材料工程基础研究方法

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1、第五章 工程研究的基本理论和方法5.1 量纲分析理论5.1.1 量纲与量纲的特性一、单位和量纲1 1、物理量的度量体系、物理量的度量体系 描述现象或物体可定量测量的属性称为物理量。 对客观事物某些特征的度量，若无明确的度量单位，其含义则是含混的。 数学模型中的测量值通常都是以物理量的形式出现。 物理量分为基本物理量和导出的（衍生的）物理量两大类。 物理量的度量体系由基本物理量及其度量单位所确定.1 2 2、单位、单位 量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度单位为m或cm等。（涉及物理量的性质和数值大小） (量纲 表征物理量的性质和类别) 单位分为基本单位、导出单位和辅助单位三类。 现在

2、通用的国际单位制（SI制），由七个基本单位组成。2 其他物理量的单位将由这七个基本单位通过物理关系导出。下表列出了几个常用的物理量及其单位。3 3 3、量纲、量纲 （1）定义 指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和类别的表达式。 如长度量纲为L。 （2）量纲的分类 基本量纲 具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲。 诱导量纲 可由基本量纲导出的量纲。 4 4、量纲表达式、量纲表达式物理量Q的量纲一般都可以表示为基本量的幂的乘积： dimQ=La aMb bTc cd dIe eJf fNg g 或者 Q= La aMb bTc cd dIe eJf fNg g式中 a,b,c,d,e,f,

3、g量纲指数。 常用量纲 几何学量纲：0，其余= 0； 运动学量纲：0，c0，其余= 0； 动力学量纲：0，b0，c0，其余= 04 例题例题5-15-1 试以长度L、质量M和时间T为基本量纲，确定动力粘度的量纲表达式。 解： 从基本量纲L、M、T可以确定加速度的导出量纲表达式为LT-2，力（F）的导出量纲表达式为F=MLT-2，面积的量纲表达式为A=L2。 写出切应力的物理表达式 又因为 将各量纲表达式代入切应力表达式，则 所以 5 5 5、无量纲数（纯数，相似准数）、无量纲数（纯数，相似准数） 若量纲指数a,b,c,d,e,f,g均为0,称其为无量纲量，记为：Q= 1 特点： （a）无量纲单

4、位，它的大小与所选单位无关； （b）具有客观性； （c）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数。 应注意：无量纲量不一定是无单位的量，如角度。 无量纲常数 组成该无量纲量中的量纲仅与某些常数（运动粘度）,（热扩散率）,D（扩散系数）等有关。 无量纲参数 组成该无量纲量中的某些量纲起着运动参数（如：速度）或动力参数（如：温度差、浓度差）的作用。6二、量纲的特性 1 1、量纲和谐性、量纲和谐性表现物理规律的方程中，其方程两边的量纲应相同，同名物理量应采用同一种单位，此为物理方程的量纲和谐性。 量纲和谐原理的重要性： a. 可用来确定公式中物理量的指数。 b. 可用来检验经验公式的

5、正确性和完整性。 c. 可用来建立物理方程式的结构形式。 2 2、量纲的独立和非独立条件、量纲的独立和非独立条件量纲独立性是指任何n个量的结合（包括代数运算等），不能产生第三个量的量纲。7量纲独立性判断：量纲独立性判断： 以由三个量纲量组成的物理量为例，说明判断过程。 a1 1,a2 2,a3 3量纲量。设a的量纲分别为 要使Xj j变为无量纲量，必须满足条件 Xj j=L0 0T0 0M0 08即 0时，线性方程只有xj j=yj j=zj j=0的解，则 a1 1,a2 2,aj3j3为具有互相独立量纲的量 =0时，线方程可以有xj j、yj j、zj j的数值解，Xj j 成为无量纲量，

6、则a1 1,a2 2,a3 3为量纲上不互相独立的量。 当所研究的参量的数目大于3个时，则要取其中任何可能的3个参量，照上述方法进行验算，以确定其量纲的独立或不独立性。9三、完整集合中无量纲乘积的数目 定理： 在一个完整的集合中，无量纲乘积的数目等于独立变量的总数减去它们量纲矩阵的秩（r）。或者 独立变量总数-基本量纲数目=无量纲乘积数目 雷诺数、付里叶准数等就是某些无量纲乘积的完整集合。105.1.2 量纲分析一、柏金汉量纲分析法 1 1、定理定理 若物理方程f(x1，x2,xn)=0中，含有n个物理量，其中k个是具有互相独立量纲的物理量，并且保持量纲的和谐性。则该物理方程可简化为： F(1

7、，2,n-k)=0，或 1=(2, 3,n-k) 2 2、定理解题步骤：定理解题步骤：（1）确定关系式：根据所研究的现象，确定影响该现象的各个物理量及其关系式:f(x1，x2,xn)=0（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的k个有独立量纲的物理量作为基本量的代表。11 f(x1，x2, xk， xk+1， ,xn)=0 x1，x2, xk为有独立量纲的物理量； xk+1， ,xn为无独立量纲的物理量。 即: xk+1， ,xn均可用x1，x2, xk表示出来。 xk+1=g（ x1，x2, xk ） 独立变量 i=1，2，3，.k 非独立变量 则1。 j 为无量纲的参数 12 （3）确定

8、数的个数N（）=（n-k），并写出其余物理量与基本物理量组成的表达式 i=1，2，3，k； j=1，2，.n-k （4）确定无量纲参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各项的指数i，从而定出各无量纲参数。 参数分子分母可以相互交换，也可以开方或乘方，而不改变其无因次的性质。 （5）写出描述现象的关系式 F(1 1，2 2,n-n-k k)=0。13 3 3、例如、例如 k=3 xk+1=x1a1x2a2x3a3 根据xk+1中的基本量和x1a1x2a2x3a3 中的基本量，进行比较和计算，解出a1,a2,a3, 带入到1，所得到1便是无量纲参数。14二、瑞利量纲分析 法瑞利法是量纲和谐原理的

9、直接应用 瑞利法的计算步骤：1. 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量： y= f(x1，x2,xn)2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： 3. 根据量纲和谐原理，确定物理量的指数k1,k2,k3,k4,代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。说明：应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小于等于45个。 导出的相似准数中含有无量纲常数C和待定常数k4，通常通过研究现象的实验加以确定。15三、两种分析方法的比较 柏金汉法 解函数关系式；要挑选出k个有独立量纲的量。瑞利法 用无限级数代替函数关系式；n5；有待定常数需靠实验得出。16 例题例题5-35-3 根据实验和分析得知，粘性不

10、可压缩流体的管内流动，其临界速度uc与管径d、流体密度及流体的动力粘度有关，即： uc= f（d、） 据雷利因次分析法，上式可改写为： uc= Kdx1x2x3 式中x1、x2、x3分别为d、各物理量的待定指数；K为无因次比例常数。 写出上式等式两边的因次得： LT-1=Lx1 ML-3x2 ML-1T-1x3 根据因次和谐性原理，等式两边的因次应该相等，于是： 17 解上述联立方程，得： X1= -1，X1= -1，X1= +1 将X1，X2，X3代入原式，得： 于是： 显然，上式右边为由临界速度等物理量所组成的雷诺数，故可称K为临界雷诺数，常用符号Rec表示。即：18 例题例题5-45-4

11、 设根据观察分析，影响管流现象的因素有管内平均流速u，流体密度，管道直径d，管长，流体的动力粘性系数，管壁粗糙度。试用定理确定水平有压管道压力损失p的函数关系式及相似准数。 解： 根据上列影响因素可写成函数关系： f（p、u、d、）= 0 已知变量个数为7。选u、d、三个互为独立的变量为基本物理量，这三者包含了LMT三个基本因次。通常选一个代表几何的量，一个表征运动的量，另一个是与力或质量有关的量。写出73 = 4个项如下：19 根据分子分母的因次应该相同，可求出各项中的指数（x1，y1，z1），等数值。现以1为例： 对M有 1=z1 对L有 -1=x1+y1- 3z1 对T有 -2= - x

12、1 解得：x1=2；y1=0；z1=1 代入原式，得： 20同理可得： 于是转化后的无因次函数方程式为 f（1，2，3，4）= 0 或 1=f（2，3，4） 即： 21 量纲分析方法小结1 1、可以解决下述问题：、可以解决下述问题：（1）有利于建立统一协调的单位系统；确定经验公式中两种单位制的转换因子。（2）推导物理量的量纲。（3）校核由理论推导出来的代数方程式，确定无量纲乘积集合的完整性。（4）通过研究各个无量纲乘积阶的大小，可以确定各物理参量的相对重要性。（5）把包含若干个变量的函数式转换为包括几个无量纲数的函数式。准数方程减少了独立变数的数量，减少实验工作量。（6）研究某物理现象时，可以

13、先推导出一个完整集合的无量纲乘积，再根据定理及相关实验来确定描叙该现象的方程。222 2、容易出现的问题、容易出现的问题（1）没有正确地选择有关的物理量。（2）遗漏了某些有量纲的常数。（3）量纲相同，而物理意义不同的量容易混淆。（4）量纲分析法一般没有考虑物理现象的单值性条件。235.2 相似理论5.2.1 相似概述一、相似理论的发展概况解决复杂的实际工程问题，直接采用数学分析法极其困难，因此需要依靠实验研究来解决。为了减少实验工作量，并提高实验结果的准确度和应用的广度，所以便发展出了相似理论。 1848年，法国的伯特朗(JBertrand)在分析力学方程的基础上确定了相似现象的基本性质。并提

14、出了相似第一定理。“凡相似的现象，其相似准数相等”。24 1931年，苏联学者基尔皮乔夫和古赫曼提出了相似第二定理，“凡同一类现象(即都被同一完整方程组所描述的现象)，当单值条件相似，而且由单值条件的物理量所组成的相似准数相等，则这些现象就必定相似”。 1911年，俄国学者费德尔曼提出了相似第三定理(又称兀定理)。“描述其现象的各种量之间的关系可表示成相似准数1，2,n之间的函数关系，即：F(1，2,n)=0。 这种关系式称为“准数关系式”或“准数方程式”。目前相似理论已成为一门完整的学科，它是最先进的科学研究方法之一。25二、相似现象的相似性质 (1)凡相似的现象都属于同一种类的现象。可用文

15、字或形式上完全相同的完整方程组来描述(包括描述现象的基本方程及描述现象单值条件的方程)。 (2)用来表征这些现象的一切物理量的场都相似。 (3)相似现象必然发生在几何相似的空间中。即：凡相似的现象，其边界条件必定相似。 (4)由性质(2)得知，相似现象的对应量互成比例。由性质(1)得知，由这些量组成的方程组又是相同的。所以各物理量的比值(相似倍数)是彼此既相互联系，又相互约束。26三、近似模化和类似 相似三定理规定的所有相似条件通常很难全部实现。 只需要满足为保证实验结果具有足够的准确性所必须满足的几个重要的相似条件。该研究方法称为近似模化法。 把那些过程的内容不同，而描述它们的数学方程的形式

16、相同的现象称为类似现象。275.2.2 相似原理与相似条件一、物理现象之间的相似情况 1 1、同类相似、同类相似指两个物理现象都遵从相同的自然规律，可用相同的数学方程组来描述，而且两种物理现象所包含的诸物理量具有相同的物理性质(称为同名量)。则它们属于同类相似或简称相似。 2 2、异类相似、异类相似若两物理现象之间虽然在形式上可用相同的数学方程组来描述，但方程组内所含的参量具有不同的性质，这种不同类现象之间的相似称为异类相似或者类似。不同类系统间存在的这种异类相似性在人工智能、电模拟、系统仿真等领域都有广泛的应用。 3 3、类比、类比通过对一种现象的研究去了解其变化的数学规律相同而物理性质不同

17、的另一种现象，称为类比。28二、几种常见的相似 1 1、几何相似、几何相似 相似三角形 2 2、物理量相似、物理量相似式中 Cx物理量x的相似常数。 x可以代表速度、温度等各种不同物理量。Xi则可抽象为二维、三维或多维空间的物理量。29 3 3、运动相似、运动相似 （通常包括速度场与加速度场的相似） =dL/d CC/CL是判断两个系统的运动是否相似的条件，通常称为相似指标。 结论：若现象相似，则其相似指标等于结论：若现象相似，则其相似指标等于1 1。30 4 4、动力相似、动力相似 （指系统里力场的相似）两个几何相似、时间相似的系统中，对应点(或对应部分)的质量成一定的比例，则两个系统称为动

18、力相似。即，力的方向相同，大小成一定的比例。此即两个物体实现动力相似的条件。 通常 称为牛顿准数。 有时为便于分析稳态现象，牛顿准数也可以改写为：31三、相似常数和相似定数以几何相似为例，说明之。 1 1、相似常数、相似常数一对相似三角形，其对应边的比值为一常数，则称为相似常数。 但当从一对相似三角形转变为另一对相似三角形时，相似常数将发生变化。 2 2、相似定数、相似定数 式中，Cl1和Cl2称为相似三角A1B1C1和A2B2C2另两边的相似定数。32 3 3、相似定数与相似常数的区别、相似定数与相似常数的区别 用相对单位长度来表示度量单位。 对于所有相似三角形，相似定数都相等。换言之，若两

19、个三角的相似定数的数值分别相等，则这两个三角形就一定相似。 物理量或物理现象的相似中，最好用相似定数来描述。 同一类物理现象中的相似，使用相似定数，可免除度量单位的转换。在相似现象群中的相似，则可免除不同单位带来的不便。335.2.3 相似准数及其导出方法一、相似准数 1 1、相似准数、相似准数在相似的物理现象中，由物理量组成的无量纲数群，通常称为相似准数。 如：/则称为相似准数。34 2 2、相似准数的主要性质如下：、相似准数的主要性质如下：(1)任何相似准数都是无量纲量，它的数值与测量单位无关。(2)凡由微分方程直接导出的相似准数都具有明确的物理意义。(3)组成相似准数的各个物理量都是空间

20、位置的函数。因此，相似准数也随空间的位置变化。但是，在相似系统的对应点上，相似准数的数值始终相等。(4)对于非稳态过程，相似准数是空间位置和时间的函数。但是，当从一个现象转变到与它相似的另一现象时，在对应点，对应瞬时，相似准数的数值相等。35 3 3、相似准数按其性质分为两类：、相似准数按其性质分为两类： (1)定性准数(或已定准数)凡由决定性单值性条件中所包含的已知物理量组成的相似准数称为定性准数。如雷诺准数Re，傅立叶准数Fo，贝克来准数Pe和弗鲁德准数Fr等。 (2)非定性准数(或待定准数)凡包含待求的未知物理量的相似准数称为非定性准数。如欧拉准数Eu(含待求物理量压力损失p)，努塞尔特

21、准数Nu(含待求的对流换热系数)等。相似准数是定性准数还是非定性准数，随给出的单值性条件而改变。36 （3）两者间的转换 对于相似准数，为了研究问题的方便、简单，有时需要进行转换。转换的目的是： a)通过准数的转换使实验研究便于控制某一特定变量。 b)通过准数的转换可以将某些原始准数转换成人们所熟悉的准数，使准数的物理概念、物理意义更明确，应用起来更方便。 c)通过准数的转换可以删除已被引入的某个或某些对所研究现象影响不大或者可以忽略不计的参量，使准数方程进一步简化，减少研究的工作量，节省资金，提高效益。 d)通过准数的转换，使准数中所包含的物理量便于测量，为研究工作提供方便。374、几个常用

22、的相似准数。 (1)雷诺准数 Re主要应用范围：流体的运动速度变化很大的流动等问题。物理意义：表明流体流动状态的准数，表示惯性力与粘滞力的比值。(2)欧拉准数 Eu主要应用范围：管流、气融、流体机械等。物理意义：压力场相似准数；表明作用在流体上的压力降(或压力)与惯性力的比值。 (3)伽利略准数 Ga主要应用范围：由浮力引起的运动。物理意义：重力惯性力与粘性力平方的比值。又称为阿基米德准数 38(4)格拉修夫准数Gr主要应用范围：研究热气体的运动。 物理意义：浮升力乘以惯性力与粘性力的平方之比的度量。格拉修夫准数是伽利略准数的特殊形式。(5)舍伍德准数 Sh主要应用范围：用于研究对流传热问题。

23、物理意义：对流产生的传递质量与扩散质量之比。相当于传热中的努塞尔特准数，有时又称泰勒准数。(6)拉格朗日准数 La主要应用范围：研究流体的层流流动。物理意义：表明压力场与速度场相似的准数，无因次压力场与速度场之间的关系。39(7)施米特准数 Sc主要应用范围：研究动量交换和伴有传质的流动问题。物理意义：相当于传热中的普朗特数，贝克勒数与雷诺准数之比。 (8)努塞尔特准数 Nu主要应用范围：用于研究传热问题。 物理意义：放热强度与流体边界层温度场间的关系。(9)弗鲁德准数 Fr主要应用范围：研究受重力影响的运动。 物理意义：表明惯性力与重力的比值。(10)普朗特准数 Pr 主要应用范围：研究受迫

24、对流传热问题。 物理意义：表明流体内动量扩散与热量扩散之比的度量或流体的速度场与温度场之间相似程度的度量。 40(11)贝克勒准数 Pe 应用范围：研究传热问题。 物理意义：流体内的对流传热与导热的比值。(12)傅立叶准数 Fo 应用范围：研究导热等问题。 物理意义：通过固体表面的导热热流与固体的焓随时间变化之比的度量。 或者温度场的改变速度与流体物理特性及几何尺寸的关系。(13)刘易斯准数 Le 主要应用范围：研究传热与传质问题。 物理意义：温度扩散效率与传质扩散系数之比。41二、相似准数的导出方法 导出相似准数是模型研究的重要内容之一。导出相似准数是模型研究的重要内容之一。目前某些基本物理

25、过程的相似准数都已导出，使用时不必重新推导，但是对于某些特殊物理过程或某些新开发的物理过程的相似准数则需从头推导，慎重选择准数的形式。 导出相似准数的方法有方程分析方法、量纲分析方法等。1 1、方程分析法、方程分析法 由基本微分方程组和全部单值条件导出相似准数的方法，称为方程分析方法。 物理方程的量纲和谐性是方程分析导出相似准数方法的基础。 方程分析法有相似转换法及积分类比法。42 (1)(1)相似转换法相似转换法 用相似转换法导出相似准数的步骤为： 写出现象的基本微分方程组和全部单值条件； 写出相似倍数的表示式； 将相似倍数式代入方程组进行相似转换从而获相似指标式； 将相似倍数表示式代入相似

26、指标式，从而获得相似准数； 同样的方法，从单值条件方程中推出相似准数。434445464748 (2)(2)积分类比法积分类比法 积分类比法，较相似转换法要简单，故获得广泛的应用。 积分类比法的步骤为： 写出现象的基本微分方程组和全部单值条件； 用方程式中的任一项，除以其它各项(对于类型相同的项，取其中一项即可)； 所有导数用相应量的比值，即所谓的积分类比法来代替，换句话说，所有微分符号都去掉，此外，沿各轴向的分量，用量本身代替，坐标用定性尺寸代替。 最后获得相似准数。49505152535.3 模拟研究方法 模拟研究方法，也称为模型实验技术、模化技术。 1 1、模拟研究方法的特点、模拟研究方

27、法的特点 在模型上进行实验研究，最后按相似理论将研究结果类推到原型。 理论基础为量纲分析、相似理论、实验测试技术等。 2 2、模拟研究方法研究过程三个步骤、模拟研究方法研究过程三个步骤 (1)收集所研究客体的有关原始资料及种参数。建立相似的物理模型。 (2)确定研究方案，在模型上开展实验研究。 (3)将模型实验研究结果，按相似理论外推到所模拟研究的客体上(即原型上)。54 (3)应用方程分析法求相似准数的条件 用方程分析法求相似准数，要求描述现象的方程式(函数式)满足下列要求时，才能应用。 变数间呈幂乘积关系，以及函数为如下形式的多项式： 式中 参数（如，等物理参数）； b、c常数；、x变数。

28、 上述函数称为相似（同族）函数。通常，流体运动、换热、导热方程都属于此类函数。 对于同为一方程式所描述，但不能作各量互成比例的函数，如y=Kxn(式中，K常数；y,x,n变数)则不能通过相似转换得出相似指标式。55 2 2、量纲分析法、量纲分析法 当无法列出描述现象的方程时，只能写出某种形式的不定函数式，就无法应用方程分析方法，此时只能采用量纲分析方法来导出相似准数。 利用量纲分析方法推导相似准数，应当注意： 应全面考虑到所研究现象的全部物理量； 根本不能组成相似准则的物理量(即包含有重复量纲的物理量)应当删掉； 非独立的物理量不应考虑在内； 基本量纲成组出现时，应按一个量纲考虑； 如何假定多

29、余未知数的值，对结果无影响； 采用什么单位制对结果无影响。56 综上所述，在量纲分析之前，应当全面考虑所有物理量及对物理量进行必要的分析，以避免所得的相似准数数目不全，并减少量纲分析的工作量。 量纲矩阵法和步步组合两种方法。 (1)量纲矩阵法 (2)步步组合法57 由Ipsen在20世纪60年代提出，相似准数可以通过参量的逐步组合消除基本量纲，直接导出无量纲数群的表达式(准数方程)。这种导出相似准数的方法称为步步组合法。 利用步步组合法最后获得的无量纲准数的形式与基本量纲被消除的先后顺序及用什么样的变量去消除这些量纲有关系。可以利用这个特点安排消除基本量纲的顺序，选择好合适的消除变量。以便直接

30、获得所需要的、有明确物理意义的相似准数，避免再进行准数的转换。585.3 模拟研究方法 模拟研究方法，也称为模型实验技术、模化技术。 1 1、模拟研究方法的特点、模拟研究方法的特点 在模型上进行实验研究，最后按相似理论将研究结果类推到原型。 理论基础为量纲分析、相似理论、实验测试技术等。 2 2、模拟研究方法研究过程三个步骤、模拟研究方法研究过程三个步骤 (1)收集所研究客体的有关原始资料及种参数。建立相似的物理模型。 (2)确定研究方案，在模型上开展实验研究。 (3)将模型实验研究结果，按相似理论外推到所模拟研究的客体上(即原型上)。59 3 3、模拟研究的范围、模拟研究的范围 凡是可以定量

31、化的物理现象都属于开展模拟研究的范围。能否开展模拟研究，主要取决于这些定量化的变数之间是否存在因果关系，如果存在因果关系，即使预先不知道它们之间所存在的具体函数关系也可以开展模拟实验研究。但是对于那些必须用统计学方法处理的现象；不能再现的现象；不能定量化研究的现象，或者即使能定量化，但与那些变数相关的物理法则尚且不知的现象，都不适合做模型实验研究。60 4 4、模拟研究的应用、模拟研究的应用 建造大型、复杂结构的设备如水力机械、热工设备、化工设备等及各类运载设备。如船舶、飞机、宇宙飞船、大坝等。 模拟研究方法已开始应用于生物科学、地球科学、生命科学、电磁学、音响学等领域。已成为节约人力、财力、

32、缩短研究周期的一种行之有效的工程研究方法。 随着计算机的发展，验证随之而发展的数学模型所要的实验也更加复杂而多样化，模拟技术的不断发展为它的应用提供了可靠的保障。615.3.1 5.3.1 模型研究的分类模型研究的分类 按系统工程的观点，模型研究分为两类：物理模型和符号模型研究。物理模型研究包括：实体模型研究、近似模化研究、比例模化研究等。符号模型研究包括数学模型研究和图形模型研究。图形模型研究 主要指软件研究，研究内容包括：图画；草图；框图（统称为不严格图）。图论图、逻辑图、工程图（统称为严格图）数学模型研究，传统工程技术领域把它分为确定型和随机型。在系统工程中，把它分为近代数学模型和经典数

33、学模型。在物理模型研究中，有时按其选用的介质又分为水模型、空气模型及气体(燃气)模型；按介质的温度分为冷模型(室温)、热模型(运行温度下)及温模型(介于室温与运行温度之间)。按几何形状分为三维模型、二维模型；按使用介质(水)与大气接触与否分为开式模型及闭式模型。625.3.2 5.3.2 物理模型的设计物理模型的设计 物理模型研究包括物理模型的设计及实验两部分。一、模型设计主要内容1 1、结构设计、结构设计 模型结构不是为了参观、展览，主要目的在于研究内部运动规律。在不影响研究工作的前提下，无明显影响的部分可以简化，降低造价，同时要便于观察和测试。2 2、原始数据、原始数据物理模型设计用的有关

34、原始数据，应取自实物的结构尺寸以及热力、空气动力等计算结果，包括几何尺寸、流体特性及流动特性等。63 3 3、模型尺寸、模型尺寸确定模型结构尺寸时，除满足几何相似的条件外，应注意： (1)确保研究区段的空气速度不低于可靠测量的允许值，不宜低于2ms。 (2)测量、观察方便，故模型高度通常在3m之间。 (3)模型的阻力要尽量小，使一般的风机、泵能满足研究的需要. 模型比例可以取1：1。一般采用缩小尺寸的模型，有时也采用放大尺寸的模型。 4 4、介质选择、介质选择选择空气为介质的模型很普遍，在空气流中测量可靠、准确、模型结构简单，动力相似条件容易实现。 定性研究流场时，通常采用水为介质的模型较为适

35、宜。 设计一般过程模型时，对介质压力不必专门考虑。64 5 5、定性尺寸、定性尺寸一般通道（如烟道等）选择通道的水力半径为定性尺寸。介质在管内流动时，定性尺寸选取内径。研究管束对流换热时，定性尺寸取外径。 6 6、定性温度、定性温度 通常选用某种平均温度作为定性温度。（1）壁面的平均温度tW； （2）流体的平均温度tf（焓平均；体积平均和面积平均；管道进、出口两截面处的流体平均温度）。 （3）选取流体平均温度和壁面温度的不同组合作为定性温度。65 7 7、确定模型研究的自模区、确定模型研究的自模区自模性 物理现象在一定条件下自行相似的现象称做自模性。某些物体，如：粘性流体具有自模性，试验时只要

36、保证模型和原型处于同一自模区就不一定要求模型和原型的Re准数相等，这样可以降低模型的造价而又满足相似的要求。自模区的确定：对于粘性流体的流动，按其临界雷诺数的数值分为第一自模区和第二自模区。定义粘性流体流动时，其雷诺数Re大于第一临界值时的范围称做第一自模区。雷诺数Re大于第二临界值时，为第二自模区。66 规定用拉格朗日准数La与雷诺数Re无关时作为流动流体进入第一自模区的标志。见图71所示。当所研究区域流动流体的欧拉准数Eu与雷诺准数Re无关时，作为流动流体进入第二自模区的标志。见图72所示。67 对于所研究的对象，Re数的第二临界值只有当模型建立后，通过试验才能得知。一般情况下，只能参照类

37、似设备的已知雷诺数第二临界值近似地估计所要研究设备的数值。也可以先作小模型求Re数的第二临界值后，再考虑正式模型的设计。对于较为复杂的流动情况，某一区域已进入自模区，并不意味着整个系统均进入自模区。此时，只要确保所研究的区域进入自模区，即可保证研究的正确性。在复杂的物理现象中，一种物理量场已进入自模区，并不意味着其它物理量场也进入自模区。这一点在进行模型研究时必须引起足够的重视。68二、模型设计原则 (1)模型与原型必须保持几何相似； (2)模型所研究的现象与原型必须能用同一物理方程来描述； (3)保持模型与原型进行过程的初始条件与边界条件相似； (4)参与这两种现象中的各物理量应当是相似的。

38、在开始模型设计前，应首先以无量纲数群的形式写出模型与原型过程之间必须具备的相似条件，在此前提下，按实际情况确定模型尺寸，选择工作介质，决定过程操作范围。 （5）设计过程结束时，可以进行实验，并按定理整理数据，推广应用到原型。69 雷诺模型法则：雷诺模型法则：研究流体流动、模型和原型中的雷诺数Re1=Re2，则通常称这种被粘滞力所控制的模型法则为雷诺模型法则。弗鲁德模型法则：弗鲁德模型法则：当控制流体运动过程的主要影响因素是重力加速度g时，若保持弗鲁德准数相等，则模型与原型中的流动相似。若Fr1=Fr2，即称这种为重力所控制的模型法则为弗鲁德模型法则。当过程只受一个决定性准数控制时，工作介质可任

39、意选择。当过程受两个决定性准数控制时，工作介质不能任意选择。当过程受三个或更多个定性相似准数控制时，对工作介质的选择要受到更多的限制，此时往往使用变型模型来研究。705.3.3 实验数据的整理与综合方法 根据相似第三定理（定理），将实验结果整理成准数之间的关系式，以便推广到实物上去。导出的非定性准数可以用定性准数来表示，即 （7-1） 或 （7-2） 式中 C，nl，n2，常数。定性相似准数愈多，模型实验愈困难，实验工作量愈大。通常定性准数不超过3个时，利用相似理论来整理和综合实验数据才方便。 下面分别介绍仅有一个、两个定性准数时，实验数据的整理和综合方法。71 （1）仅有一个定性准数 方程式

40、(72)可以简化为 (75) 计算步骤如下： 通过模型实验测量出非非、定定准数中所包括的诸物理量； 对所测出的一组物理量的数值，分别计算出对应的非非和定定值； 根据计算出的一组非非和定定，在对数坐标上绘出图形。纵坐标非非，横坐标定定。图形通常呈一条直线。 在图上确定常数n值 确定常数C值。在对数坐标图中，任意选择一非非值，然后找出对应的定定值，代入方程 计算出C值。C值至少应当计算三次，取C的算术平均值。72 将n值和C值代入方程式(75)，所得准数方程式即为可以应用的准数关系式。在许多情况下，各点是分布在直线的两侧，通常把方程式(75)经变量变换成线性关系式 利用最小二乘法求出常数C、n。

41、(2)当有两个定性准数时通常将式(73)简化为 (77)计算步骤如下：73 选择任一定性准数，并给于某固定值。如，令： 在此条件下进行实验，此时方程(77)变成 式中， 按前述方法确定C1及指数n值。 再令另一定性准数为一定值。将式(77)改写为 式中， 并按前述方法确定C2值及指数m值。 方程式(77)中C值可按下式计算 或 将获得的常数C、指数m、n代入方程式(77)，则获得便于直接应用的公式。74 应注意的问题： （a)方程式(77)也可经过变换成二元线性关系式 (78) 利用二元线性回归方法确定式(78)中常数C及指数m、n，然后代入方程式(77)即可。 （b)在建立准数关系式过程中，

42、可以利用分析方法简化准数关系式以便使计算简化。 （c)当全部实验点并不落在一条直线上而是形成一条曲线带时，可沿整条曲线带连成两段或三段直线相接的折线，然后分别确定这些直线的斜率和截距，从而得到两个或三个准数方程式，计算时在不同的区段范围使用对应的准数方程式。755.3.4 实体模型研究方法 以过程、设备等实物为原型，严格遵循相似理论设计、制造与原型结构尺寸相同(放大或缩小)的物理模型开展模拟研究的方法，称为实体模型研究方法。实体模型研究方法可用于过程设备的设计改进、设计的验证、研究生产过程操作条件、过程规律等领域。实体模型研究方法具有设备制造费用低、实验费用少、易改变操作条件、测量方便、便于观

43、察的优点。它在工程界获得广泛的应用。在模型实验时，若规定了介质或材料的物性参数再去找这种介质或材料非常困难。一般是预先选择好介质和材料，再规定基本物理量的相似倍数。76 例如，研究玻璃池窑玻璃液流动时，模拟液应满足定性准数Gr相等。即 由上述分析可知，几何相似倍数CL应由运动粘度相似倍数C所决定，不能任意选取。为使模型尺寸大小适宜于观察和测试，可通过调整模拟液中各成分的配比，使C选择合理，保证得到合理的CL。77 建立实体模型应遵循的规则 (1)在模型与实物中进行的过程属同一性质的现象，描述它们的微分方程相同。 (2)模型与原型中进行过程的单值条件相似，即几何条件、物理条件、边界条件以及初始条

44、件都相似。 (3)模型与原型的定性准数相等。 满足上述三个相似条件，则模型与原型相似。即相似三定理在实体模型相似模拟方法上的具体应用。 但是在进行模型实验时，要同时满足上述三个条件是很困难的，有时甚至无法做到。 为使实体、模型相似模拟得以进行，通常采用近似模化的方法。785.3.5 近似模化研究方法 近似模化研究方法目前获得日益广泛的实际应用。 下面以流体动力研究为例，说明如何确定影响它的主、次要因素。 (1)粘性流体强制流动时，对流动状态起主要作用的是Re准数，只要原型的Re数处于自模区以内，则模型中的Re数就不必与原型相等。 (2)模拟流体自由运动时，对流动状态起主要作用的是Fr数(重力流

45、动)或Gr数(自然对流)，只需要保证模型的Fr数或Gr数与原型相等，而Re数可忽略。 (3)考虑温度场的Pr数，对于气体来说，当原子数目相同时，其值几乎相等并不受温度的影响。用冷空气模拟不等温的热烟气，准数Pr自行相等。烟气中三原子气体的Pr数与双原子气体的Pr数差别不大，研究时可以忽略。Pr数对于流体流动来说，不起大的影响作用，因此，不保证Pr数相等，仍可以得到较好的结果。但对于对流换热来说，考虑温度场的Pr数是不可忽略的。79 (4)通道几何形状的相似(包括表面粗糙度的相似)，不易实现完全保证。由于粘性流体具有“稳定性”，离开表面一定距离的流动状态、流速分布不起影响作用。故通道的表面状态一

46、般不必保证相似。 (5)流体温度不均匀情况下，模型内各点流体的物理参数要实现相似很难。通常模型研究时，用等温(如冷态)的空气或水来模拟不等温的热烟气。这类绝热模型(等温介质)未考虑自然对流和自抽力的影响。当需要得出准确数量关系时，应将模型上所得的准数关系式及流体温度分布情况作必要的修正。乘以校正系数0/t(式中为流体的密度)。 (6)窑炉内的燃烧过程不仅包含有物理的传递过程，而且还有化学反应过程。此时燃烧过程的问题可以有条件地当作流体流动的物理过程问题进行相似模拟。而化学过程可以当作一个叠加变量来考虑。可以用热源、点火温度等概念来代替实际发生的化学过程。805.3.6 比例模化法 如果定性准数

47、的数目在二三个以上，要同时保证它们在模型与原型之间相等，则很难实现。要是忽略掉一些较次要的定性准数，又会造成较大的误差。这里采用比例模化法。 比例模化法，就是在相似条件中，将被忽略掉的次要定性准数所产生的影响，用若干个改正因子k1,k2，kn分别表示，将其分别乘以模型保留的各定性准数，再使模型与原型相应的定性准数相等的一种近似模化方法。 该方法模拟结果的准确度较高，可以较好地满足工程的要求。81825.3.7 特殊模化综合与局部模化综合 为使若干过程综合的复杂现象的实体模型能够建立起来，可以对现象极端情况下进行模拟，然后综合起来；也可以对现象的局部空间区域建立模型进行模拟，然后整体综合起来。

48、一、特殊模化综合 如果所研究的现象复杂，支配的物理法则较多，定性准数较多而又都不能忽略，可以甚至不考虑一般情况，仅就两三个特殊现象(极端情况)研究其各自的相似，最后把结果加以综合，再恢复为一般情况。由于特殊现象的定性准数较少，较易建立模型。 例如，窑炉火焰空间中通常既有辐射传热，又有对流换热。如果两者都在同一模型上考虑，模型很难建立。这时可以单独研究辐射传热模型和单独研究对流换热模型，最后综合两者的研究结果。83 二、局部模化综合 在较为复杂的情况下，从整体上做到模型与原型完全相似很困难。可以暂时抛开整体，先在局部区域实现相似，进行实验得出结果。如果依次在各局部区域进行模型实验，得出一系列局部

49、区域的模拟结果，最后综合起来就得到整体的结果。 特殊模化综合与局部模化综合也是一种近似模拟方法。 例如 研究排管和受热面的对流换热，只能使用局部模化综合方法。要保证受热面边界处温度场分布规律的相似。作到这点非常困难，只能用局部模化综合方法。将其划分成若干区域，依次研究每批管子的换热，然后把若干区域综合起来，得出整个受热面的换热特征。84 局部模化综合的准确程度问题： (1)实验介质的温度影响。当研究对流换热系数h时，由于h随温度变化不大，用定温空气作为模型介质代替烟气介质不影响研究结果。 (2)研究热流方向的影响时，通常采用与实物相反的热流方向，研究起来较方便，但所得结果要进行校正。 (3)对

50、于密集管束排列，介质为液态金属时，研究对流换热的影响不宜使用局部模化综合方法，否则易引起大的计算误差。855.3.8 分割相似方法 对于定性准数较多，所模拟的现象较复杂，在模型上很难实现相似条件，通常采取分割相似的方法，即把现象分割为几部分，制作各部分的相似模型。 分割的方法有三种：按时间分隔；按空间分隔；按方向分隔。 (1)时间分割法把一个接着一个发生的不同过程按时间分割，对每个过程单独进行模拟。如，导热过程，可以按时间分割为非稳态导热过程和稳态导热过程，分别进行模拟。86 (2)空间分割法把所研究的现象按空间分隔成若干部分，每部分由各自的物理法则所支配，有各自的定性准数。对各部分进行单独的

51、相似模拟。(3)方向分割法如果支配现象的物理法则存在有方向性的话，那么可以把现象按方向分别处理。 除上述研究方法外，还有集总相似方法(时间、空间集总相似)，变形模型研究方法(对称简化、表面简化、失真模型、替代元件、近似复制)，材料及介质物性的近似研究方法，近似仿效模型研究方法等。875.3.9 相似模拟的应用范围及可靠性 模化方法在科学研究与产品设计中已应用50多年，大量复杂现象主要依靠物理模拟方法进行研究，尤其在工程与科研领域内获得广泛应用。但任何一种研究方法都不可能适用于一切现象，因此确定相似模拟的应用范围极其重要。在采用近似模型法时，我们经常需要忽略一些定性准数，保留一些定性准数。这种忽

52、略与保留是否合理，特别对于从未研究过的一些现象，必须采取必要的实验方法来旁证相似模拟结果的可靠性。 通常相似模拟可靠性的旁证有两种方法：局部旁证法与总体旁证法。88 (1)局部旁证法在模型上进行单项实验，仅改变某一个参数，其余参数保持不变。如果实验中发现该参数对非定性准数有明显影响，则可认为凡包含该参数的定性准数就是主要的，必须加以保证，否则就可以忽略。(2)总体旁证法在制作模型(大模型)的同时，再制作一个小模型。如果在小模型上按照大模型的近似模拟条件进行实验，所得结果与大模型相似时，就证明了大模型所确定的近似相似模拟条件是正确的，所忽略的一些次要定性准数及保留下来的定性准数的形式都是正确的。

53、说明在小模型与大模型几何相似倍数的条件下，边界效应与尺寸效应的影响可以忽略不计。也说明大模型上的模拟结果推广到几何相似倍数大致相同的原型上是可行的、可靠的。895.4 工程实验数据的分析与整理方法 工程实验数据的三种整理方法，列表法，图示法和公式表示法。 列表法 将实验结果进行归纳、分析，最后以表格的形式表示出来。 图示法 将经过分析整理的实验结果以图形的方式绘制在坐标纸上，供研究与分析用。 公式表示法也称做分析表示法 将实验结果，借助数学计算，用一个恰当的函数关系式(或称经验公式)表示出来。 对于工程研究，人们最感兴趣的是公式表示方法。它应用起来方便、准确，变量之间的关系明确。整理出来的经验

54、表达式便于推广应用。90 一个函数所涉及的变量之间的关系大致可分为两类: 一类是确定性关系，即变量之间的函数关系可以用一个较精确的函数关系式来表达，例如，求圆的面积公式S=r2。 另一类为非确定关系，称为相关关系。 对于具有相关关系的问题，通常可以借助于回归分析方法来确定它们的经验表达式。 回归分析方法是处理已有的实验数据的一种数理统计方法。 可用回归分析方法来确定最佳曲线，并确定它的误差及精度如何。91 回归分析方法除解决上述问题，还可以帮助我们解决下列问题： (1)确定所研究的变量间是否存在相关关系。对于存在相关关系的变量，确定它们的经验表达式(即回归方程)。根据一个或n个变量的观测值，预

55、测或控制另一个变量的取值范围，并可以确定预测或控制的精确度。 (2)可以确定变量对研究问题的重要程度以决定取舍，简化研究方案。 工程研究中，我们通常碰到的变量大多具有相关关系。因此掌握并熟练应用这种方法将实验结果整理成我们所需要的形式，极为重要。925.5 5.5 数值计算法数值计算法5.5.1 数值求解的基本思路与有限差分法 对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如温度场、流场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解

56、。9394 以图4-2a所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题为例，对数值求解过程的六个步骤作进一步说明。（1 1）建立控制方程及定解条件）建立控制方程及定解条件 分析问题的物理和几何特性、时间与边界条件，以确定它的类型和性质，并给出其数学描述，即控制方程（导热微分方程）和定解条件（初始条件和边界条件）。 （a）（2 2）区域离散化）区域离散化 将求解区域按一定的格式划分成若干个子区域，并确定温度节点的空间位置，该过程称为离散化。 相邻两节点间的距离称为步长，记为x、y；节点的位置以该点在两个方向上的标号m、n来表示。每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，该小区域称

57、为元体（又叫控制容积）。95 (3)(3)建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程 节点上物理量的代数方程称为离散方程。它的建立是数值求解过程中的重要环节。如图42中，节点(m，n)的代数方程，当x=y时，有 （b）(4)(4)设立迭代初场设立迭代初场 代数方程组的求解方法有直接解法与迭代法两大类。有限差分解法中主要采用迭代法。采用此法求解时需要对被求的温度场预先假定一个解，称为初场，并在求解过程中不断改进。96 (5)(5)求解代数方程组求解代数方程组 在图4-2b中除m=1的左边界上各节点的温度为已知外，其余(M-1)N个节点都需建立起类似于上面的离散方程，一共(M-1)N个代数方

58、程，构成了一个封闭的代数方程组。 代数方程中各项的系数在整个求解过程中不再变化，称为线性问题。如果系数不是常数，这种问题称为非线性问题。 收敛判断是指用迭代方法求解代数方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。(6)(6)解的分析解的分析 对于数值计算所获得的温度场及所需的一些其他物理量应作仔细分析，以获得定性或定量上的一些新的结论。975.5.2 结点离散方程的建立与求解一、内结点离散方程的建立 建立内节点离散方程的方法有泰勒级数展开法及热平衡法两种。 把图4-2a中的节点(m，n)及其邻点取出并放大，如图4-3所示。(1)(1)泰勒泰勒(Taylor

59、)(Taylor)级数展开法级数展开法 以节点(m，n)处的二阶偏导数为例，用这种方法来导出其差分表达式。对节点（m+1，n）及（m-1，n）分别写出函数t对（m，n）点的泰勒级数展开式：98 将式(c)、(d)相加得 99 将式(e)改写成 的表示式，有 （f） 这是用三个离散点上的值来计算二阶导数的严格的表达式，其中符号O(x2)表示未明确写出的级数余项中x的最低阶数为2。在进行数值计算时，希望得出用三个相邻节点上的值表示的二阶导数的近似表达式。于是，略去式(f)中的余项后，得 （4-1a）此为二阶导数的差分表达式，称为中心差分。100同理可有 （4-1b）将式(4-1)代人式(a)，节点

60、(m，n)的离散方程 （4-2）如果x=y，则式(4-2)即变为式(b)。101 (2)热平衡法 对每个节点所代表的元体可用傅里叶导热定律直接写出其能量守恒的表达式。此时把节点看成是元体的代表。例如，从节点(m-1，n)通过界面传导到节点(m，n)的热流量可表示为 （g） 类似地可以写出通过其他三个界面e、n及 s而传导给节点(m，n )的热量。对于所研究的问题，元体(m，n)的能量守恒方程为 （h） 将类似于式(g)的表达式代人得：102 （4-3） 注意，式(4-3)中的各项热流量都以导入元体(m，n)的方向为正。 对式(4-3)进一步简化可得出式(4-2)。由上述推导过程可见，用热平衡法

61、导出式(4-3)的思路和过程与前面建立导热微分方程的思路和过程完全一致，所不同的只是前面所讨论的是一个微元体，而此处为有限大小的元体。这种方法物理概念清晰，推导过程简捷。 上述分析与推导都是对笛卡儿坐标系进行的，其他坐标系中导热问题的离散方程的推导可仿此进行。103二、边界结点离散方程的建立 对于第一类边界条件的导热问题，所有内节点的离散方程组成了一个封闭的代数方程组，可立即进行求解。但对于含有第二类或第三类边界条件的导热问题，由内节点的离散方程组成的方程组是不封闭的，必须对位于这类边界上的节点补充相应的代数方程，才能使方程组封闭。把第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，并以qW代表边界

62、上已知的热流密度值或热流密度表达式，用热平衡方法导出三类典型边界节点的离散方程，然后针对qW的三种不同情况使导得的离散方程进一步具体化。为使结果更具一般性，假设物体具有内热源(不必均布)。104 (1)位于平直边界上的节点 这时边界节点(m，n)代表半个元体。如图4-4中有阴影线的区域所示。设边界上有向该元体传递的热流密度qw,于是该元体的能量守恒定律可表示为（4-4a） x=y，时有 （4-4b）105 (2)外部角点 在如图4-5所示的二维墙角计算区域中，节点AE均为外部角点，其特点是每个节点仅代表四分之一个以x、y为边长的元体。今以外部角点D为例，假设其边界上有向该元体传递的热流密度qw

63、，则其热平衡式为 （4-5a）x=y时有 （4-5b）106 (3)内部角点 图4-5中的F点为内部角点，代表了四分之三个元体。在同样的假设条件下有 （4-6a）x=y时有 （4-6b）107（4）关于边界热流密度的三种情况。绝热边界 令式(4-4)(4-6)中的qw=0即可。qw值不为零 以给定的qw值代入上述方程，但要注意上述三式中以传入计算区域的热量为正。对流边界 此时qw=h(tf-tm，n)，将此表达式代入式(4-4)(4-6)，并将此项中的tm，nn与等号前的tm，nn合并。对于x=y的情形有： 平直边界 （4-7） 外部角点 （4-8） 内部角点 （4-9） 出现在式(4-7)(

64、4-9)中的无量纲数hx/是以网格步长x为特征长度的Bi数，它是在对流边界条件的离散过程中引入的。108 另外，当计算区域中出现曲线边界或倾斜的边界时，常常用阶梯形的折线来模拟真实边界，然后再用上述方法建立起边界节点的离散方程。109三、迭代法求解代数方程 迭代法中应用较广的是高斯一赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法，现以简单的三元方程组为例说明其实施步骤。 设有一个三元方程组，记为 其中ai，j(i=1，2，3；j=1，2，3)及bi(i=1，2，3)是已知的系数(设均不为零)及常数。采用高斯一赛德尔迭代法求解的步骤如下：（1）将式(a)改写成关于t1、t2、t3的显式形式(迭代方程)

65、，如110 (2)假设一组解(即迭代初场)，记为 ， 由式(b)逐一计算出改进值 。每次计算均用t的最新值代入。例如当由式(b)中的第三式计算 时代入的是 之值。(3)以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，此时称为已达到迭代收敛，迭代计算终止。 判断迭代是否收敛的准则一般有以下三种： 其中上角标志k及(k+1)表示迭代次数，为第k次迭代计算所得的计算区域中的最大值。当计算区域中有接近于零的t时，采用式(4-10c)比较合适。允许的相对偏差之值常在10-310-6之间，视具体情况而定。111 例题4-1 用高斯一赛德尔迭代法求解下列方程组： 假设t2、t3的初始

66、值均取零值，即 ，利用上列方程迭代可得第一次迭代值为112 如此经过七次迭代后，在四位有效数字内得到了与精确解一致的结果。迭代过程的中间值示于下表中。113 对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，此时用迭代法求解代数方程一定收敛。这一条件在数学上称为主对角线占优(简称对角占优)。对于式(b)而言，这一条件可表示为 值得指出，在用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方程的中心节点的温度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定收敛。1145.5.3 非稳定态导热数值求解 非稳态导热与稳态导热的主要差别

67、在于控制方程中多了一个非稳态项，而其中扩散项的离散方法与稳态导热是一样的。 重点将放在非稳态项的离散，以及扩散项离散时所取时间层的不同对计算带来的影响上。 先以一维非稳态导热为例讨论时间一空间区域的离散化。如图4-8所示，x为空间坐标，将计算区域划分为(N - 1)等份，得到N个空间节点；为时间坐标，将时间坐标上的计算区域划分为(I - 1)等份，得到I个时间节点。从一个时间层到下一个时间层的间隔称为时间步长。空间网格线与时间网格线的交点，如(n，i)，代表了时间一空间区域中的一个节点的位置，相应的温度记为 。115 非稳态项 的离散有三种不同的格式。如果将函数t在节点(n，i+ 1)对点(n

68、，i)作泰勒展开，可有 （a）于是有 （b）同样，此处符号O(y)表示余项中t的最低阶为一次。由式(b)可得在点(n，i)处一阶导数的一种差分表示式： （4-11）此式称为 的向前差分。116 类似地，将t在点(n，i-1)对点(n，i)作泰勒展开，可得 的向后差分的表达式： （4-12） 如果将t在点(n，i+1)及(n，i-1)处的展开式相加，则可得一阶导数的中心差分的表达式： （4-13） 对于形如式(3-11)所示的一维非稳态导热方程，如扩散项取中心差分，非稳态项取向前差分，则有 （4-14a）117此式可进一步改写为 （4-14b） 求解非稳态导热方程就是从已知的初始温度分布出发，根

69、据边界条件依次求得以后各个时间层上的温度值，式(414b)是对平板中各内点进行这种计算的公式。由该式可见，一旦i时层上各节点的温度已知，可立即算出(i+1)时层上各内点的温度，而不必求解联立方程，因而式(4-14)所代表的计算格式称为显式差分格式。显式的优点是计算工作量小，缺点是对时间步长及空间步长有一定的限制，否则会出现不合理的结果。118 如果把式(4-14a)中的扩散项也用(i+1)时层上的值来表示，则有 （4-15） 式中已知的是i时层的值 ，而未知量有3个，因此不能直接由上式立即算出 之值，而必须求解(i+1)时层的一个联立方程才能得出(i+1)时层各节点的温度，因而式(4-15)称

70、为隐式差分格式。隐式格式的缺点是计算工作量大，但它对步长没有限制，不会出现解的振荡现象。 以上是将一维非稳态导热方程中的两个导数项用相应的差分表示式代替而建立差分方程的，这种方法称为泰勒展开法(因导数的表示式用泰勒展开得出而得名)。119 同样，也可以对平板中的一个元体直接应用能量守恒定律及傅里叶定律而导出以上差分方程，而且这种方法不受网格是否均分及物性是否为常数等限制，是更为一般的方法。 图4-9示出了一无限大平板的右面部分，其右侧面受到周围流体的冷却，表面传热系数为h。此时边界节点N代表宽度为的元体(图中有阴影线的部分)。对该元体应用能量守恒定律可得：120 式中。Fo及Bi分别为网格傅里

71、叶数及网格毕渥数。于是式(4-16b)又可改写为 (4-16c)对多维非稳态导热问题应用热平衡法来建立离散方程的原则过程与上类似。121 至此，可以把第三类边界条件下、厚度为2的无限大平板的数值计算问题作一归纳。由于问题的对称性，只要求解一半厚度即可。设将计算区域等分为N - 1等份(N个节点，见图4-10)，节点1为绝热的对称面，节点N为对流边界，则与微分形式的数学描写相对应的离散形式为：122 其中式(4-20)是绝热边界的一种离散方式，在确定 之值时需要用到 。根据对称性该值等于 。这样，从已知的初始分布to出发，利用式(4-17)及(4-19)可以依次求得第二时层、第三时层直到I时层上

72、的温度值(见图4-8)。至于空间步长x及时间步长的选取，原则上步长越小，计算结果越接近于精确解，但所需的计算机内存及计算时间则大大增加。此外，与x之间的关系还受到显式格式稳定性的影响。123 下面先从离散方程的结构来分析，说明稳定性限制的物理意义，再通过数值计算实例予以说明。 式(4-17)中 的物理意义是很明确的。该式表明，点n上i+1时刻的温度是在该点i时刻温度的基础上计及了左右两邻点温度的影响后得出的。假如两邻点的影响保持不变，合理的情况是：i时刻点n的温度越高，则其相继时刻的温度也较高；反之，i时刻点n的温度越低，则其相继时刻的温度也较低。在差分方程中要满足这种合理性是有条件的，即式(4-17)中前的系数必须大于或等于零。如用判别式表示，则为必须保证 (4-21) 否则将会出现十分不合理的情况。124 式(4-21)是从一维问题显式格式的内节点方程得出的限制条件。同样的讨论还可以对显式格式的对流边界节点方程式(4-19)进行。显然，为了得出合理的解应有 (4-22) (4-23) 显然，这一要求比内点的限制还要苛刻。当由边界条件及内节点的稳定性条件得出的F0不同时，应以较小的F0为依据来确定所允许采用的时间步长。对第一类或第二类边界条件的问题，则只有内点的限制条件。125