平面应力和平面应变ppt课件

《平面应力和平面应变ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面应力和平面应变ppt课件（98页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章第三章 平面平面问题要点要点 建立平面建立平面问题的根本方程的根本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；程；变形形协调方程；方程；边境条件的描境条件的描画；方程的求解方法等画；方程的求解方法等3.1 3.1 平面平面应力力问题与平面与平面应变问题1. 平面平面应力力问题(1) 几何特征几何特征xyyztba 一个方向的尺寸比另两个一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。 平板平板如：板式吊如：板式吊钩，旋，旋转圆盘，工字形梁的腹板等，工字形梁的腹板等(2) 受力特征受力特征外力膂力、面力和外力膂力、面力和约束，束，仅平行于板面作

2、用，平行于板面作用，沿沿 z 方向不方向不变化。化。xyyztba(3) 应力特征力特征如如图选取坐取坐标系，以板的中面系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任不断平面，垂直于中面的任不断线为 z 轴。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 轴方向不方向不变。可以可以为整个薄板的整个薄板的各点都有：各点都有：由剪由剪应力互等定理，有力互等定理，有结论：平面平面应力力问题只需三个只需三个应力分量：力分量：xy应变分量、位移分量也分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。2. 平面平面应变问题(1) 几何特征几何特征水坝水坝滚柱

3、滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得另两个方向的尺寸大得多，且沿多，且沿长度方向几何度方向几何外形和尺寸不外形和尺寸不变化。化。 近似以近似以为无限无限长(2) 外力特征外力特征 外力膂力、面力平行于横截面外力膂力、面力平行于横截面作用，且沿作用，且沿长度度 z 方向不方向不变化。化。 约束束 沿沿长度度 z 方向不方向不变化。化。(3) 变形特征形特征 如如图建立坐建立坐标系：以任一横截面系：以任一横截面为 xy 面，任一面，任一纵线为 z 轴。 设 z方向方向为无限无限长，那，那么么沿沿 z 方向都不方向都不变化，化，仅为 x，y 的函数。的函数。 任

4、一横截面均可任一横截面均可视为对称面称面水坝水坝由于任一横截面均可由于任一横截面均可视为对称面，那么称面，那么有有一切各点的位移矢量都平行于一切各点的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移平面位移问题 平面平面应变问题注：注：(1)平面平面应变问题中中但是，但是，(2)平面平面应变问题中中应力分量：力分量： 仅为 x y 的函数。的函数。可近似可近似为平面平面应变问题的例子：的例子：煤煤矿巷道的巷道的变形与破坏分析；形与破坏分析；挡土土墙；重力；重力坝等。等。 如下如下图三种情形，能否都属平面三种情形，能否都属平面问题？是平面？是平面应力力问题还是平面是平面应变问题？平面平面应力力问

5、题平面平面应变问题非平面非平面问题3. 平面平面问题的求解的求解问题： 知：外力膂力、面力、知：外力膂力、面力、边境条件，境条件，求：求： 仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：1静力学关系：静力学关系：2几何学关系：几何学关系：3物理学关系：物理学关系：形形变与与应力力间的关系。的关系。应力与膂力、面力力与膂力、面力间的关系；的关系；形形变与位移与位移间的关系；的关系；建立建立边境条件：境条件： 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程1应力力边境条件；境条件；2位移位移边境条件；境条件；3-2 平面平面问题根本方程根本方程PBACxyOD

6、XY 3.2.1 3.2.1 平衡微分方程平衡微分方程PBACxyO取微元体取微元体PABCP点附近，点附近，DXYZ 方向取单位长度。设P点点应力知：力知：膂力：膂力：X ，YAC面：面：BC面：面： 注：注： 这里用了小里用了小变形假定，以形假定，以变形前形前的尺寸替代的尺寸替代变形后尺寸。形后尺寸。PBACxyODXY由微元体由微元体PABC平衡，得平衡，得整理得：整理得：当当时，有时，有 剪剪应力互等定理力互等定理PBACxyODXY两两边同除以同除以dx dy，并整理得：，并整理得：两两边同除以同除以dx dy，并整理得：，并整理得：平面平面问题的平衡微分方程：的平衡微分方程：2阐明

7、：明：1两个平衡微分方程，三个未知量：两个平衡微分方程，三个未知量： 超静定超静定问题，需找，需找补充方程才干求解。充方程才干求解。2对于平面于平面应变问题，x、y方向的平衡方程一方向的平衡方程一样，z方向自成平衡，上述方程两方向自成平衡，上述方程两类平面平面问题均适用；均适用；3平衡方程中不含平衡方程中不含E、，方程与，方程与资料性料性质无关无关钢、石料、混凝土等；、石料、混凝土等；4平衡方程平衡方程对整个整个弹性体内都性体内都满足，包括足，包括边境。境。PBACxyODXY3.2.2 3.2.2 斜面上的斜面上的应力力 主主应力力1. 斜面上的斜面上的应力力1斜面上斜面上应力在坐力在坐标方

8、向的分量方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNN设P点的点的应力分量知：力分量知：斜面斜面AB上的上的应力矢量力矢量: s 斜面外法斜面外法线 N 的关于坐的关于坐标轴的方向余弦：的方向余弦： 由微元体平衡：由微元体平衡： 整理得：整理得： 3整理得：整理得： 4外法外法线 xyOdxdydsPABsXNYNN2斜面上的正斜面上的正应力与剪力与剪应力力34将式将式2-32-4代入，并整理得：代入，并整理得：56阐明：明：1运用了剪运用了剪应力互等定理：力互等定理：2 的正负号规定的正负号规定 将将 N 转动90而到达而到达 的方向是的方向是顺时针的，的，那么那么该 为正；反之正

9、；反之为负。 恣意斜截面上恣意斜截面上应力力计算公式算公式3假假设AB面面为物体的物体的边境境S，那么那么18 平面平面问题的的应力力边境条件境条件2. 一点的主一点的主应力与力与应力主向力主向xyOdxdydsPABsXNYNN1主主应力力 假设某一斜面上假设某一斜面上 ，那么该斜面上的，那么该斜面上的正应力正应力 称为该点一个主应力称为该点一个主应力 ；当当 时，有时，有求解得：求解得：7 平面平面应力形状主力形状主应力的力的计算公式算公式主主应力力 所在的平面所在的平面 称称为主平面；主平面；主主应力力 所在平面的法所在平面的法线方向方向 称称为应力主向；力主向；由式由式7易得：易得：

10、平面平面应力形状力形状应力第一不力第一不变量量2应力主向力主向 设1 与与 x 轴的的夹角角为1， 1与坐与坐标轴正向正向的方向余弦的方向余弦为 l1、m1，那么，那么 设2 与与 x 轴的的夹角角为2， 2与坐与坐标轴正向的方向余弦正向的方向余弦为 l2、m2，那么，那么应力主向的力主向的计算公式：算公式：8由由得得显然有然有阐明：明：1 与与 2 相互垂相互垂直。直。结论任一点任一点P，一定存在两，一定存在两 相互相互垂直的主垂直的主应力力1 、 2 。3N 的主的主应力表示力表示xyOsdxdydsPABN由由1 与与 2 分分别为最大和最小最大和最小应力。力。4最大、最小剪最大、最小剪

11、应力力由由显然，当然，当时，N为最大、最小最大、最小值：由由得，得，max、 min 的方向与1 2 成45。xyOdxdydsPABNs小小结：345618 平面平面问题的的应力力边境条件境条件1斜面上的斜面上的应力力8阐明：明：1 与与 2 相互垂直。相互垂直。2一点的主一点的主应力、力、应力主向、最力主向、最大最小大最小应力力7max、 min 的方向与1 2 成45。3.2.3 3.2.3 几何方程几何方程 刚体位移体位移建立：平面建立：平面问题中中应变与位移的关系与位移的关系 几何方程几何方程1. 几何方程几何方程一点的一点的变形形线段的伸段的伸长或或缩短；短；线段段间的相的相对转动

12、；xyOP调查P点点邻域内域内线段的段的变形：形：AdxBdyuv变形前形前变形后形后PABuv注：注：这里略去了二里略去了二阶以上高以上高阶无无穷小量。小量。xyOPAdxBdyuvPA的正应变：PB的正应变：P点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化xyOPAdxBdyuv整理得：整理得：几何方程几何方程9阐明：明：1反映任一点的位移与反映任一点的位移与该点点应变间的的关系，是关系，是弹性力学的根本方程之一。性力学的根本方程之一。2当当 u、v 知，那么知，那么 可完全确定；反之，知可完全确定；反之，知 ，不能确定不能确定u、v。积分需求确定分需求确定积分常数，由分常数，由边境条件决境条件决议

13、。3 以两以两线段段夹角减小角减小为正，增大正，增大为负。2. 刚体位移体位移物体无物体无变形，只需形，只需刚体位移。体位移。 即：即： (a)(b)(c)由由(a)、(b)可求得：可求得： (d)将将(d)代入代入(c)，得：，得： 或写成：或写成： 上式中，左上式中，左边仅为 y 的函数，的函数，右右边仅 x 的函数，的函数，两两边只能等只能等于同一常数，即于同一常数，即 (d)积分分(e) ，得：，得： (e)其中，其中，u0、v0为积分常数。分常数。 x、y方向的方向的刚体位移，代入体位移，代入d得得:(2-10) 刚体位移表达式体位移表达式讨论： (2-10) 刚体位移表达式体位移表

14、达式1仅有有x方向平移。方向平移。2仅有有y方向平移。方向平移。3xyOPyxr阐明：明： P点沿切向绕O点转动 绕O点转过的角度刚性转动3.2.4 3.2.4 斜方向的斜方向的应变及位移及位移1. 斜方向的正斜方向的正应变N问题：知知 ，求恣意方向，求恣意方向的的线应变N 和和线段段夹角的角的变化。化。xyOP(x,y)N 设 P 点的坐点的坐标为 (x，y)，N 点的坐点的坐标为x+dx，y+dy，PN 的的长度度为 dr，PN 的的方向余弦方向余弦为：于是于是PN 在坐在坐标轴上的投影上的投影为：P1N1N 点位移： 变形后的形后的P1N1在坐在坐标方向方向的投影：的投影： 设PN变形后

15、的形后的长度度 P1N1=dr， PN 方向的方向的应变为N ，由，由应变的定的定义：vu两两边同除以同除以 (dr)2，得，得化开上式，并将化开上式，并将的二次的二次项略去，有略去，有xyOP(x,y)NvuP1N1dr112. P点两点两线段段夹角的改角的改动1xyOvuP(x,y)NP1N1变形前：形前：PN 的方向余弦PN 的方向余弦变形后：形后：P1N1 的方向余弦P1N1 的方向余弦2. P点两线段夹角的改动点两线段夹角的改动xyOvuP(x,y)NP1N1变形前：变形前：PN 的方向余弦PN 的方向余弦变形后：变形后：P1N1 的方向余弦P1N1 的方向余弦利用：利用：化化简，得

16、：，得：略去二略去二阶小量；小量；2. P点两线段夹角的改动点两线段夹角的改动xyOvuP(x,y)NP1N1变形前：变形前：PN 的方向余弦PN 的方向余弦变形后：变形后：P1N1 的方向余弦P1N1 的方向余弦同理，得：同理，得：PN 与 PN变形后的夹角改动为：代入，并利用：代入，并利用：并略去高并略去高阶小量，有小量，有2. P点两线段夹角的改动点两线段夹角的改动xyOvuP(x,y)NP1N1变形前：变形前：PN 的方向余弦PN 的方向余弦变形后：变形后：P1N1 的方向余弦P1N1 的方向余弦PN 与 PN变形后的夹角改动为：12从中求出从中求出变形后两形后两线段段间的的夹角角进一

17、步求出一步求出3. 斜方向斜方向应变公式的运用公式的运用3. 斜方向应变公式的运用斜方向应变公式的运用1知一点的应变知一点的应变 ，可计算恣意方向的应，可计算恣意方向的应变变 。 的最大值、最小值。主应变、主应变的最大值、最小值。主应变、主应变方向等。方向等。2 知一点恣意三方向的应变知一点恣意三方向的应变 ，可求得该，可求得该点的应变分量点的应变分量 。xy45假假设 用用45应变花花测构件外表构件外表应变：假假设 用用120应变花花测构件外表构件外表应变，即：，即：xy求得求得该点的点的应变分量分量:作作为作作业！3.2.5 3.2.5 物理方程物理方程建立：平面建立：平面问题中中应力与力

18、与应变的关系的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1. 各向同性各向同性弹性体的物理方程性体的物理方程 在完全在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即性和各向同性的情况下，物性方程即为资料料力学中的广力学中的广义虎克虎克Hooke定律。定律。13其中：其中：E为拉拉压弹性模量；性模量；G为剪切剪切弹性模量；性模量；为侧向收向收缩系数，又称泊松比。系数，又称泊松比。1平面平面应力力问题的物理方程的物理方程由于平面由于平面应力力问题中中15 平面平面应力力问题的的物理方程物理方程注：注：(1) (2) 物理方程的另一方式物理方程的另一方式2平

19、面平面应变问题的物理方程的物理方程由于平面由于平面应变问题中中16 平面平面应变问题的的物理方程物理方程注：注：(2) 平面平面应变问题 物理方程的另一方式：物理方程的另一方式：由式由式2-13第三式，得第三式，得13(1) 平面应变问题中平面应变问题中，但，但3两两类平面平面问题物理方程的物理方程的转换：16 平面平面应变问题的的物理方程物理方程 平面平面应力力问题的的物理方程物理方程15(1) 平面平面应力力问题平面平面应变问题资料常数的料常数的转换为：(2) 平面平面应变问题平面平面应力力问题资料常数的料常数的转换为：3.2.6 3.2.6 边境条件境条件1. 弹性力学平面性力学平面问题

20、的根本方程的根本方程1平衡方程：平衡方程：22几何方程：几何方程：93物理方程：物理方程：15未知量数：未知量数：8个个方程数：方程数：8个个结论：在适当的在适当的边境条件下，上述境条件下，上述8个方程可解。个方程可解。2. 边境条件及其分境条件及其分类边境条件：境条件：建立建立边境上的物理量与内部物理量境上的物理量与内部物理量间的关系。的关系。xyOqP是力学是力学计算模型建立的重要算模型建立的重要环节。边境分境分类1位移位移边境境2应力力边境境3混合混合边境境 三类边境1位移位移边境条件境条件位移分量知的位移分量知的边境境 位移位移边境境 用用us 、 vs表示边境上的位移分量，表示边境上

21、的位移分量， 表表示边境上位移分量的知函数，那么位移边境条件可示边境上位移分量的知函数，那么位移边境条件可表达为：表达为：17 平面平面平面平面问题问题的位移的位移的位移的位移边边境条件境条件境条件境条件阐明：明：称称为固定位移固定位移边境。境。xyOqP2应力力边境条件境条件给定面力分量定面力分量 边境境 应力力边境境xyOdxdydsPABXNYNN由前面斜面的由前面斜面的应力分析，得力分析，得式中取：式中取：得到：得到：18式中：式中：l、m 为边境外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如： 平面平面平面平面问题问题的的的的应应力力力力边边境条件境条件境条件境条件垂直垂直 x 轴的的边境：境

22、：垂直垂直 y 轴的的边境：境：例例1 如下如下图，试写出其写出其边境条件。境条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)阐明：明：x = 0 的边境条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：内容回想：内容回想：1.两两类平面平面问题：平面平面应力力问题平面平面应变问题几何特征几何特征;受力特征受力特征;应力特征。力特征。几何特征几何特征;受力特征受力特征;应变特征。特征。xyyztba水水坝坝滚滚柱柱位移位移边境条件境条件2.平面平面问题的根本方程：的根本方程：1平衡方程：平衡方程：22几何方程：几何方程：93物理方程：物理方程：154边境条件：境条件：12应力力边境条件境条件平面平面应力力问题例例

23、2 如下如下图，试写出其写出其边境条件。境条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段y = 0：代入代入边境条件公式，有境条件公式，有(2) BC段x = l：(3)AC段y =x tan :N例例3 图示水示水坝，试写出其写出其边境条件。境条件。左左侧面：面：由由应力力边境条件公式，有境条件公式，有右右侧面：面：例例4图示薄板，在示薄板，在y方向受均匀拉力作用，方向受均匀拉力作用，证明在板中明在板中间突出部分的尖点突出部分的尖点A处无无应力存在。力存在。解解： 平面应力问题，在 AC、AB 边境上无面力作用。即AB 边境：由由应力力边境条件公式，有境条件公式，有1AC 边境：代入代入应力力

24、边境条件公式，有境条件公式，有2A 点同点同处于于 AB 和和 AC 的的边境，境，满足式足式1和和2，解得，解得 A 点点处无无应力作用力作用例例5图示楔形体，试写出其边境条件。图示楔形体，试写出其边境条件。图示构件，试写出其边境条件。图示构件，试写出其边境条件。例例6例例5图示楔形体，试写出其边境条件。图示楔形体，试写出其边境条件。上上侧：下下侧：图示构件，试写出其应力边境条件。图示构件，试写出其应力边境条件。例例6上上侧：下下侧：N3混合混合边境条件境条件(1)物体上的一部分物体上的一部分边境境为位移位移边境，另一部境，另一部为应力力边境。境。(2)物体的同一部分物体的同一部分边境上，其

25、中一个境上，其中一个为位移位移边境条件，另境条件，另一一为应力力边境条件。如：境条件。如：图(a)： 位移位移边境条件境条件 应力力边境条件境条件图(b)： 位移位移边境条件境条件 应力力边境条件境条件平面平面问题的根本方程的根本方程1. 平衡微分方程平衡微分方程22. 几何方程几何方程93. 物理方程物理方程平面平面应力力问题154. 边境条件境条件位移：位移：17应力：力：183.2.7 3.2.7 圣圣维南原南原理理问题的提出：的提出：PPP 求解求解弹性力学性力学问题时，使，使应力分量、力分量、形形变分量、位移分量完全分量、位移分量完全满足足8个根本方个根本方程相程相对容易，但要使容易

26、，但要使边境条件完全境条件完全满足，足，往往很困往往很困难。 如下如下图，其力的作用点，其力的作用点处的的边境条境条件无法列写。件无法列写。1. 静力等效的概念静力等效的概念 两个力系，假两个力系，假设它它们的主矢量、主矩相等，那么两个力的主矢量、主矩相等，那么两个力系系为静力等效能系。静力等效能系。 这种等效只是从平衡的种等效只是从平衡的观念而言的，念而言的，对刚体来而言完全正确，但体来而言完全正确，但对变形体而言普通是不等效的。形体而言普通是不等效的。2.圣圣维南原理南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：假假设把物体的一小部分把物体的一小部分边境上的面力，境上的

27、面力，变换为分分布不同但静力等效的面力，那么近布不同但静力等效的面力，那么近处的的应力分布力分布将有将有显著改著改动，而，而远处所受的影响可忽略不所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/23.圣圣维南原理的运用南原理的运用(1)对复复杂的力的力边境，用静力等效的分布面力替代。境，用静力等效的分布面力替代。(2)有些位移有些位移边境不易境不易满足足时，也可用静力等效的分布面力替代。，也可用静力等效的分布面力替代。本卷本卷须知：知：(1)必需必需满足静力等效条件；足静力等效条件；(2)只能在次要只能在次要边境上用圣境上用圣维南原理，在主要南原理，在主要边境上不能运用。境上不能运用。如：如：AB主要边

28、境主要边境P次要边境次要边境例例7 图示矩形截面水示矩形截面水坝，其右，其右侧受静水受静水压力，力，顶部受集中力作用。部受集中力作用。试写出写出水水坝的的应力力边境条件。境条件。左左侧面：面：代入代入应力力边境条件公式境条件公式右右侧面：面：代入代入应力力边境条件公式，有境条件公式，有上端面：上端面：为次要次要边境，可由圣境，可由圣维南原理求解。南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：点的力矩等效：x方向力等效：留意：留意：必需按正向假必需按正向假设！xy上端面：上端面： 方法方法2取取图示微元体，示微元体，可可见，与前面，与前面结果一果一样。留意：留意：必需按正向假设！必需按正向假设！由

29、微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，3.2.8 3.2.8 按位移求解平面按位移求解平面问题1.弹性力学平面性力学平面问题的根本方程的根本方程1平衡方程：平衡方程：22几何方程：几何方程：93物理方程：物理方程：154边境条件：境条件：122.弹性力学性力学问题的求解方法的求解方法1按位移求解位移法、按位移求解位移法、刚度法度法以以u、v 为根本未知函数，将平衡方程和根本未知函数，将平衡方程和边境条件都用境条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出，再由几何方程、物理方程求出应力力与形与形变分量。分量。2按按应力求解力法，柔度法力求解力法，柔度法以以应力分量

30、力分量 为根本未知函数，将一切方程都用根本未知函数，将一切方程都用应力分力分量表示，并求出量表示，并求出应力分量力分量 ，再由几何方程、物理方程求出，再由几何方程、物理方程求出形形变分量与位移。分量与位移。3混合求解混合求解以部分位移分量以部分位移分量 和部分和部分应力分量力分量 为根本未知函数，将，根本未知函数，将，并求出并求出这些未知量，再求出其他未知量。些未知量，再求出其他未知量。3. 按位移求解平面按位移求解平面问题的根本方程的根本方程1将平衡方程用位移表示将平衡方程用位移表示由由应变表示的物理方程表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有19a将式将式(a)代入平衡方程，化代

31、入平衡方程，化简有有202将将边境条件用位移表示境条件用位移表示位移位移边境条件：境条件：应力力边境条件：境条件：a将式将式a代入，得代入，得2117式式20、17、21构成按位移求解构成按位移求解问题的根本方程的根本方程阐明：明：1对平面平面应变问题，只需将式中的，只需将式中的E、作相交作相交换即可。即可。2普通不用于解析求解，作普通不用于解析求解，作为数数值求解的根本方程。求解的根本方程。3按位移求解平面按位移求解平面问题的根本方程的根本方程1平衡方程：平衡方程：202边境条件：境条件：位移位移边境条件：境条件：17应力力边境条件：境条件：213.2.9 3.2.9 按按应力求解平面力求解

32、平面问题 相容方程相容方程1.变形形协调方程相容方程方程相容方程按按应力求解平面力求解平面问题的未知函数：的未知函数：2平衡微分方程：平衡微分方程：2个方程方程，个方程方程，3个未知量，个未知量，为超静定超静定问题。 需需寻求求补充方程，充方程， 从形从形变、形、形变与与应力的关系建立力的关系建立补充方程。充方程。将几何方程：将几何方程：9作如下运算：作如下运算：显然有：然有：22 形形变协调方程或相容方程方程或相容方程即：即： 必需满足上式才干保证位移分量必需满足上式才干保证位移分量 u、v 的存在与协的存在与协调，才干求得这些位移分量。调，才干求得这些位移分量。例：例：其中：其中：C为常数

33、。常数。由几何方程得：由几何方程得：积分得：分得：由几何方程的第三式得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不能然，此方程是不能够的，因此不能的，因此不能够求出求出满足几何方程的解。足几何方程的解。22. 变形形协调方程的方程的应力表示力表示1平面平面应力情形力情形将物理方程代入相容方程，得：将物理方程代入相容方程，得：22利用平衡方程将上述化利用平衡方程将上述化简：15a将上述两将上述两边相加：相加：b将将 (b) 代入代入 (a) ，得：，得：将将 上式整理得：上式整理得：23应力表示的相容方程力表示的相容方程2平面平面应变情形情形将将 上式中的泊松比上式中的泊松比代代为： ， 得得24平

34、面平面应力情形力情形应力表示的相容方程力表示的相容方程平面平面应变情形情形留意：留意：留意：留意：当膂力当膂力 X、Y 为常数常数时，两种平面，两种平面问题的相容方程一的相容方程一样，即，即253.按按应力求解平面力求解平面问题的根本方程的根本方程1平衡方程平衡方程22相容方程形相容方程形变协调方程方程233边境条件：境条件：18平面平面应力情形力情形阐明：明：1对位移位移边境境问题，不易按，不易按应力求解。力求解。2对应力力边境境问题，且，且为单连通通问题，满足上述方程的解足上述方程的解是独一正确解。是独一正确解。3对多多连通通问题，满足上述方足上述方程外，程外，还需需满足位移足位移单值条条

35、件，才是独一正确解。件，才是独一正确解。例例8下面下面给出平面出平面应力力问题单连通域的通域的应力力场和和应变场，试分分别判判别它它们能否能否为能能够的的应力力场与与应变场不不计膂力。膂力。12解解ab1将式将式a代入平衡方程：代入平衡方程：2 满足足将式将式a代入相容方程：代入相容方程：式式a不是一不是一组能能够的的应力力场。例例8下面给出平面应力问题单连通域的应力场和应变场，试分别判别它下面给出平面应力问题单连通域的应力场和应变场，试分别判别它们能否为能够的应力场与应变场不计膂力。们能否为能够的应力场与应变场不计膂力。12ab2解解将式将式b代入代入应变表示的相容方程：表示的相容方程：式式

36、b满足相容方程，足相容方程，b为能能够的的应变分量。分量。例例9图示矩形截面悬臂梁，在自在端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自在端受集中力P作用，不计膂力。试根据作用，不计膂力。试根据资料力学公式，写出弯曲应力资料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤的表达式，并取挤压应力压应力 =0，然后阐明这些表达式能否代表正确解。，然后阐明这些表达式能否代表正确解。解解资料力学解答：料力学解答：式式a满足平衡方程和相容方程足平衡方程和相容方程？a式式a能否能否满足足边境条件境条件？代入平衡微分方程：代入平衡微分方程：2显然，平衡微分方程然，平衡微分方程满足。足。式式a满足相容方程。足相

37、容方程。再再验证，式，式a能否能否满足足边境条件？境条件？ 满足足满足足近似近似满足足近似近似满足足结论：式：式a为正确解正确解代入相容方程：代入相容方程：上、下上、下侧边境：境：右右侧边境：境：左左侧边境：境：3.2.10 3.2.10 常膂力情况下的常膂力情况下的简化化1.常膂力下平面常膂力下平面问题的相容方程的相容方程令：令： 拉普拉斯拉普拉斯Laplace算子算子那么相容方程可表示那么相容方程可表示为： 平面平面应力情形力情形 平面平面应变情形情形当膂力当膂力 X、Y 为常数常数时，两种平面，两种平面问题的相容方程一的相容方程一样，即，即或或252.常膂力下平面常膂力下平面问题的根本方

38、程的根本方程1平衡方程平衡方程22相容方程形相容方程形变协调方程方程3边境条件境条件184位移位移单值条件条件 对多多连通通问题而言。而言。讨论讨论：1 Laplace方程，方程，或称或称调和方程。和方程。2常膂力下，方程中不含常膂力下，方程中不含E、a两种平面问题，计算结果两种平面问题，计算结果 一样一样 不同。不同。但但b不同不同资料，具有一料，具有一样外力外力和和边境条件境条件时，其，其计算算结果一果一样。 光光弹性性实验原理。原理。3用平面用平面应力力实验模型，替代平模型，替代平面面应变实验模型，模型，为实验应力力分析提供分析提供实际根底。根底。满足：满足： 的函数的函数称为调和函数解

39、析函数。称为调和函数解析函数。3.常膂力下膂力与面力的常膂力下膂力与面力的变换平衡方程平衡方程:相容方程相容方程:边境条件境条件:令：令：常膂力下，常膂力下， 满足的方程：满足的方程：(a)将式将式(b)代入平衡方程、相容方程、代入平衡方程、相容方程、边境条件，有境条件，有(b)(c)(c)阐明：明： 1变换后的平衡方程、相容方程均后的平衡方程、相容方程均为齐次方程容易求解；次方程容易求解；2变换后后问题的的边境面力改境面力改动为：结论结论：当膂力当膂力X =常数，常数，Y =常数时，可先求解无膂力而面力为：常数时，可先求解无膂力而面力为：问题的解：问题的解： ，而原问题的解为：，而原问题的解

40、为：xyxy例如：例如：pFABCDEhh(a)图示深梁在重力作用下的示深梁在重力作用下的应力分析。力分析。原原问题：膂力：膂力：边境面力：境面力：所求所求应力：力：ABCFDEhh(b)ph2ph变换后的后的问题：膂力：膂力：边境面力：境面力：(1) 当当 y = 0 时，(2) 当当 y = h 时，(3) 当当 y = 2h 时，所求得的所求得的应力：力：原原原原问题问题的的的的应应力力力力常膂力下膂力与面力常膂力下膂力与面力转换的的优点益点益处：原原问题的的求求解解方方程程变换后后问题的的求求解解方方程程常膂力常膂力问题无膂力无膂力问题作用：作用：(1) 方便分析方便分析计算算齐次方程

41、易求解。次方程易求解。 (2) 实验测试时，普通膂力不易施加，可用加面力的方法替代加膂力。，普通膂力不易施加，可用加面力的方法替代加膂力。留意：留意：面力变换公式：面力变换公式： 与坐标系的选取有关，与坐标系的选取有关，因此，适中因此，适中选取坐取坐标系，可使面力表达式系，可使面力表达式简单。主要内容回想：主要内容回想：1.两类平面问题：两类平面问题：平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题几何特征几何特征;受力特征受力特征;应力特征。应力特征。几何特征几何特征;受力特征受力特征;应变特征。应变特征。xyyztba水水坝坝滚滚柱柱2.平面问题的根本方程：平面问题的根本方程：1平衡方程：

42、平衡方程：22几何方程：几何方程：9位移位移边境条件境条件4边境条件：边境条件：12应力力边境条件境条件3物理方程：物理方程：15平面平面应力力问题3.平面问题一点的应力、应变分析平面问题一点的应力、应变分析(b) 主应力与应力主向主应力与应力主向78(c) 最大、最小剪应力及其方向最大、最小剪应力及其方向max、 min 的方向与1 2 成45。(a) 恣意斜面上应力恣意斜面上应力或或4.圣维南原理的运用圣维南原理的运用d恣意斜方向的线应变恣意斜方向的线应变11e一点恣意两线段夹角的改动一点恣意两线段夹角的改动12 假设把物体的一小部分边境上的面力，变换为分布不同假设把物体的一小部分边境上的

43、面力，变换为分布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有显著改动，而但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有显著改动，而远处所受的影响可忽略不计。远处所受的影响可忽略不计。本卷须知：本卷须知：(1)必需满足静力等效条件；必需满足静力等效条件；(2)只能在次要边境上用圣维南原理，在主要边境上不能运用。只能在次要边境上用圣维南原理，在主要边境上不能运用。P次要边境次要边境5.平面问题的求解方法：平面问题的求解方法：17位移位移边境条件境条件21应力力边境条件境条件1按位移求解根本方程按位移求解根本方程20平衡方程平衡方程2按按应力求解平面力求解平面问题的根本方程的根本方程22 形形变协调方程或

44、相容方程方程或相容方程相容方程相容方程23平面应力情形平面应力情形应力力表表示示的的相相容容方方程程24平面应变情形平面应变情形25膂力膂力 X、Y 为常数情形为常数情形1平衡方程平衡方程23边境条件：边境条件：182相容方程形变协调方程相容方程形变协调方程23平面应力情形平面应力情形按按应力求解的根本方程力求解的根本方程常膂力下可以常膂力下可以简化：化：求解方法？求解方法？ 两种平面问题方式一样两种平面问题方式一样 1膂力膂力X、Y 转化为面力处置。转化为面力处置。 23.3 3.3 应力函数力函数 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法常膂力下常膂力下问题的根本方程：的根本方程：边境条件、位移境

45、条件、位移单值条件。条件。(a)(b)式式(a)为非非齐次方程，其解：次方程，其解：全解全解 = 齐次方程通解次方程通解1.平衡微分方程解的方式平衡微分方程解的方式(1) 特解特解常膂力下特解方式：常膂力下特解方式：+非非齐次方程的特解。次方程的特解。(1)(2)(3)(2) 通解通解式式(a) 的的齐次方程：次方程：(c)(d)的通解。的通解。将式将式(d)第一式改写第一式改写为由微分方程由微分方程实际，必存在一函，必存在一函数数 A(x,y)，使得，使得(e)(f)同理，将式同理，将式(d)第二式改写第二式改写为(g)(h)比比较式式( f )与与(h)，有，有也必存在一函数也必存在一函数

46、 B(x,y)，使得，使得(2) 通解通解式式(a) 的齐次方的齐次方程：程：(d)的通解。的通解。由微分方程由微分方程实际，必存在一函，必存在一函数数 (x,y)，使得，使得(i)(j)将式将式 (i)、(j) 代入代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得通解，得通解同理，将式同理，将式(d)第二式改写第二式改写为为(g)(h)比较式比较式( f )与与(h)，有，有也必存在一函数也必存在一函数 B(x,y)，使得，使得由微分方程由微分方程实际，必存在一函，必存在一函数数 (x,y)，使得，使得(k)(2) 通解通解式式(a) 的齐次方的齐次方程：程：(d)的通解：的通解：(k) 对应于平衡

47、微分方程的于平衡微分方程的齐次方程通解。次方程通解。(3) 全解全解取特解取特解为：那么其全解那么其全解为：(26) 常膂力下平衡方程常膂力下平衡方程a的全解。的全解。 由式由式2-26看：不看：不论(x,y)是什么函数，都能是什么函数，都能满足平衡方程。足平衡方程。(x,y) 平面问题的应力函数 Airy 应力函数力函数2.相容方程的相容方程的应力函数表示力函数表示(26)将式将式2-26代入常膂力下的相容方程：代入常膂力下的相容方程：(25)有：有：留意到膂力留意到膂力 X、 Y 为常量，有常量，有将上式展开，有将上式展开，有(27) 应力函数表示的相容方程力函数表示的相容方程给出了出了应

48、力函数力函数满足的条件。足的条件。2.相容方程的应力函数表示相容方程的应力函数表示将式将式2-26代入常膂力下的相容方程：代入常膂力下的相容方程：(25)有：有：留意到膂力留意到膂力 X、 Y 为常量，有为常量，有将上式展开，有将上式展开，有(27) 应力函数表示的相容方程力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。给出了应力函数满足的条件。式式2-27可可简记为：或：或：式中：式中：满足方程足方程(2-27)的函数的函数(x,y) 称称为重重调和函数或双和函数或双调和函数和函数结论结论：应力函数力函数应为一重一重调和函数和函数按按应力求解平面力求解平面问题X = 常量、常量、Y = 常量的

49、常量的归结为：1(27)2然后将然后将 代入式代入式2-26求出应力分量：求出应力分量：先由方程先由方程2-27求出应力函数：求出应力函数：(26)3再让再让 满足应力边境条件和位移单值条件多连体问题。满足应力边境条件和位移单值条件多连体问题。3. 应力函数应力函数 求解方法求解方法(28)无膂力情形无膂力情形3. 应力函数应力函数 求解方法求解方法1逆解法逆解法2半逆解法半逆解法1根据根据问题的条件的条件几何外形、受力特点、几何外形、受力特点、边境条件等，境条件等，假假设各种各种满足相容方程足相容方程2-27的的(x,y) 的方式；的方式；2 主要适用于主要适用于简单边境条件的境条件的问题。

50、然后利用应力分量计算式然后利用应力分量计算式2-26，求出，求出 具有待具有待定系数；定系数；3再利用再利用应力力边境条件式境条件式2-18，来，来调查这些些应力函数力函数(x,y) 对应什么什么样的的边境面力境面力问题，从而得知所，从而得知所设应力函数力函数(x,y) 可以求可以求解什么解什么问题。2半逆解法半逆解法1根据根据问题的条件的条件几何外形、受力特点、几何外形、受力特点、边境条件等，境条件等，假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数方式的某种函数方式 ；2根据根据 与与应力函数力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求，求出出(x,y) 的方式；的方式；3最后利用式最后利用式2-2

51、6计算出计算出 并让其满足边境条件和并让其满足边境条件和位移单值条件。位移单值条件。 半逆解法的数学根底：数理方程中分半逆解法的数学根底：数理方程中分别变量法。量法。本本 章章 小小 结1. 两两类平面平面问题： 平面平面应力力问题；平面；平面应变问题。两两类平面平面问题中根本方程的异同中根本方程的异同2. 平面平面问题的根本方程：的根本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、平衡方程、几何方程、物理方程、边境条件位移、境条件位移、应力。力。几何特点、受力特点、几何特点、受力特点、应力或力或应变特点特点3. 平面平面问题的求解的求解1按位移求解平面按位移求解平面问题2按按应力求解平面力求解平面问题

52、根本方程：根本方程：1用位移表示的平衡微分方程；用位移表示的平衡微分方程；2用位移表示的用位移表示的应力力边境条件；境条件；3边境条件：境条件：应力、位移力、位移边境条件。境条件。相容方程形相容方程形变协调方程：方程：应变表示方式、表示方式、应力表力表示方式、示方式、应力函数表示。力函数表示。2按应力求解平面问题按应力求解平面问题相容方程形变协调方程：相容方程形变协调方程：应变表示方式、应力表应变表示方式、应力表示方式、应力函数表示。示方式、应力函数表示。应力函数表示的力函数表示的应力分量表达式：力分量表达式：(2-26)常膂力下的常膂力下的简化；化；应力函数的求解方法：力函数的求解方法： 逆

53、解法、半逆解法。逆解法、半逆解法。按按应力求解平面力求解平面问题的根本步的根本步骤：1(27)2然后将然后将 代入式代入式2-26求出应力分量：求出应力分量：先由方程先由方程2-27求出应力函数：求出应力函数：(26)3再让再让 满足应力边境条件和位移单值条件多连体问题。满足应力边境条件和位移单值条件多连体问题。按按应力求解平面力求解平面问题的根本步的根本步骤：4. 应力力边境条件的列写及圣境条件的列写及圣维南原理的运用南原理的运用.5. 恣意斜面上恣意斜面上应力、主力、主应力、主方向；恣意方向正力、主方向；恣意方向正应变的的计算。算。6. 恣意斜面上恣意斜面上线应变、变形后两形后两线段段夹角

54、改角改动量的量的计算。算。图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，假设梁的正应力由图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，假设梁的正应力由资料力学公式给出资料力学公式给出 ，试由平衡微分方程求出，试由平衡微分方程求出 ，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。 补充题补充题作作 业业题题2将平面应变问题的物理方程将平面应变问题的物理方程16，变换为用应变表示应力方式。变换为用应变表示应力方式。作业：作业：xy用用120应变花花测得构件外表得构件外表应变：求该点的应变分量求该点的应变分量:题题1试写出图示三角形悬臂梁的边境条件。试写出图示三角形悬臂梁的边境条件

55、。题题3题题4图示楔形体，试写出其边境条件。图示楔形体，试写出其边境条件。题题3图图题题4图图12下面给出平面应力问题单连通域的应力场和应变场，试分别判别下面给出平面应力问题单连通域的应力场和应变场，试分别判别它们能否为能够的应力场与应变场不计膂力。它们能否为能够的应力场与应变场不计膂力。补充题补充题1.作作 业业2.试用圣维南原理写出梁固定端的试用圣维南原理写出梁固定端的应力边境条件。应力边境条件。lhhyx题题1图示楔形体，试写出其边境条件。图示楔形体，试写出其边境条件。题题2将平面应变问题的物理方程将平面应变问题的物理方程16，变换为用应变表示应力方式。变换为用应变表示应力方式。作业：作业：xy用用120应变花花测得构件外表得构件外表应变：求该点的应变分量求该点的应变分量:题题3题题4试用圣维南原理写出梁固定端的试用圣维南原理写出梁固定端的应力边境条件。应力边境条件。lhhyx