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1、第八节第八节 直角坐标系下二重积分的直角坐标系下二重积分的 计算计算一、矩形区域上二重积分的计算一、矩形区域上二重积分的计算即：矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分此时，选择哪种次序就看被积函数（积分要简单）二、一般区域上二重积分的计算二、一般区域上二重积分的计算型区域与型区域与y-y-型区域型区域如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.X型型 区域区域 X型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域垂直于穿过区域垂直于x轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数
2、、 在区间在区间 上连续上连续.Y型型 区域区域 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且垂直于穿过区域且垂直于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.2.一般区域上二重积分的计算积分区域为积分区域为X-型区域型区域分析：分析：应用计算应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积平行截面面积为已知的立体求体积”的的方法方法: 已知平行截面面积已知平行截面面积的立体的体积的立体的体积先先y后后x的累次积分的累次积分5） 若 (x,y)0 仍然适用。1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序: X-型域 先Y后X;3 3）积分限确定法: 域中一线插,
3、内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。4）为方便，上式也常记为：注意注意: :积分区域为积分区域为Y-型区域型区域先先x后后y的累次积分的累次积分积分区域既非积分区域既非X -型也非型也非Y-型型若区域如图，若区域如图， 则必须分割则必须分割.在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式积分区域既为积分区域既为X -型又为型又为Y-型型（1 1） 先对先对先对先对 y y 积分积分积分积分yxoabyxoabyxoabDDD.( (练习练习)1.)1.将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分.（2 2） 先对先对先对先
4、对x x积分积分积分积分yxoabDyxoabDyxoabD.0 0y y x x 111（1 1）先对）先对 y y 积分积分. .y y =1 =1x xy y = = x x11. .2.2.2.2. 将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分111. .（2 2）先对）先对 x x 积分积分. .x x =1 =1 y yx x = = y y +1 +1（不分块行吗？）（不分块行吗？）注注）二重积分化累次积分的步骤画域，选序，定限）累次积分中积分的上限不小于下限）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好
5、区域的草图，画好围成D的几条边界线， 例例1 计算计算 ，其中，其中D是由直线是由直线y=1,x=2,及及y=x所围区域所围区域。解法解法 1 把把D看成看成X型域，则型域，则解法解法 2 把把D看成看成Y型域，则型域，则解：解：X型型Y型型例例2解解： （如图）将如图）将D作作Y型型-12把把D看作看作X型域型域 由于在由于在0，1和和1，4上下边界的表达式不同，所以上下边界的表达式不同，所以要用直线要用直线x=1将将D分成两个区域分成两个区域 和和 它们分别用以下不等式表示：它们分别用以下不等式表示： 由以上例子可见，为了使二重积分的计算较为方便，由以上例子可见，为了使二重积分的计算较为方
6、便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，看被积函数对哪一个变量较容易积分。看被积函数对哪一个变量较容易积分。 上例表明，若先上例表明，若先 y 后后 x 由于由于D的下边界曲线在的下边界曲线在 x 的不同范围内有不同的表达式，的不同范围内有不同的表达式， 须分片积分，计算须分片积分，计算较麻烦。较麻烦。例例3 3解：解： X-型型例例4 4解：解： 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图例例5 求求 所围成。所围成。分析分析 若先若先 后后 积分，则积分，则 无法积分。无法积分。解解例例6 交换二次积分的顺序交换二次积分的顺
7、序分析分析 要将按X（或Y）型域确定积分限改为按Y（或X）型域确定积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y （或X）型域重新确立积分限，得到二次积分。三、交换二次积分的次序三、交换二次积分的次序例例6 交换二次积分的顺序交换二次积分的顺序故D是由 所围成的， 于是解解故D是由 所围成的， 于是例例7 交换二次积分的顺序交换二次积分的顺序解解 将所给积分限还原成将所给积分限还原成D的图形，由的图形，由知知D是由是由y=x，y=2x，y=0三条直线所围成，三条直线所围成，于是按于是按Y型域定限型域定限其中其中解解积分区域如图积分区域如图解解原式原式证证 由等式
8、左边，得改变积分顺序，得左边 右边所以，左边 右边所以，例10*解解 1.1.化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大（例2），甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来（例5）；以上各例说明以上各例说明2.把一个区域是看作X型区域还是Y型区域：(1) 首先注意被积函数的特点, 一定要避开无法计算的积分出现, 如等, 或者说尽可能使积分易“积”出来 (2) 在被积函数没有特殊要求时，要尽量避免某侧边界是分段函数，即尽可能避免某侧边界是n条曲线相衔接而成的分段光滑曲线，实在避免不开的，应采用例2所给的“切块法
9、” (3) 求积分区域在坐标轴上的投影，一般往往通过解相邻两边的方程所组成的方程组求区域的顶点来确定练习练习 计算计算解解D是是X型区域型区域要分部积分，不易计算要分部积分，不易计算若先若先 x 后后 y 则须分片则须分片易见尽管须分片积分，但易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。分相对而言也较方便。Dyox思考思考思考题解答：思考题解答：四、四、 利用对称性简化重几分的计算利用对称性简化重几分的计算 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不它与利用奇偶性来简
10、化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性时过重积分的情况比较复杂，在运用对称性时要兼顾要兼顾被积函数和积分区域两个方面，被积函数和积分区域两个方面，不可误用不可误用对对1.若若D关于关于 x 轴对称轴对称zxyoozxy2.若若D关于关于 y 轴对称轴对称3.当积分区域当积分区域D关于关于x轴、轴、y轴均对称，轴均对称， 4.*若若D关于关于原点原点对称对称称为关于积分变量的轮换对称性称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质是多元积分所独有的性质 奇函数关于对称域的积分等于奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的
11、两倍，对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为简述为“你你对称，我对称，我奇偶奇偶”1、2、3、4简单地说就是简单地说就是5.*若若 D 关于关于直线直线 y = x 对称对称例12 （1）设：解D关于y轴对称，而xy为x的奇函数，故从而原式 例12 （2）设：解因D关于y轴对称，而x为x的奇函数，故从而原式 因D关于x轴对称，而sinysiny为y y的奇函数，例13*计算 ，其中D是由 所围成的区域， 为连续函数.解 利用曲线 将B与O连接起来，将区域分成两个区域 和 。由对称性，有故 原式 练习练习 计算计算解解根据积分区域的特点根据积分区域的特点14-12应先对应先对 x 后对后对 y 积分积分但由于但由于 对对 x 的积分求不出，无法计算，的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。须改变积分次序。先先 y 后后 x 有有奇函数奇函数
