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1、哈密顿正则方程哈密顿正则方程哈密顿正则方程的首次积分：能量积哈密顿正则方程的首次积分：能量积分、循环积分分、循环积分内容回顾内容回顾1第一章 分析力学基础n6 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程n 在在Lagrange的经典著作中还没有明确的非完整系统的经典著作中还没有明确的非完整系统的概念。完整系与非完整系的区分是从的概念。完整系与非完整系的区分是从Hertz开始的。十开始的。十九世纪末至二十世纪初著名的力学家九世纪末至二十世纪初著名的力学家Appell等对非完整系等对非完整系的动力学作出了基础性的研究工作。的动力学作出了基础性的研究工作。最近，关于非完整系最近，关于非完整系动力学的研究又
2、有了进一步的发展，这些发展一方面是为动力学的研究又有了进一步的发展，这些发展一方面是为了解决工程技术中某些非完整系的应用，另一方面，在非了解决工程技术中某些非完整系的应用，另一方面，在非完整问题的基础研究上也取得了更进一步的成果。完整问题的基础研究上也取得了更进一步的成果。26 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程n第一类拉格朗日方程是应用数学分析中的乘子法，采第一类拉格朗日方程是应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程。动力学方程。n由于方程式的数目多，求解难度大，所以在一个时期由于方程式的数目多，求解难
3、度大，所以在一个时期内，其应用价值远小于第二类拉格朗日方程。内，其应用价值远小于第二类拉格朗日方程。n目前随着计算机技术的发展，因而计算上的困难已不目前随着计算机技术的发展，因而计算上的困难已不是难以跨越的问题，同时由于第一类方程易于编程计是难以跨越的问题，同时由于第一类方程易于编程计算，又适用于非完整系统，目前又逐渐被人们所重视。算，又适用于非完整系统，目前又逐渐被人们所重视。3约束方程为约束方程为 对完整系统，对完整系统，设由设由n个质点组成的系统受个质点组成的系统受s个完整双侧约束个完整双侧约束两边取变分两边取变分其中其中6 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程4引用拉格朗日乘子引用拉格
4、朗日乘子 在在3n个质点坐标中，独立坐标有个质点坐标中，独立坐标有3n-s个。对于个。对于s个不独个不独立的坐标变分，我们可以选取适当的立的坐标变分，我们可以选取适当的 ，使得变分前的，使得变分前的系数为零，而此时独立坐标变分前的系数也应等于零。系数为零，而此时独立坐标变分前的系数也应等于零。56 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程6完整和非完整约束可写成统一的形式完整和非完整约束可写成统一的形式6 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程76 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程8讨论：拉格朗日第一类方程讨论：拉格朗日第一类方程未知数个数：未知数个数：3n个位置坐标个位置坐标+(d+g)个拉格
5、朗日乘子个拉格朗日乘子=3n+d+g个个方程个数：方程个数：3n个个还需要补充还需要补充d+g个个考虑了完整和非完整约束，第一类拉格朗日方程可以处理考虑了完整和非完整约束，第一类拉格朗日方程可以处理完整、非完整问题，更具有普遍性；完整、非完整问题，更具有普遍性；代价：增加方程数目，微分代数混合方程。代价：增加方程数目，微分代数混合方程。6 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程9拉格朗日乘子的物理含义拉格朗日乘子结合约束方程拉格朗日乘子结合约束方程可以完全决定约束反力。可以完全决定约束反力。事实上，在给定系统事实上，在给定系统初始条件后，初始条件后，结合拉格朗日第一类结合拉格朗日第一类方程及约束
6、方程可以方程及约束方程可以求解系统运动，求解系统运动，然后借助于求出的不然后借助于求出的不定乘子可以决定系统定乘子可以决定系统内部的约束力。内部的约束力。10例例试求：此系统的运动微分方程。试求：此系统的运动微分方程。已知：如图所示的运动系统中，重物已知：如图所示的运动系统中，重物 的质量为的质量为 ，可沿光，可沿光滑水平面移动。摆锤滑水平面移动。摆锤 的质量为的质量为 ，两个物体用无重杆连，两个物体用无重杆连接杆长为接杆长为l。11解解： 取系统为研究对象取系统为研究对象设质点设质点 的坐标为的坐标为质点质点 的坐标为的坐标为则系统的约束方程为则系统的约束方程为（a）约束方程对各质点坐标的梯
7、度项约束方程对各质点坐标的梯度项（b）由由12作用在各质点上的主动力为作用在各质点上的主动力为（d）（c）第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程13（f）将约束方程两边对时间求二阶导数将约束方程两边对时间求二阶导数（e）14与式（与式（e e）式联立，）式联立， 消去消去，得到系统的运动微分方程，得到系统的运动微分方程（g）而（h）与矢量力学的运动学方程相对照与矢量力学的运动学方程相对照: :可知可知 是光滑接触面的约束力是光滑接触面的约束力; ;是二力杆是二力杆 的内力的内力1516解：主动力解：主动力重力重力稳定几何约束稳定几何约束拉格朗日第一类方程拉格朗日第一类方程约束方程求导约束方程求导在在1718
