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1、 问题问题1 1：水果店的合理进货模型水果店的合理进货模型 某时令水果店每售出一百千克水果，可以获某时令水果店每售出一百千克水果，可以获得利润得利润250250元，若当天进货不能出售出去，则每一元，若当天进货不能出售出去，则每一百斤将损失百斤将损失325325元。该水果店根据预测分析，每天元。该水果店根据预测分析，每天的需求量和对应的概率值如下表：的需求量和对应的概率值如下表： 在这样的需求结构下，水果店主希望知道，他在这样的需求结构下，水果店主希望知道，他应该每天进多少水果才能够获得最大的利润？应该每天进多少水果才能够获得最大的利润？1 1、初等概率模型、初等概率模型水果需求量/百千克012
2、345678相应的概率值0.050.10.10.250.20.150.050.050.052024/9/61信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚问题的分析问题的分析： 该问题为一个随机存储问题，要研究这类问题，该问题为一个随机存储问题，要研究这类问题，主要是按平均进货量（即数学期望）准则来讨论。主要是按平均进货量（即数学期望）准则来讨论。问题的假设：问题的假设： （1 1）当不满足需求，即缺货时，店主没有任何）当不满足需求，即缺货时，店主没有任何损失，即不考虑缺货所带来的损失。损失，即不考虑缺货所带来的损失。 （2 2）水果店的纯利润为卖出水果后所获利润与）水果店的纯利润为卖出水果后所获利润
3、与因未卖出的水果所带来的损失部分之差因未卖出的水果所带来的损失部分之差。 问题问题1 1：水果店的合理进货模型水果店的合理进货模型1 1、初等概率模型、初等概率模型2024/9/62信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚模型的建立与求解模型的建立与求解 ：利用概率知识及经济学中边际利用概率知识及经济学中边际分析的方法，综合分析讨论这个问题分析的方法，综合分析讨论这个问题。 问题问题1 1：水果店的合理进货模型水果店的合理进货模型1 1、初等概率模型、初等概率模型2024/9/63信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚 （）水果店每天进货量为（）水果店每天进货量为2百千克情况：百千克情况： 由由
4、于于该该水水果果店店每每售售出出一一百百千千克克水水果果，能能够够获获得得利润利润250元；若不能出售时每百斤损失元；若不能出售时每百斤损失325元。元。 进货百千克时的需求量与纯利润表进货百千克时的需求量与纯利润表 问题问题1：水果店的合理进货模型水果店的合理进货模型1 1、初等概率模型、初等概率模型需求量需求量012345678纯利润纯利润-650-75500500500500500500500水果店纯利润的期望值为水果店纯利润的期望值为2024/9/64信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚（2）水果店进货量为）水果店进货量为3百千克情况：相应的需求量百千克情况：相应的需求量与对应的纯利
5、润计算结果如下表所示。与对应的纯利润计算结果如下表所示。 进货百千克时的需求量与纯利润表进货百千克时的需求量与纯利润表 问题问题1：水果店的合理进货模型：水果店的合理进货模型1 1、初等概率模型、初等概率模型需求量需求量012345678纯利润纯利润-975-400175750750750750750750水果店纯利润的期望值为水果店纯利润的期望值为2024/9/65信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚 问题问题1：水果店的合理进货模型水果店的合理进货模型1 1、初等概率模型、初等概率模型 （）水果店进货量为（）水果店进货量为4百千克情况：相应的需求量百千克情况：相应的需求量与对应的纯利润计
6、算结果如下表所示。与对应的纯利润计算结果如下表所示。 进货百千克时的需求量与纯利润表进货百千克时的需求量与纯利润表需求量需求量012345678纯利润纯利润-1300-725-15042510001000100010001000水果店纯利润的期望值为水果店纯利润的期望值为2024/9/66信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚 问题问题1：水果店的合理进货模型水果店的合理进货模型1 1、初等概率模型、初等概率模型 该水果店每天的水果进货量为该水果店每天的水果进货量为3百千克相对获得百千克相对获得利润较大。那么问题是否是百千克的进货量一定利润较大。那么问题是否是百千克的进货量一定就是最好的呢？就
7、是最好的呢？ 引入边际分析方法，边际分析方法是西方经济引入边际分析方法，边际分析方法是西方经济学中最基本的分析方法之一。学中最基本的分析方法之一。 通过已知信息，判定水果店每增加一百千克的通过已知信息，判定水果店每增加一百千克的进货量，所带来的利润或损失，进而判断进货量的进货量，所带来的利润或损失，进而判断进货量的合理性。合理性。 如果水果店现已有如果水果店现已有n百千克水果，那么再进百千克水果，那么再进1百百千克水果，从而就存有千克水果，从而就存有n+1百千克水果。百千克水果。2024/9/67信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚 首先给出以下两个概念：首先给出以下两个概念： 边际利润（边
8、际利润（Marginal Profit）：由所增加的）：由所增加的1个个单位水果带来的纯利润，记为单位水果带来的纯利润，记为MP。 边际损失（边际损失（Marginal Loss）：由所增加的个）：由所增加的个单位水果所导致的损失，记为单位水果所导致的损失，记为ML。 问题问题1：水果店的合理进货模型水果店的合理进货模型1 1、初等概率模型、初等概率模型 2024/9/68信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚 1、初等概率模型、初等概率模型 当销售概率大于当销售概率大于0.5652时，水果店时，水果店应再增加应再增加1百千克水百千克水果的进货量才是合算果的进货量才是合算的。从已知的需求量的。
9、从已知的需求量与对应概率值的关系：与对应概率值的关系：问题问题1：水果店的合理进货模型水果店的合理进货模型 该水果店的需求量大于等于该水果店的需求量大于等于4百千克的概率小于百千克的概率小于0.5652，而需求量大于等于，而需求量大于等于3百千克的概率大于百千克的概率大于0.5652。从而进货量应为从而进货量应为3百千克为好。百千克为好。2024/9/69信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚 2、简单统计模型 大学生的日常生活水平随着整个时代的变迁发生大学生的日常生活水平随着整个时代的变迁发生着巨大的变化。我们想了解一下，目前在校大学生的着巨大的变化。我们想了解一下，目前在校大学生的日常生活
10、费支出与来源状况。日常生活费支出与来源状况。 问题问题1：大学生平均月生活费的测算模型：大学生平均月生活费的测算模型 根据随机抽样的理论，根据随机抽样的理论，2002年对北京某高校本科年对北京某高校本科生的月生活费支出状况进行了抽样调查。生的月生活费支出状况进行了抽样调查。 本次问卷调查对在校男女本科生共发放问卷本次问卷调查对在校男女本科生共发放问卷300份，回收问卷份，回收问卷291份，其中有效问卷共份，其中有效问卷共265份。份。 调查数据经整理后，得到全部调查数据经整理后，得到全部265名学生和按性名学生和按性别划分的男女学生的生活费支出数据。别划分的男女学生的生活费支出数据。2024/
11、9/610信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚2、简单统计模型、简单统计模型问题问题1：大学生平均月生活费的测算模型：大学生平均月生活费的测算模型模型假设模型假设 （1）抽样是相互独立的，所抽到的样本都是简单抽样是相互独立的，所抽到的样本都是简单随机样本。随机样本。（2）总体即大学生日常生活费支出服从正态分布。）总体即大学生日常生活费支出服从正态分布。用用 表示第表示第i个样本，即生活费支出额；个样本，即生活费支出额； 表示样本均值，即所抽到学生的日常生活费支表示样本均值，即所抽到学生的日常生活费支出的平均值；出的平均值； 表示样本标准差，即样本值与样本均值的偏离表示样本标准差，即样本值与样
12、本均值的偏离程度的度量；程度的度量； 是样本容量，即共抽到的有效问卷数。是样本容量，即共抽到的有效问卷数。2024/9/611信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚 2、简单统计模型、简单统计模型根据抽样结果，使用根据抽样结果，使用95%的置信水平，相应置信区间：的置信水平，相应置信区间：问题问题1：大学生平均月生活费的测算模型：大学生平均月生活费的测算模型 结论：全校本科生的月生活费平均水平在结论：全校本科生的月生活费平均水平在520.70554.40元之间；男生的月生活费平均水平在元之间；男生的月生活费平均水平在505.15552.43元之间；女生的月生活费平均水平在元之间；女生的月生活费
13、平均水平在545.83596.65元之间。元之间。 模型建立与求解模型建立与求解2024/9/612信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚2、简单统计模型、简单统计模型问题问题1：大学生平均月生活费的测算模型：大学生平均月生活费的测算模型模型评价与应用模型评价与应用 模型用到了估计精度为模型用到了估计精度为95%的参数的区间的参数的区间估计，并且按性别不同，给出了不同的区间估计，并且按性别不同，给出了不同的区间估计。估计。 模型也可应用到很多实际问题的估计上，模型也可应用到很多实际问题的估计上，比如：一个普通家庭日常收入与支出状况、比如：一个普通家庭日常收入与支出状况、一个城市人均住房情况等问
14、题统计分析。一个城市人均住房情况等问题统计分析。2024/9/613信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚2、简单统计模型、简单统计模型 “吸烟有害健康吸烟有害健康”， 请你建立一个数学模型，分请你建立一个数学模型，分析说明吸烟对人体有害的影响，这里可以只就吸烟对析说明吸烟对人体有害的影响，这里可以只就吸烟对高血压病的影响作用。高血压病的影响作用。 问题问题2：吸烟对血压的影响模型：吸烟对血压的影响模型 （1）问题分析）问题分析 为了研究吸烟对人体血压的影响，对吸烟的为了研究吸烟对人体血压的影响，对吸烟的66人人和不吸烟的和不吸烟的62人两类人群进行人两类人群进行24小时动态监测，分别小时动态
15、监测，分别测量测量24小时的收缩压小时的收缩压(24hSBP)和舒张压和舒张压(24hDBP) ， 白天白天(6:0022:00)收缩压收缩压(dSBP)和舒张压和舒张压(dDBP)， 夜间夜间(22:00次日次日6:00)收缩压收缩压(nSBP）和舒张压和舒张压(nDBP)。2024/9/614信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚 2、简单统计模型、简单统计模型问题问题2：吸烟对血压的影响模型：吸烟对血压的影响模型2024/9/615信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚2、简单统计模型、简单统计模型问题问题2：吸烟对血压的影响模型：吸烟对血压的影响模型 （3）模型建立：）模型建立：吸烟对
16、人体血压是否有影响？从吸烟对人体血压是否有影响？从这些数据中能得到什么样的推断？这些数据中能得到什么样的推断？ 吸烟者和不吸烟者两类样本分别来自两个非常大吸烟者和不吸烟者两类样本分别来自两个非常大的总体，这个问题需要从两个样本的参数（均值与的总体，这个问题需要从两个样本的参数（均值与标准差）来推断总体参数的性质。标准差）来推断总体参数的性质。 分别对分别对6项血压指标作假设检验，针对每组数据项血压指标作假设检验，针对每组数据指标提出假设：指标提出假设：；其中其中 分别是吸烟者和不吸烟者群体（总体）分别是吸烟者和不吸烟者群体（总体）的血压指标均值。的血压指标均值。2024/9/616信息工程大学
17、信息工程大学 韩中庚韩中庚 2、简单统计模型、简单统计模型问题问题2：吸烟对血压的影响模型：吸烟对血压的影响模型 （3）模型建立与求解：）模型建立与求解：根据抽样数据，作检验统计量根据抽样数据，作检验统计量 经计算，第五项指标即夜间收缩压（经计算，第五项指标即夜间收缩压（nSBP）没有）没有拒绝原假设，其余五项的指标即拒绝原假设，其余五项的指标即24小时的收缩压小时的收缩压（24hSBP）和舒张压（）和舒张压（24hDBP）、白天收缩压）、白天收缩压（dSBP）和舒张压（）和舒张压（dDBP）、夜间舒张压）、夜间舒张压（nDBP）都拒绝了原假设。）都拒绝了原假设。2024/9/617信息工程大
18、学信息工程大学 韩中庚韩中庚 2、简单统计模型、简单统计模型问题问题3：男大学生的身高分布模型：男大学生的身高分布模型 （1）问题提出）问题提出； 现在考虑我国在校大学生中男性的身高分布问现在考虑我国在校大学生中男性的身高分布问题，根据有关统计资料表明，在校男大学生群体的题，根据有关统计资料表明，在校男大学生群体的平均身高约为平均身高约为170cm，且该群体中约有，且该群体中约有99.7%的人的人身高在身高在150cm至至190cm之间。之间。 试问该群体身高的分布情况是怎样的呢？试问该群体身高的分布情况是怎样的呢？ 进一步地将进一步地将150，190等分成等分成20个区间，在每个区间，在每一
19、高度区间上，研究相应人数的分布情况。一高度区间上，研究相应人数的分布情况。 特别是中等身高（特别是中等身高（165cm至至175cm之间）的人之间）的人占该群体的百分比能超过占该群体的百分比能超过60%吗？吗？2024/9/618信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚 2、简单统计模型、简单统计模型问题问题3：男大学生的身高分布模型：男大学生的身高分布模型 （2）问题分析：）问题分析：2024/9/619信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚 2、简单统计模型、简单统计模型问题问题3：男大学生的身高分布模型：男大学生的身高分布模型 （3）模型建立：）模型建立：；将将150，190等分成等分成2
20、0个区间，得到高度区间：个区间，得到高度区间：对应的分布：对应的分布：身高在身高在165至至175之间之间的人占该群体的百分比为的人占该群体的百分比为2024/9/620信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚 2、简单统计模型、简单统计模型问题问题3：男大学生的身高分布模型：男大学生的身高分布模型 （4）模型求解：）模型求解：； 虽然，通过变换再查标准正态分布的数值表，可虽然，通过变换再查标准正态分布的数值表，可以计算上面积分。但是，要得到各个身高区间上人数以计算上面积分。但是，要得到各个身高区间上人数的分布情况，显然都用这种方法是很繁杂的。而采用的分布情况，显然都用这种方法是很繁杂的。而采用
21、计算机却是轻而易举的事，通过数值积分的基本方法计算机却是轻而易举的事，通过数值积分的基本方法来解决这个问题。来解决这个问题。 选用数值积分中的复合梯形公式求积方法，可以选用数值积分中的复合梯形公式求积方法，可以计算出误差小于计算出误差小于0.0001的定积分值，从而可得出相应的定积分值，从而可得出相应分布。分布。2024/9/621信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚 2、简单统计模型、简单统计模型问题问题3：男大学生的身高分布模型：男大学生的身高分布模型 （4）模型求解：）模型求解：；用数值积分命令：用数值积分命令： 结论：身高中等（结论：身高中等（165cm至至175cm之间）的之间）的
22、大学生约占大学生约占54.67%，不足，不足60% 。如果放宽些，。如果放宽些，如如164cm至至176cm之间，则大约有之间，则大约有63.2%以上。以上。2024/9/622信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚3 3、一元线性回归模型、一元线性回归模型 问题问题1 1：一元线性回归方法一元线性回归方法和和2024/9/623信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚3 3、一元线性回归模型、一元线性回归模型 问题问题1 1：一元线性回归方法一元线性回归方法2024/9/624信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚3 3、一元线性回归模型、一元线性回归模型 问题问题1 1：一元线性回归方法一元
23、线性回归方法2024/9/625信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚3 3、一元线性回归模型、一元线性回归模型 问题问题2 2：确定身高与体重关系模型确定身高与体重关系模型问题提出问题提出： 身体肥胖现已成为人们关注的一个社会问题，身体肥胖现已成为人们关注的一个社会问题，过于肥胖一是影响美观，二是可能导致很多影响健过于肥胖一是影响美观，二是可能导致很多影响健康的疾病。肥胖的主要特征是体重过重，那么体重康的疾病。肥胖的主要特征是体重过重，那么体重与什么有关呢？当然这与每个人的身高有关。与什么有关呢？当然这与每个人的身高有关。2024/9/626信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚3 3、一元
24、线性回归模型、一元线性回归模型 问题问题2 2：确定身高与体重关系模型确定身高与体重关系模型问题分析与假设：问题分析与假设： 人的身高与体重之间存在着关系，这种关系是非确定性人的身高与体重之间存在着关系，这种关系是非确定性的关系，即所谓相关关系，因为涉及的变量体重是随机变量，的关系，即所谓相关关系，因为涉及的变量体重是随机变量，回归分析是研究这种相关关系的一种数学方法。回归分析是研究这种相关关系的一种数学方法。2024/9/627信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚3 3、一元线性回归模型、一元线性回归模型 问题问题2 2：确定身高与体重关系模型确定身高与体重关系模型2024/9/628信息
25、工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚4 4、参数估计模型、参数估计模型 问题问题1 1：参数估计方法参数估计方法所谓参数估计就是利用样本的信息来估计总体中的参数。所谓参数估计就是利用样本的信息来估计总体中的参数。参数估计法包括点估计法和区间估计法两种。参数估计法包括点估计法和区间估计法两种。 1.点估计法点估计法 点估计就是构造一个适当的统计量，用它的观察值来估计未点估计就是构造一个适当的统计量，用它的观察值来估计未知参数。知参数。 常用的点估计法有两种：矩估计法和极大似然估计法。常用的点估计法有两种：矩估计法和极大似然估计法。 矩估计法矩估计法:用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本用样本
26、矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量。矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量。 极大似然估计法极大似然估计法:固定样本观察值，在取值的可能范围内挑固定样本观察值，在取值的可能范围内挑选使概率达到最大的参数值作为参数的估计值。即构造似然函选使概率达到最大的参数值作为参数的估计值。即构造似然函数，求使似然函数达到最大的参数值，从而得到参数的估计值。数，求使似然函数达到最大的参数值，从而得到参数的估计值。 2024/9/629信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚4 4、参数估计模型、参数估计模型 问题问题1 1：参数估计方法参数估计方法2024
27、/9/630信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚4 4、参数估计模型、参数估计模型 问题问题2 2：糖果重量的估计模型糖果重量的估计模型2024/9/631信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚4 4、参数估计模型、参数估计模型 问题问题2 2：糖果重量的估计模型糖果重量的估计模型2024/9/632信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚4 4、参数估计模型、参数估计模型 问题问题3 3：糖果重量的估计模型糖果重量的估计模型2024/9/633信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚4 4、参数估计模型、参数估计模型 问题问题3 3：糖果重量的估计模型糖果重量的估计模型2024/9/634信息工程大学信息工程大学 韩中庚韩中庚
