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1、第二讲第二讲 参数方程参数方程圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程 椭圆的参数方程椭圆的参数方程复习复习圆的参数方程圆的参数方程1.圆心在原点圆心在原点,半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:2.圆心为圆心为(a, b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？它的参数方程是什么样的？MM如图如图,以原点为圆心以原点为圆心,分别以分别以a, b(ab0)为半径作两个圆为半径作两个圆,点点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点与小圆的交点,过点过点A作作ANOx,垂足为垂足为N,过点过点B作作BMAN,垂足为垂足为M,x xO
2、Oy yA AN NB B设以设以设以设以OxOx为始边，为始边，为始边，为始边，OAOA为终边的角为为终边的角为为终边的角为为终边的角为 ，点点点点MM的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(x, y)(x, y)。那么点那么点那么点那么点A A的横坐标为的横坐标为的横坐标为的横坐标为x x，点，点，点，点B B的纵坐标为的纵坐标为的纵坐标为的纵坐标为y y。由于点由于点由于点由于点A, BA, B均在角均在角均在角均在角 的终边上，由三角函数的定义有的终边上，由三角函数的定义有的终边上，由三角函数的定义有的终边上，由三角函数的定义有: :y yNMNMx xONON 这是中心在原点这是中心在原点
3、这是中心在原点这是中心在原点O,O,焦点在焦点在焦点在焦点在x x轴上的椭圆的轴上的椭圆的轴上的椭圆的轴上的椭圆的参数方程。参数方程。参数方程。参数方程。 常数常数常数常数a a、b b分别是椭分别是椭分别是椭分别是椭圆的长半轴长和短半轴圆的长半轴长和短半轴圆的长半轴长和短半轴圆的长半轴长和短半轴长。长。长。长。 在椭圆的参数方程在椭圆的参数方程在椭圆的参数方程在椭圆的参数方程中，通常规定参数中，通常规定参数中，通常规定参数中，通常规定参数 的范的范的范的范围为围为围为围为|OA|cos|OA|cosacosacos，|OB|sin|OB|sinbsinbsinOAMxyNB椭圆的标准方程椭圆
4、的标准方程: :椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :xyO圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2的几何意义是的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是是AOX=, 不是不是MOX=.称为点称为点称为点称为点MM的离心角的离心角的离心角的离心角 小小小小 结结结结 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：离心角离心角离心角离心角一般地：一般地：一般地：一般地： 在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方
5、程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a a、 b b分别是椭圆的分别是椭圆的分别是椭圆的分别是椭圆的长半轴长和短半长半轴长和短半长半轴长和短半长半轴长和短半 轴长轴长轴长轴长. ab. ab练习练习 把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. (1)(2)(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程 练习练习练习练习 O O是坐标原点，是坐标原点，是坐标原点，是坐标原点，P P是椭圆是椭圆是椭圆是椭圆 上上上上离心角为离心角为离心角为离心角为-/6-/6所对应的点，那么直线所对应的点，那么直线所对应的点，那么直线所对应的点，那么直线OPOP的倾角的正切值的倾角的正
6、切值的倾角的正切值的倾角的正切值是是是是 . . 解：把解：把解：把解：把代入椭圆参数方程代入椭圆参数方程代入椭圆参数方程代入椭圆参数方程可得可得可得可得P P点坐标点坐标点坐标点坐标所以直线所以直线所以直线所以直线OPOP的倾角的正切值是的倾角的正切值是的倾角的正切值是的倾角的正切值是: : xyOM解：因为椭圆的参数方程为解：因为椭圆的参数方程为解：因为椭圆的参数方程为解：因为椭圆的参数方程为( (为参数为参数为参数为参数) )，所以可设点所以可设点所以可设点所以可设点MM的坐标为的坐标为的坐标为的坐标为由点到直线的距离公式，得到点由点到直线的距离公式，得到点由点到直线的距离公式，得到点由
7、点到直线的距离公式，得到点MM到直线的距离为到直线的距离为到直线的距离为到直线的距离为 例例例例1 1、如图，在椭圆、如图，在椭圆、如图，在椭圆、如图，在椭圆 上求一点上求一点上求一点上求一点MM，使，使，使，使MM到直线到直线到直线到直线 l l：x+2y-10=0x+2y-10=0的距离最小的距离最小的距离最小的距离最小. . 例例例例1 1、如图，在椭圆、如图，在椭圆、如图，在椭圆、如图，在椭圆 上求一点上求一点上求一点上求一点MM，(1)(1)使使使使MM到直线到直线到直线到直线 l l ：x+2y-10=0x+2y-10=0的距离最小的距离最小的距离最小的距离最小. . 例例1、已知
8、椭圆、已知椭圆 上点上点M(x, y)，(2)求求2x+3y的最大值和最小值；的最大值和最小值； 例例2、如图，在椭圆如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P，使，使P到直线到直线 l：x-y+4=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1：分析分析2：分析分析3：平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX 例例3、已知椭圆、已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形，求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。 练习练习 已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴与坐标轴正半轴的两个交点正半轴的两个
9、交点,在第一象限的椭圆弧上求一点在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四使四边形边形OAPB的面积最大的面积最大. 例例例例4 4 求椭圆求椭圆求椭圆求椭圆 的内的内的内的内接矩形的面积及周长的最大值。接矩形的面积及周长的最大值。接矩形的面积及周长的最大值。接矩形的面积及周长的最大值。解解解解: :设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是矩形面积和周长分别是矩形面积和周长分别是矩形面积和周长分别是矩形面积和周长分别是S S、L L当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当时，时，时，时，此时此时此时此时 存在。存在。存在。
10、存在。 例例例例6 6 取一切实数时，连接取一切实数时，连接取一切实数时，连接取一切实数时，连接 A(4sin,6cos) A(4sin,6cos)和和和和B(-4cos, 6sin)B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是 . . A. A. 圆圆圆圆 B. B. 椭圆椭圆椭圆椭圆 C. C. 直线直线直线直线 D. D. 线段线段线段线段 例例例例5 5 四边形四边形四边形四边形ABCDABCD内接于椭圆内接于椭圆内接于椭圆内接于椭圆 其中点其中点其中点其中点A(3,0)A(3,0)，C(0,4)C(0,4)，B
11、B、D D分别位于椭圆第一象限与第三象限分别位于椭圆第一象限与第三象限分别位于椭圆第一象限与第三象限分别位于椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形的弧上。求四边形的弧上。求四边形的弧上。求四边形ABCDABCD面积的最大面积的最大面积的最大面积的最大值。值。值。值。 例例例例7 7 已知点已知点已知点已知点A A在椭圆在椭圆在椭圆在椭圆 上运动，点上运动，点上运动，点上运动，点B(0, 9)B(0, 9)、点点点点MM在线段在线段在线段在线段ABAB上，且上，且上，且上，且 , ,试求动点试求动点试求动点试求动点MM的轨迹方程。的轨迹方程。的轨迹方程。的轨迹方程。解：由题意知解：由题意知解：由
12、题意知解：由题意知B(0, 9), B(0, 9), 设设设设A(A(), ),并且设并且设并且设并且设M(x, y)M(x, y)(是参数是参数是参数是参数) )消去参数得动点消去参数得动点消去参数得动点消去参数得动点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是: : 例例例例6 6 椭圆椭圆椭圆椭圆 与与与与x x轴的正向相交于点轴的正向相交于点轴的正向相交于点轴的正向相交于点A, OA, O为坐标原点为坐标原点为坐标原点为坐标原点, , 若这个椭圆上存在点若这个椭圆上存在点若这个椭圆上存在点若这个椭圆上存在点P P，使得，使得，使得，使得OPOPAPAP。
13、求该椭圆的离心率求该椭圆的离心率求该椭圆的离心率求该椭圆的离心率e e的取值范围。的取值范围。的取值范围。的取值范围。解解解解: :设椭圆上的点设椭圆上的点设椭圆上的点设椭圆上的点P P的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(0(0且且且且), A(a, 0), A(a, 0)而而而而OPOPAPAP， （舍去），（舍去），（舍去），（舍去），因为因为因为因为所以所以所以所以可转化为可转化为可转化为可转化为解得解得解得解得于是于是于是于是B设中点设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin练习练习: 1 取一切实数时，连接取一切实数时，连接 A(4sin,6cos)和和B(-4
14、cos, 6sin)两点的线段两点的线段的中点轨迹是的中点轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段( )B双曲线的参数方程双曲线的参数方程A ABBB BOOy yx xMM AA以原点以原点以原点以原点O O为圆心为圆心为圆心为圆心, , a a, , b b( (a a0, 0, b b0)0)为半径分别作同心圆为半径分别作同心圆为半径分别作同心圆为半径分别作同心圆C C1 1, ,C C2.2.设设设设A A为圆为圆为圆为圆C C1 1上任一点上任一点上任一点上任一点, , 作直线作直线作直线作直线OAOA, ,过过过过A A作圆作圆作圆作圆C C1 1的切
15、线的切线的切线的切线AAAA 与与与与x x交于点交于点交于点交于点A A, ,过圆过圆过圆过圆C C2 2与与与与x x轴的交点轴的交点轴的交点轴的交点B B作圆作圆作圆作圆C C2 2的的的的切线切线切线切线BBBB 与直线与直线与直线与直线OAOA交于点交于点交于点交于点B B 。过点过点过点过点AA, , B B 分别作分别作分别作分别作y y轴轴轴轴, , x x轴的平行线轴的平行线轴的平行线轴的平行线A A MM, , B B MM交于点交于点交于点交于点MM, ,设设设设OAOA与与与与OXOX所成角为所成角为所成角为所成角为 ( ( 0, 20, 2 ), ), /2,/2,
16、3/2)3/2)求点求点求点求点MM的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程, , 并说出点并说出点并说出点并说出点MM的轨迹。的轨迹。的轨迹。的轨迹。研究双曲线研究双曲线研究双曲线研究双曲线的参数方程的参数方程的参数方程的参数方程 A ABBB BOOy yx xMM AAbaoxy)MBA事实上事实上事实上事实上(t 是参数是参数, t 0)化为普通方程化为普通方程, 画出方程的曲线画出方程的曲线.表示什么曲线表示什么曲线?画出图形画出图形.练习练习:4例例例例1. 1. 求点求点求点求点MM0 0(0, 2)(0, 2)到双曲线到双曲线到双曲线到双曲线x x2 2y y2 2=1=1上点
17、的最小距离。上点的最小距离。上点的最小距离。上点的最小距离。不妨设不妨设不妨设不妨设MM为双曲线右支上一点，其坐标为为双曲线右支上一点，其坐标为为双曲线右支上一点，其坐标为为双曲线右支上一点，其坐标为 则直线则直线则直线则直线MAMA的方程为的方程为的方程为的方程为 解得点解得点解得点解得点A A的横坐标为的横坐标为的横坐标为的横坐标为 平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形MAOBMAOB的面积为的面积为的面积为的面积为 由此可见，平行四边形由此可见，平行四边形由此可见，平行四边形由此可见，平行四边形MAOBMAOB的面积恒为定值，的面积恒为定值，的面积恒为定值，的面积恒为定值，与点与点与
18、点与点MM在双曲线上的位置无关在双曲线上的位置无关在双曲线上的位置无关在双曲线上的位置无关说明：说明：说明：说明： 这里参数这里参数这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OMOM的倾的倾的倾的倾斜角不同斜角不同斜角不同斜角不同. . 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三与三与三与三角恒等式角恒等式角恒等式角恒等式 相比较而得到，所以双曲相比较而得到，所以双曲相比较而得到，所以双曲相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换线的参数方程的实质
19、是三角代换线的参数方程的实质是三角代换线的参数方程的实质是三角代换. .例例3 例例例例4 4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。所张的角均为直角。所张的角均为直角。所张的角均为直角。A A2 2A A1 1B BA Ay yx xOO证明：设双曲线方程为证明：设双曲线方程为证明：设双曲线方程为证明：设双曲线方程为取顶点取顶点取顶点取顶点A A2 2(a, 0), (a, 0), 弦弦弦弦AB AB OxOx，弦弦弦弦ABAB对对对对A A1 1张直角，张直角
20、，张直角，张直角，同理对同理对同理对同理对A A2 2也张直角也张直角也张直角也张直角MMOOy yx x B BAA 例例例例5 5 已知双曲线，已知双曲线，已知双曲线，已知双曲线， A A，B B是双曲是双曲是双曲是双曲线同支上相异两点，线段线同支上相异两点，线段线同支上相异两点，线段线同支上相异两点，线段ABAB的垂直平分线与的垂直平分线与的垂直平分线与的垂直平分线与x x轴相交轴相交轴相交轴相交于点于点于点于点P ,P ,求证：求证：求证：求证：，解：设解：设解：设解：设A A，B B坐标分别为坐标分别为坐标分别为坐标分别为则中点为则中点为则中点为则中点为MM于是线段于是线段于是线段于
21、是线段ABAB中垂线方程为中垂线方程为中垂线方程为中垂线方程为将将将将 代入上式代入上式代入上式代入上式, ,( (A A，B B相异相异相异相异) )， 例例例例6 6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。离之积是常数。离之积是常数。离之积是常数。抛物线的参数方程抛物线的参数方程MMF FOOY YX XA A前面曾经得到以时刻前面曾经得到以时刻前面曾经得到以时刻前面曾经得到以时刻 t t 为参数的抛物线的参数方程为参数的抛物线的参数方程为参数的抛物线的参
22、数方程为参数的抛物线的参数方程: :对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程以抛物线的普通方程以抛物线的普通方程以抛物线的普通方程为例，其中为例，其中为例，其中为例，其中p p为焦点到准线的距离。为焦点到准线的距离。为焦点到准线的距离。为焦点到准线的距离。 设设设设M(x, y)M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OMOM为终边的角记作为终边的角记作为终
23、边的角记作为终边的角记作 显然，当显然，当显然，当显然，当 在在在在 内变化时，点内变化时，点内变化时，点内变化时，点MM在抛物线上运动，并且对于在抛物线上运动，并且对于在抛物线上运动，并且对于在抛物线上运动，并且对于 的每一个值，的每一个值，的每一个值，的每一个值，在抛物线上都有唯一的点在抛物线上都有唯一的点在抛物线上都有唯一的点在抛物线上都有唯一的点MM与之对应，因与之对应，因与之对应，因与之对应，因此，可以取此，可以取此，可以取此，可以取 为参数来探求抛物线的参数为参数来探求抛物线的参数为参数来探求抛物线的参数为参数来探求抛物线的参数方程方程方程方程. . 因为点因为点因为点因为点MM在
24、在在在 的终边上，根据三角函数定义可得的终边上，根据三角函数定义可得的终边上，根据三角函数定义可得的终边上，根据三角函数定义可得由方程由方程由方程由方程 ( (为参数为参数为参数为参数) )这是抛物线这是抛物线这是抛物线这是抛物线( (不包括顶点不包括顶点不包括顶点不包括顶点) )的参数方程的参数方程的参数方程的参数方程. . 如果令如果令如果令如果令则有则有则有则有（t t为参数）为参数）为参数）为参数） ( (为参数为参数为参数为参数) ) 当当当当t=0t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点时，上式表示的点正好就
25、是抛物线的顶点(0,0),(0,0),因此，当因此，当因此，当因此，当 时，时，时，时， （t t为参数）为参数）为参数）为参数） 就表示整条抛物线参数就表示整条抛物线参数就表示整条抛物线参数就表示整条抛物线参数 t t 表示抛物线上除顶点外表示抛物线上除顶点外表示抛物线上除顶点外表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数的任意一点与原点连线的斜率的倒数的任意一点与原点连线的斜率的倒数的任意一点与原点连线的斜率的倒数C练习练习 例例例例1 1 如图，如图，如图，如图，OO为原点，为原点，为原点，为原点，A,BA,B为抛物线为抛物线为抛物线为抛物线 上异于顶点的两动点，且上异于顶点的两
26、动点，且上异于顶点的两动点，且上异于顶点的两动点，且OAOAOBOB，OMOMABAB于于于于MM，求，求，求，求点点点点MM的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程当点当点当点当点A,BA,B在何位置时在何位置时在何位置时在何位置时,AOB,AOB面积最小？最小值是多少？面积最小？最小值是多少？面积最小？最小值是多少？面积最小？最小值是多少？ 练习练习 已知椭圆已知椭圆C1: 及抛及抛物线物线C2: y2=6(x-3/2)；若；若C1C2，求，求m的取值范围。的取值范围。代入得代入得 cos2+4cos +2m-1=0所以所以 t2+4t+2m-1=0 在在-1, 1内有解；内有解； 3 3
27、 已知已知已知已知A, B, CA, B, C是抛物线是抛物线是抛物线是抛物线 y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的三个点，上的三个点，上的三个点，上的三个点，且且且且BCBC与与与与x x轴垂直，直线轴垂直，直线轴垂直，直线轴垂直，直线ABAB和和和和ACAC分别与抛物线的轴交于分别与抛物线的轴交于分别与抛物线的轴交于分别与抛物线的轴交于D, ED, E两点，求证：抛物线的顶点平分两点，求证：抛物线的顶点平分两点，求证：抛物线的顶点平分两点，求证：抛物线的顶点平分DE.DE.练习练习 4 经过抛物线经过抛物线y2=2px(p0)的顶点的顶点O任作两条互相任作两条互相垂直的线段垂直
28、的线段OA和和OB，以直线，以直线OA的斜率的斜率k为参数，求线为参数，求线段段AB的中点的中点M的参数方程。的参数方程。解：直线解：直线OA的方程为的方程为y=kx，直线，直线OB的方程为的方程为由由y2=2px和和y=kx，得，得A点坐标为点坐标为同理同理B点坐标点坐标(2pk2,-2pk) 5 5 已知椭圆已知椭圆已知椭圆已知椭圆 上任意一点上任意一点上任意一点上任意一点MM，( (除短轴端除短轴端除短轴端除短轴端点外点外点外点外) )与短轴端点与短轴端点与短轴端点与短轴端点B B1 1, B, B2 2的连线分别与的连线分别与的连线分别与的连线分别与x x轴交于轴交于轴交于轴交于P, QP, Q两点，两点，两点，两点，OO为椭圆的中心，求证：为椭圆的中心，求证：为椭圆的中心，求证：为椭圆的中心，求证：|OP|OQ|OP|OQ|为定值。为定值。为定值。为定值。 练习练习练习练习 对于一切实数，若对于一切实数，若对于一切实数，若对于一切实数，若 直线直线直线直线 与曲线与曲线与曲线与曲线 恒有公共点，则恒有公共点，则恒有公共点，则恒有公共点，则mm的范围是：的范围是：的范围是：的范围是：A B C D直线恒过直线恒过直线恒过直线恒过点点点点当直线与曲线恒有公共点时，必满足当直线与曲线恒有公共点时，必满足当直线与曲线恒有公共点时，必满足当直线与曲线恒有公共点时，必满足
