14行列式习题精编版

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1、第一章 第四讲 习 题 课 主要内容主要内容 n阶行列式定义阶行列式定义 ： 一一 a11 a12 ? a1 n ? ? t p1 p2 ? ? ? a21 a22 ? a2 n n p ? ? ? ? ? ? 1? ? a1 p1 a2 p2 ?a n ? ? npD n? ? ? ? ? ? ? p1 p2 ? pan 1 2 an ? ann或：或： D ? ? ? ? ? 1? ?ap11ap22? apnntD ? ? ? ? ? 1? ?ap1q1ap2q2? apnqnt二二 n n 阶行列式的性质阶行列式的性质 性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相

2、等. . 性质性质2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. . 推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. . 性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k，等于用数，等于用数 k乘此行列式乘此行列式. . 推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零行列式中如果有两行（列）元素成比

3、例，则此行列式为零 性质性质5 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. . 性质性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变 三三 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 余子式与代数余子式 2 行列式按一行（列）展开 a11?ai1?an1a12?ai2?an2?a1n?ain? ? ai1Ai1? ? ai2Ai2? ? ? ? ? ainAin?ann3 关于代数余子式的重要性质 ? ?D ,当i ? ? j

4、,? ?aikAjk? ? ?0,当i ? ? j;k? ?1? ?n? ?D ,当i ? ? j,? ?akiAkj? ? ?0,当i ? ? j;k? ?1? ?n四 克拉默法则 定理定理 如果线性方程组如果线性方程组 ? ?a11x1? ? a12x2? ? ? ? ? a1nxn? ? b1? ?a x ? ? a x ? ? ? ? ? ax ? ? b? ?2112222nn2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?an1x1? ? an2x2? ? ? ? ? annxn? ? bna11a12?a1na21a22?a2nD ? ? ? ? ? ? ? ?a

5、n1an2?ann(1)的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即 ? ? 0那么线性方程组那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表示为有解，并且解是唯一的，解可以表示为 D3DnD1D2x1? ?, x2? ?, x3? ?,?, xn? ?.DDDDj列的元素用方程组右端的常数项代替后列的元素用方程组右端的常数项代替后Dj是把系数行列式是把系数行列式 D 中第中第 其中其中 n所得到的所得到的 阶行列式阶行列式 由由Cramer法则可得法则可得齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 ? ?a11x1? ? a12x2? ? ? ? ? a1nxn? ? 0? ?a

6、 x ? ? a x ? ? ? ? ? a x ? ? 0? ?2112222nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?an1x1? ? an2x2? ? ? ? ? annxn? ? 0? ?2? ?D ? ? 0，则齐次线性方程组，则齐次线性方程组 定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 ? ?2? ?的系数行列式的系数行列式 ? ?2? ?没有非零解没有非零解. . 2? ?有非零解有非零解, ,则它则它的的 系数行列式必为零系数行列式必为零. . 定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组? ? 典 型 例 题 一、计算排列的逆序数一、计算排列的逆

7、序数 二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式 三、克拉默法则三、克拉默法则 一、计算排列的逆序数 习题一 2（4） 二、计算（证明）行列式 用定义计算（证明）用定义计算（证明） 例例 用行列式定义计算用行列式定义计算 解解 （略） 0a12a21a22D5? ? a31a320a420a52a13a23a33a43a5300a24a25a34a350000 利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算 利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。行列式化为范德蒙

8、行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。 1例例 计算计算 122222n? ?Dn333.?2n?nnn?1n解解 11Dn? ? n!1?1123?n12223?n2?1n? ?12n? ?13.?nn? ?1?右端行列式为n阶范德蒙行列式， 由范德蒙行列式知由范德蒙行列式知 Dn? ? n!n? ? i ? ? j? ? 1? ?( xi? ? xj)? ? n!(2 ? ? 1)(3 ? ? 1)? (n ? ? 1)? ? (3 ? ? 2)(4 ? ? 2)? (n ? ? 2)? n ? ? (n ? ? 1)? ? n!(n ? ? 1)!(n ? ? 2)!? 2!1!. 评

9、注评注 本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式列式 习题一习题一 7（5） anan? ?17 (5) 解解 Dn? ?1? ?(a? ? 1)n?a? ? 11n(n? ? 1)2?(a? ? n)n?a? ? n1? ?(? ?1)n(n? ?1)21a?1a? ?1?1a? ?n

10、?(a? ? 1)n? ?1?(a? ? n)n? ?1a1an? ?1(a? ?1)n? ?1?(a? ?n)n? ?1nnna(a? ?1)?(a? ?n)? ? (? ?1)? ? (? ?1)n? ?1? ? i? ? j? ?1n(n? ?1)2? ?(a? ? i ? ? 1)? ? (a ? ? j ? ? 1)n? ?1? ? i? ? j? ?1? ? ?(i ? ? j)n? ? n!? ? (n? ? 1)!? ? ? ?2!? ?1!? ? ?m!m? ?1 利用性质化为三角行列式计算利用性质化为三角行列式计算 xa1例例 计算计算 Dn? ?1? ? a1a1xa2a

11、3?ana2a3?ana2xa3?an.?a1a2a3a4?xni? ?1ni? ?1ni? ?1nx? ? ? aix? ? ? aia1a2?anxa2?an?解解 Dn? ?1c1? ? cj( j ? ? 2,3,? n)x? ? ? ai?x? ? ? aii? ?1a2x?an?a2a3?x提取第一列的提取第一列的公因子，得公因子，得 a1a2?an1xa2?annDn? ?1? ? (x ? ? ? ? ai) 1a2x?an.i? ?1?11cj? ?aj? ?1c1(x? ? ? ai)1i? ?1?1nnn1a2a3?0010x? ?a1a2? ?a1x? ?a2?x?00

12、0?a2? ?a1a3? ?a2x? ?an? ? (x? ? ? ? ai)? ? (x? ? ai).i? ?1i? ?1 利用按一行（列）展开行列式降阶计算利用按一行（列）展开行列式降阶计算 a例例 计算计算 bdccabdcba.D4? ?bcdad解解 将将D4的第的第 2、 3、 4行都加到第行都加到第1行，并从第行，并从第 1行中行中提取公因子提取公因子a ? ? b? ? c? ? d，得，得1D4? ? (a? ? b? ? c? ? d)bcd1dc11cba,adba再将第再将第 2、 3、 4列都减去第列都减去第 1列，得列，得1D4? ? (a? ? b? ? c?

13、? d)cd0d ? ? cc? ? d0a? ? cb? ? d0c? ? bb? ? ca? ? d,ba ? ? bd ? ? b按第按第1行展开，得行展开，得a ? ? bd ? ? bc? ? bD4? ? (a ? ? b? ? c? ? d)d ? ? ca ? ? cb? ? c.c? ? db? ? da ? ? d把上面右端行列式第把上面右端行列式第2行加到第行加到第 1行，再从第行，再从第 1行行中提取公因子中提取公因子 a ? ? b? ? c? ? d，得，得1D? ? (a? ? b? ? c? ? d)(a? ?b? ? c? ? d)? ? d? ? cc? ?

14、 d1? ? (a? ? b? ? c? ? d)(a? ? b? ? c? ? d)? ? d? ? cc? ? d1a? ? cb? ?d0a? ? db? ? c0b? ? c,a? ?d0b? ? c,a? ? da? ? db? ? c? ? (a? ? b? ? c? ? d)(a? ? b? ? c? ? d)b? ? ca? ? d? ? (a? ?b? ?c? ?d)(a? ?b? ?c? ?d)(a? ?d) ? ?(b? ?c)? ? (a? ? b? ? c? ? d)(a? ? b? ? c? ? d)(a? ? b? ? c? ? d)(a? ? b? ? c? ?

15、 d)225 5 用加边法（升阶）计算用加边法（升阶）计算 例例 习题习题7（4）解法一）解法一 ai(i ? ? 1,2,? ,n)中为中为0的个数大于等于的个数大于等于2 则则 Dn? ? 0（1）若）若 ai(i? ?1,2,? ,n)中仅有一个为中仅有一个为0，不妨设，不妨设 ai（2）若）若 1? ?a1111? ? a2?则则 Dn? ?11?11?1?1a10?1?10a2? ?1?111?1?1? ? an00? ? 0?0?0?0?0?1?1?0?an? ? a1a2? ? ? ?ai? ?1ai? ?1? ? ? ?anai(i? ?1,2,? ,n)都不为都不为0， （3

16、）若）若 111?111?0Dn? 0?0n则则 1?a11?11? a2?1111? 1a1? ? 101?0?a2?100?11?1? an?1? 100?an11?i?1ai0?0?0a100a2?00?0n1n? (1?)?ai?0i?1ai?1i?an6 用递推法计算用递推法计算 例例 习题习题7（4）解法二）解法二 依第依第 n列把列把Dn拆成两个行列式之和拆成两个行列式之和1? ? a11Dn? ?111?11?01? ? a2?110? ? ?01an11? ? a11?11? ? a2?111111?1? ? an? ?1?1? ? anDn? ?1? ? a1a2? ? ?

17、 ?an? ?1?1? ? an? ?11?11从而得递推公式从而得递推公式 Dn? ?anDn? ?1? ? a1a2? ? ? ?an? ?1,由此递推，得由此递推，得 Dn? ?1? ?an? ?1Dn? ? 2? ? a1a2? ? ? ?an? ? 2,于是于是 Dn? ?anDn? ?1? ? a1a2? ? ? ?an? ?1? ?an(an? ?1Dn? ?2? ? a1a2? ? ? ?an? ?2)? ? a1a2? ? ? ?an? ?1? ? ? ?anan? ?1? a2D1? ? anan? ?1? ? ? ?a3a1? ? ? ? ? a1a2? ? ? ?an?

18、 ?1? ?anan? ?1? ? ? ? ? a2a1? ? anan? ?1? ? ? ? a2? ?anan? ?1? ? ? ?a3a1? ? ? ? ? a1a2? ? ? ?an? ?1 用数学归纳法用数学归纳法 cos?10Dn?0012cos?1?0001?00000?12cos? cosn?.例例 证明证明 2cos?0?00?1证证 对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法 因为因为D1? ? cos? ?, D2? ?cos? ?11cos 2? ? ? 2cos2? ? ? 1? ? cos 2? ?,所以所以,当当n? ? 1,n? ? 2时时,结论成立结论成立.n 的

19、行列式结论成立的行列式结论成立 , 下证对下证对 于阶数等于于阶数等于 n 的行列式也成立的行列式也成立 假设对阶数小于假设对阶数小于 . Dn? ? 2cos? ?Dn? ?1? ? Dn? ? 2. ,得得现将现将 Dn 按最后一行按最后一行展开展开由归纳假设由归纳假设 Dn? ?1? ?cos( n? ?1)? ?,Dn? ? 2? ?cos( n? ?2)? ?Dn? ? 2cos? ?cos( n? ? 1)? ? ? cos( n? ? 2)? ? ? cos n? ? ? cos( n? ? 2)? ? ? cos( n? ? 2)? ? ? cos n? ?;所以对一切自然数所

20、以对一切自然数 n结论成立结论成立 .小结小结 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方 法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法考察它是否能用常用的几种方法 三、克拉默法则三、克拉默法则 当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克

21、莱姆法则为了避免在计算中出现分数，可对有的于零时，可用克莱姆法则为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解方程组后再求解 例例1010 求一个二次多项式 f (x),使 f (1) ? ? 0, f (2) ? ? 3, f (? ?3) ? ? 28.解解 设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为 由题意得由题意得 f (x) ? ? ax2? ? bx? ? c,f(1) ? ? a? ? b? ? c? ? 0,f(2) ? ? 4a? ? 2b? ? c? ? 3,f(? ?3) ? ? 9a? ? 3b? ? c? ? 28,这是一个关于三个未知这是一个关于三个未知 数数 a,b,c的线性方程组的线性方程组 .D ? ? ? ?20? ? 0,D2? ? 60,由克莱姆法则，得由克莱姆法则，得 D1? ? ? ?40,D3? ? ? ?20.D1D2D3a ? ? ? 2,b? ? ? ? ?3,c? ? ? 1.DDD于是，所求的多项式为于是，所求的多项式为 f (x) ? ? 2x ? ? 3x? ? 1.2