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1、二、二、 导数应用导数应用习题课一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用机动 目录 上页 下页 返回 完毕 中值定理及导数的应用 第三章 . 拉格朗日中值定理 一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用难点难点1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .2. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返
2、回 完毕完毕 3. 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维利用逆向思维 , 设辅助函数设辅助函数 .一般解题方法一般解题方法:.(1)证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在 ,可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数 。多用罗尔定理多用罗尔定理,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 有时也会用到费马引理，零点定理有时也会用到费马引理，零点定理.(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值 ,可考虑用可考虑用柯西中值定理柯西中值
3、定理 .必须多次应用必须多次应用中值定理中值定理 .(4) 若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式多考虑用泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理有时也可考虑对导数用中值定理 .在在内可导内可导, 且且证明至少存在一点证明至少存在一点使使上连续上连续, 在在分析分析: 问题转化为证问题转化为证设辅助函数设辅助函数由由在在 0 , 1 上满足罗尔定理条件知上满足罗尔定理条件知, 至至使使少存在一点少存在一点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 例例1.
4、 设设.设辅助函数设辅助函数再由再由在在 x0 , 1 上满足罗尔定理条件知上满足罗尔定理条件知,至至使使少存在一点少存在一点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 即有即有.例例2. 设实数设实数满足下述等式满足下述等式证明方程证明方程在在 ( 0 , 1) 内至少有一内至少有一个实根个实根 .证证: 令令则可设则可设且且由罗尔定理知存在一点由罗尔定理知存在一点使使即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .例例3.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 设函数 f (x) 在0, 3 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 分析: 所给条件可写为(03
5、考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使证证: 因因 f (x) 在在0, 3上连续上连续, 所以在0, 2上连续, 且在0, 2上有最大值 M 与最小值 m, 故由介值定理, 至少存在一点 由罗尔定理知, 必存在 .例例4. 设函数 f (x) 在a, b 上可导, 且 试证必存在 证证: 由条件不妨假设而由极限的保号性由极限的保号性, 存在存在当时，同理存在当时，任取则有上连续，且从而由零点定理知结论成立.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .考虑：考虑： 设 f (x) 在a, b 上二阶可导, 且 试证必存在 如何证明？如何证明？思路： （1证明在(a, b)
6、内存在f (x) 的零点，于是f (x)有三个零点：（2证明在(a, b)内存在f (x) 的两个零点；（3证明在(a, b)内存在f (x) 的零点。.例例5. 设函数 f (x) 在a, b 上可导, 且 之间的任一实数，试证必存在 证证:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 k为介于 作辅助函数显然F(x)在a , b可导，从而存在最大值 M 和最小值 m.不妨假设那么由极限的保号性由极限的保号性, 存在存在当时，.同理因为存在当时，从而存在使得由费马引理理知即机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .例例6.且且试证存在试证存在证证: 欲证欲证因因 f ( x ) 在
7、在 a , b 上满足拉氏中值定理条件上满足拉氏中值定理条件,故有故有将将代入代入 , 化简得化简得故有故有即要证即要证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .例例7. 设函数设函数在在内可导内可导, 且且证明证明在在内有界内有界. 证证: 取点取点再取异于再取异于的点的点对对为端点的区间上用拉氏中值定理为端点的区间上用拉氏中值定理, 得得(定数定数)可见对任意可见对任意即得所证即得所证 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .例例8. 设函数设函数在在上二阶可导上二阶可导,且且证明证明证证:由泰勒公式得由泰勒公式得两式相减得两式相减得机动机动 目
8、录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .由题设对由题设对证证:例例9.有有且且机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .下式减上式下式减上式 , 得得令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .例例10. 求求解解: 原式原式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .例例11. 求求解法解法1 利用中值定理求极限。因为利用中值定理求极限。因为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 所以原式所以原式= a .解法解法2 利用泰勒公式利用泰勒公式令那么原式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .解法解法3 利用罗必塔法则利用罗必塔法则原式机动 目录 上页
9、下页 返回 完毕 P139 B-3P148 B-3P176 10(2,4).此处不能使用洛必达法则.且解解:例例12. 设设 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 要使f ( x )在 x = 0 处连续，则应有存在，确定a 的值使f (x)在 x = 0处连续，并求出.二、二、 导数的应用导数的应用重点重点1. 研究函数的性态:增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ;相关变化率;证明不等式 ;研究方程实根等.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .的连续性及导函数例例1. 填空题
10、填空题(1) 设函数其导数图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .提示提示:的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ;. .在区间 上是上凸弧 ;拐点为 提示提示:的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是下凸弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数的图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .例例2. 证明证明在上单调增加.证证:令在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 故当 x 0 时,从而在上单调增.得.例例4. 求数列求数列的最大项 .证证: 设设用对数求导法得令得因
11、为在只有唯一的极大点因此在处也取最大值 .又因中的最大项 .极大值机动 目录 上页 下页 返回 完毕 列表判别:.证证: 设设,那么故上单调增加 , 从而即考虑考虑: 证明证明时, 如何设辅助函数更好 ?机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5. 证明证明.例例6. 设设 证明对任意有证：证： 不妨设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .例例7. 证明当证明当 x 0 时时,证证: 令令那么法法1 由由在处的二阶泰勒公式 , 得故所证不等式成立 .与 1 之间)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .法法2 列表判别列表判别:即机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .法法3 利用极值第二判别法利
12、用极值第二判别法.故也是最小值 ,因此当时即机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .试问 为何值时,在时取得极值 ,还是极小.解解: 由题意应有又取得极大值为例例8.求出该极值,并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .试求解解:例例9. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 故所求最大值为.由参数方程由参数方程解解:例例9. 设设 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 确定，求曲线确定，求曲线的上凸区间的上凸区间.当当-3t1时，时，此时此时0x10,故故f(x)的上凸区间为的上凸区间为. P176 10 (1，5，6) ；11(1，3) ; 13; 18机动 目录 上页 下页 返回 完毕 作业作业.
