刻x (t0)和 (t0) 十分接近，则在定义域a, b内的解x (t)和 (t) 也会十分接近。9 7-1 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的解在无穷区间t0, )满足存在和唯一性条件。一、平衡状态的稳定性一、平衡状态的稳定性1.1.平衡状态平衡状态 考虑系统：若随着时间t 的变化，状态 x=xe保持不变（即恒为常数），则称这个状态为系统的平衡状态平衡状态。由于平衡状态也是系统的一个状态，故它是上述微分方程10的一个解，即 的解。2. 2. 简化的
7、平衡状态简化的平衡状态 在初始时刻 t0 时,干扰引起的状态向量 x0 与平衡状态 xe 之差称为初始扰动向量。由 x0 所决定的运动过程是1112满足F(0, t)=0(7-2)(7-1) 因此，在下面考虑一般的时变、非线性、多变量系统时，我们总假定它的微分方程 其中x为 n 维向量，F(x, t)为 n 维的函数向量。这时方程（7-1）有解x=0 (满足x(t0)= 0) ，称为（7-1）的显然解或零解。 在以下讨论平衡状态的稳定性时，只需要讨论零解零解这个平衡状态的稳定性就可以了。13 设有一个初始扰动，使系统的状态偏离了平衡状态x=0。若初始扰动为x(t0)=x0 ，显然在这个初始扰动
8、作用下，方程（7-1）所决定的运动是下列初值问题 的解。将这个解表示为3. 3. 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义14可见，即使初始值微小地偏离了平衡状态，且在任意有限的时间内其解有界，但最终将发散。15事实上无论初始扰动多么大，最终将收敛到平衡状态。 以上两个例子是熟悉的线性系统的稳定和不稳定的例子。从第一个例子还可以看到，尽管在任意有限的时间内解是有界的，但若讨论时间趋于无穷(或在工程上，当时间“很长”）时系统的行为，则这种发散的特性就是完全不能接受的了。 Lyapunov 稳定性就是要研究微分方程的解在tt0，+）上的有界性。16 根据微分方程解对初值的连续依赖性质，可知只要
9、x0充分小，对于t0,T 之间的任一时刻，x(t,t0,x0) 偏离x=0（平平衡衡状状态态）也可以任意小。现在要研究这一性质是否对t0, +)均成立。定定义义7-1 对于任意的0，都存在(t0,)0，使得当x(t0) (t0, )时有 x(t, t0, x0) t t0成立。则称系统关于平衡状态（或原点） x=0 是（李雅普诺夫意义下）稳定的。 定定义义7-2 若定义7-1中的 =() ，即 与 t0 无关(关于t0 一致)，则称所定义的稳定为一致稳定。x(t0)0x(t, t0, x0)0 17定义定义7-1（李雅普诺夫意义下稳定）的图示：（李雅普诺夫意义下稳定）的图示：tt01. 此处
10、随着 、t0而变化； 2.x(t, t0, x0) t t0对于任意的0，都存在(t0,)0，使得当 x(t0) (t0,)时有 x(t, t0, x0) t t0 成立初值变化充分小时，解的变化( t t0)可任意小(不是无变化)；3.显然， (t0,) 。x(t0)18(t0 , )x0x(t)定定义义7-1 对于任意的0，都存在(t0,)0，使得当x(t0) (t0, )时有 x(t, t0, x0) t t0李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定19例：例：讨论下列系统的稳定性和一致稳定性：2021 关于不稳定的定义：关于不稳定的定义：定义：定义：若对任意给定的0，无论多么小，总可以
11、找到满足x(t0) 的某一初值x0，使得从它出发的运动轨线 x(t, t0, x0) 在某一时刻t1t0，有x(t, t0, x0) = ，则称系统(7-1)的零解是不稳定的。x(t0)tt0t122定定义义7-3 若 (a) x=0是稳定的。 (b)存在(t0)0，使得对任意的0，存在T(, t0, x0) ，当x(t0) (t0)， t t0 + T(, t0, x0)时，有x(t, t0, x0) 。则称x=0为渐近稳定。t0(t0)t0 + T(, t0, x0)1. 此处(t0)是固定的固定的一个范围(称为吸引区吸引区，不是任意小的)；2.x(t, t0, x0) ，t t0 + T
12、(, t0, x0)(a) x=0是稳定的, x在t t0的行为已决定(b) 是 t 充分大时的性质。23讨论：讨论：1)定义7-3的第二部分(b)又称为关于零解是吸引的关于零解是吸引的。它反映的是解的渐近性质。可以将(b)改成： 存在(t0)0，使得x(t0) (t0) 蕴涵2)稳定和吸引（即(a)和(b)）是相互独立的概念，对于一般的系统，它们之间不存在蕴涵关系。苏联人给出了一个著名的反例 (参见黄琳“稳定性理论”，1992，p.7 ），表明一个微分方程的解是吸引的但却不是稳定的。24定义定义7-4 若a) x=0是一致稳定的。b) 存在0 0，使得对任意的0 ，存在T() ，当x(t0)
13、 0 , t t0 + T()时有x(t, t0, x0) 。则称x=0为一致渐近稳定，即3)正数(t0) 称为系统渐近稳定的吸引区。若吸引区是整个空间，称系统是关于原点全局渐近稳定关于原点全局渐近稳定的。的。这里，一致性在于：0 不依赖于t0、且T仅依赖于，不依赖于t0 、x0。25定定义义7-5 若存在 0 ，对任意的0 ，存在() 0 ，使得当x(t0) () ，就有 x(t, t0, x0) e (t t0) t t0成立。则称x=0是按指数渐近稳定的。 这里所定义的稳定、一致稳定、渐近稳定、一致渐近稳定和按指数渐近稳定都是局部局部的概念，即定义中的条件只要在x=0的附近成立即可。但在
14、工程技术上，特别是在控制系统中，所发生的初始偏差并非任意的小，而是有限的或是任意大的。幸好，就我们所讨论的线性系统而言，全局和局部是一致的。 显然，以上定义关于t0、 x0是一致的。26指数渐近指数渐近稳定稳定稳定稳定渐近渐近稳定稳定一致渐近一致渐近稳定稳定一致一致稳定稳定 各种稳定性之间的关系各种稳定性之间的关系27例例：讨论下列系统是否稳定、是否一致稳定、是否渐近稳定：28例例：讨论下列系统是否一致稳定、是否渐近稳定、是否一致渐近稳定：解解：容易解出：2930二、运动的稳定性二、运动的稳定性 前一节讨论了动态系统的一种特殊的运动平衡状态的稳定性平衡状态的稳定性，现在来讨论系统(7-1)任一
15、运动的稳定性问题。我们已经知道，每一个初始状态x(t0)=x0确定唯一的解一个系统随着初始条件不同可以有很多不同的运动。现在，设我们关心(7-1)的某一个运动:我们欲研究这个运动的稳定性。我们称这个运动为给定运动给定运动，或未被扰运动未被扰运动。31 进而，设于初始时刻t0，系统受到干扰，状态由 x0 变成 x0+y0从这一初始状态出发的运动，即初值问题的解，称为被扰运动被扰运动。类比于平衡状态的稳定性（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等），我们也可以相应地定义相对于给定运动的稳定性相对于给定运动的稳定性（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等）。32定定义义 对于任意的0，都存在(t0,)0，使得当
16、x(t0) f(t0) (t0, )时有 x(t, t0, x0) f(t, t0, x0) t t0成立。则称系统关于给定运动 x=f(t, t0, x0)是（李雅普诺夫意义下）稳定的。 但需要指出，关于给定运动的稳定性可以变换关于给定运动的稳定性可以变换成关于零解的稳定性问题，故上述定义事实上是成关于零解的稳定性问题，故上述定义事实上是不必要的不必要的。33 为此，考虑变换y=xf，则扰动方程定义为：则显然这说明，通过上述变换可以将给定运动（或称为未被扰运动）的稳定性问题化为(7-3)的零解稳定性问题。也就是说，今后讨论运动的稳定性时，可先列出其扰动方程，然后讨论扰动方程(7-3)零解的稳
17、定性就可以了，而没有必要再给出运动稳定性的其它定义。34三、线性系统稳定性的特点三、线性系统稳定性的特点 （7-4）式比一般的方程（7-1）式的结构要简单，因此它在稳定性方面有更多的简单特性。定理定理7-1 对于方程(7-4) 所表示的线性系统，若有一个运动稳定，则其所有运动稳定。 因此，对线性系统而言，今后可笼统地说“系统是稳定的” ，而一般的非线性系统并不具备这一特性。 (7-4)考虑其对应的齐次方程为：35证明：证明：1) 设(7-4)的一个运动x1(t)是稳定的，即对任给 的0 ，使得对满足(7-4)的任一运动x(t)，只要x(t0) x1(t0) (t0, )，就有 x(t) x1(
18、t) ， t t0 (A-1)成立。但则上式（扰动方程）等价于p38362)现在，设y1(t)为(7-4)的另一个运动，y(t)为(7-4)的任一运动，则当y(t0)y1(t0) (t0, )，必有 y(t0)y1(t0) ， t t0 成立。这里， 只要选择得与(A-1)式相同就可以了。事实上，与前面的分析一样，考虑37比较式（A-2) p36和（A-3) ，它们显然有相同的形式，故上述结论成立。证完证完。38结结 论论1)从上面的分析可以看出，讨论线性系统在任意输入 u 作用下任一实际运动的稳定性，等价于讨论其所对应的齐次方程关于零解的稳定性且2)(B.1)具有什么性质的稳定性等价于(B.
19、2)具有同一种性质的稳定性。39例：例：讨论如下系统的稳定性：根据上面的分析，只需要讨论所对应的齐次方程的零解稳定性即可。齐次方程渐近稳定，故原系统渐近稳定。 此外，注意到在这个例子中，系统的响应是无界的。这是由于输入信号是无界的。这和系统的稳定性不是同一个概念。t未被扰运动未被扰运动被扰运动被扰运动40四、线性系统的稳定性判据四、线性系统的稳定性判据 由于线性动态方程的稳定性等价于其对应的齐次方程的零解的稳定性，故这里只讨论齐次方程对于（7-5）零解的稳定性问题。由于A(t)不是常量矩阵，因此一般不能用特征值来讨论系统运动的性质，而应该用与系统运动关系密切的状态转移矩阵(t,t0) 。例例7
20、-2 齐次方程如下 41A的特征值为 1， 1。 当t时，只要 x2(0)0 ，就有x(t)趋于无穷，故零解不稳定。因此，简单地由特征值来判断将导致错误的结论。42定理定理7-2 设A(t)是连续（或分段连续）的函数矩阵，则有以下充分必要条件成立： 3)（7-5)渐近稳定1) （7-5）稳定存在某常数N(t0)，使得对于任意的t0和t t0有 (t,t0) N(t0) （7-6）2)（7-5）一致稳定 1)中的N(t0)与 t0 无关。4)（7-5）一致渐近稳定存在N、C 0，使得对于任意的t0和t t0有431.李氏稳定等价于状态转移矩阵范数的有界性；2.一致稳定等价于状态转移矩阵范数的一致
21、有界性；3.渐近稳定等价于状态转移矩阵范数趋向于零；4.一致渐近稳定等价于状态转移矩阵按指数规律稳定。结论：对线性系统结论：对线性系统44讨论：讨论：1）定理7-2所给出的线性系统的重要性质，完全是由2）线性系统的稳定性具有全局性质。定义：定义：系统 的零解称为是全局（一致）渐近稳定的，若其零解是（一致）渐近稳定的且无论初始扰动多大，均有45 定理7-2之(3)、(4)清楚地表明， 对于线性系统 =A(t)x 而言，若其零解是（一致)渐近稳定的，那么由状态空间任一点为起点的运动轨线都要收敛到原点，即原点的渐定稳定的吸引区遍及整个状态空间即原点的渐定稳定的吸引区遍及整个状态空间，这就是上面定义所
22、述的全局（一致）渐近稳定或大范围（一致）渐近稳定的概念。定义 对任意的x(0) , 均有x(t)有界,则称 =A(t)x的零解是李雅普诺夫意义下稳定的。是全局渐近稳定的。463) 对于线性系统而言，零解的吸引性蕴涵其稳定性，而一般的非线性系统则不具备这一性质（此性质将进一步讨论）。4）再回到方程已经证明，其扰动运动的稳定性等价于对应的齐次方程零解的稳定性。根据定理7-2，如下推论为显然：推论推论1 1：若(7-4)稳定，则它的所有解或同时有界，或同时无界。47 故任一初始条件下的解x(t,t0,x0)有界与否等价于其特解的有界与否。而上式是所有解共有的。故只要有一个解有界，则说明上式必定有界，
23、从而所有的解均有界；反之，若有一个解无界，则说明上式必定无界，从而所有的解均无界。 证完。证完。推论推论2 2的证明：的证明：因为(7-4)的稳定性等价于其对应的齐次方程 =A(t)x的稳定性，由定理7-2之(1)或(2)可知此时 (一致)有界。而(7-4)的解为481)dx/dt=A(t)x(t)（7-5）稳定存在某常数N(t0)，使得对于任意的t0和t t0有 (t,t0) N(t0) （7-6）若则4950必要性必要性。因为零解x=0稳定，故对任意给定的 0，存在(t0, )0，只要x(t0) ，就有 (t,t0)x0 t t0今取显然， x0 /2 ，且(t,t0)的第 j 列是故有界
24、。依此可证明所有列，从而(t,t0)有界。证完。证完。512)dx/dt=A(t)x(t) （7-5）一致稳定 1)中的N(t0)与 t0 无关： (t,t0) N （7-6） 证明：证明：与1)类似。 3)（7-5)渐近稳定充分性充分性。因 (t,t0) 0 (t ) 故存在常数N(t0)，使得 (t,t0) N(t0) ， t t052今取必要性必要性。因零解x=0吸引，则存在 (t0)，使得只要x(t0)0，使得对于任意的t0和t t0有5556必要性必要性：设系统一致渐近稳定，要证明由于系统一致稳定，故对t0一致地有又根据一致渐近稳定的定义，对t0、x0一致，故57也对t0一致。这样，存在 T ()0 ,使得对一切对一切t0成立。成立。于是582) 进而，注意到对任意的正整数 n，根据(s-1)式，有则更一般地，可以得到59于是对 ，有这里，前者用到了(s-2)，后者用到了(s-3)。这里，累次用到了(*)。6061通过引入正数 N 及 C:则由上图易见：这就证明了系统按指数渐近稳定。 证完。证完。62例例：讨论下列系统是否一致稳定、是否渐近稳定、是否一致渐近稳定：解解：解出：根据定理7-2，只要直接对其状态转移矩阵进行讨论就可以了：63
