《高中数学：3.3《一元二次不等式及其解法》 新人教版必修5B》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学：3.3《一元二次不等式及其解法》 新人教版必修5B（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 一元二次不等式及其一元二次不等式及其 解法解法考察下面含未知数考察下面含未知数x的不等式：的不等式： 15x2+30x10 和和 3x2+6x10.这两个不等式有这两个不等式有两个共同特点两个共同特点： （1）含有）含有一个未知数一个未知数x； （2）未知数的）未知数的最高次数最高次数为为2. 一般地，含有一个未知数，且未知一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为数的最高次数为2的的整式不等式整式不等式，叫做，叫做一一元二次不等式元二次不等式。 一元二次不等式的一元二次不等式的一般表达式一般表达式为为 ax2+bx+c0 (a0)，或，或ax2+bx+c0，或，或f(x)0；（；（
2、2）x2x60. 我们来考察二次函数我们来考察二次函数f(x)=x2x6= 的图象和性质。的图象和性质。方程方程x2x6=0的判别式的判别式于是可知这个方程有两个不相等的实数根于是可知这个方程有两个不相等的实数根,解此方程得解此方程得x1=2，x2=3.建立直角坐标系建立直角坐标系xOy，画出，画出f(x)的图象，它是一条开口向的图象，它是一条开口向上的抛物线，与上的抛物线，与x轴的交点是轴的交点是M(2，0)，N(3，0)， 观察这个图象，可以看出，抛物线位于观察这个图象，可以看出，抛物线位于x轴上方的点的轴上方的点的纵坐标大于零纵坐标大于零，因此这些点，因此这些点的的横坐标的集合横坐标的集
3、合A=x| x3是一元二是一元二次不等式次不等式x2x60的的解集解集。 抛物线位于抛物线位于x轴下方的点轴下方的点的纵坐标小于零，因此这些的纵坐标小于零，因此这些点的横坐标的点的横坐标的集合集合B=x| 2x3是一元二次不等式是一元二次不等式x2x60的的解集解集。 事实上，当事实上，当xA时，若时，若x2，则，则x+20，且，且x30； 若若x3，同样可推知，同样可推知(x+2)(x3)0。 当当xB时，即时，即2x0，x30，因此，因此(x+2)(x3)0，就是解，就是解(x+2)(x3)0,相对于解不等式组相对于解不等式组 或或 ，解这两个不等式组得解这两个不等式组得x3或或x2.（2
4、）因为）因为x2x6=(x+2)(x3)，所以解，所以解x2x60，就是解，就是解(x+2)(x3)0，相对于解不等式组相对于解不等式组 或或 ，解这两个不等式组得解这两个不等式组得2x0；（2）x22x+30.分析：考察方程分析：考察方程x22x+3=0的的判别式判别式=(2)24130。 解：对于任意实数解：对于任意实数x，x22x+3=(x1)2+20， 因此不等式（因此不等式（1）的解集为）的解集为实数集实数集R， 不等式（不等式（2）无解，或说它）无解，或说它的解集为空集的解集为空集. 通过以上两例，我们不难对一元二次通过以上两例，我们不难对一元二次不等式不等式ax2+bx+c0 (
5、a0)和和ax2+bx+c0)解集的形式作解集的形式作一般性的分析一般性的分析。 设方程设方程ax2+bx+c=0 (a0)的判别式为的判别式为。（1）当当0时时，二次方程，二次方程ax2+bx+c=0有两有两个不等的实数根个不等的实数根x1，x2，（设，（设x10的解集的解集是是(，x1) (x2，+)，不等式不等式ax2+bx+c0的解集是的解集是 的全体的全体实数，即实数，即ax2+bx+c0的解集是空的解集是空集，即不等式无解。集，即不等式无解。（3）当）当0的解集是实数集的解集是实数集R，不等式，不等式ax2+bx+c0.解：原不等式化为解：原不等式化为4x2+x10，方程方程4x2+x1=0的根是的根是所以不等式的解集是所以不等式的解集是 例例3解不等式解不等式x2+4x+40.解：因为解：因为=42414=0，原不等式化为原不等式化为(x+2)20，所以不等式的解集是所以不等式的解集是xR| x2.例例4解不等式解不等式2x2+4x30.解：原不等式化为解：原不等式化为2x24x+30，所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是例例5求函数求函数 的定义域。的定义域。解：由函数解：由函数f(x)的解析式有意义得的解析式有意义得 即即 解得解得 因此因此1x3，所求函数的定义域是，所求函数的定义域是1，3).
