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1、典型例题典型例题习习习习 题题题题 课一课一课一课一主要内容主要内容第十一章第十一章第十一章第十一章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数1 1、常数项级数、常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后
2、所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. .级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛定义定义2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较审敛法比较审敛法(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错
3、级数、负项相间的级数称为交错级数. .3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法5 5、函数项级数、函数项级数(1) (1) 定义定义(2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域(3) (3) 和函数和函数二、典型例题二、典型例题例例1 1解解根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数收敛原级数收敛解解根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛解解从而有从而有原级数收敛；原级数收敛；原级数发散；原级数发散；原级数也发散原级数也发散例
4、例解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛问题问题: :研究例子研究例子:发散发散!收敛收敛!因而因而由性质，由性质，发散发散.例例 3A. 绝对收敛绝对收敛B. 发散发散C. 条件收敛条件收敛D. 收敛性与收敛性与a的取值有关的取值有关解解与与PP级数比级数比解解收敛收敛解解解解利用达朗贝尔判别法利用达朗贝尔判别法(为什么？为什么？)结论结论: 设数列设数列 的极限存在，级数的极限存在，级数 收敛收敛 ，证明级数，证明级数 亦收敛。亦收敛。 例例8证明证明注意到等式注意到等式 设数列设
5、数列 的极限为的极限为A ，级数，级数 的的部分和为部分和为 ，级数，级数 的部分和为的部分和为即即两边取极限：两边取极限：故级数故级数 收敛。收敛。证明：由于证明：由于 ，所以，所以因为级数因为级数 与与 都收敛，所以级数都收敛，所以级数收敛。收敛。例例9 级数级数 与与 都收敛，且对一切都收敛，且对一切自然数自然数 ，下列的不等式成立：，下列的不等式成立： ，证明级数证明级数 亦收敛亦收敛.1nna=于是，由比较判别法知：于是，由比较判别法知：级数级数 收敛。收敛。又因为又因为 ， 于是级数于是级数 收敛。收敛。注意：比较判别法只适用于正项级数。注意：比较判别法只适用于正项级数。 测测 验验 题题BBCC是级数是级数 (A)充分条件；充分条件； (B)必要条件；必要条件； (C)充要条件；充要条件； (D)既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 .6、收敛的（收敛的（ ）AB
