《高考数学复习 第八章 圆锥曲线方程85轨迹问题课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习 第八章 圆锥曲线方程85轨迹问题课件（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基础知识一、求动点的轨迹方程的一般步骤：1建系 ；2设点 ；3列式 ；4代换 ；5证明 建立适当的坐标系设轨迹上的任一点P(x，y)列出动点P所满足的关系式 依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简 证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程二、常见的轨迹1在平面内，到两定点的距离相等的点的轨迹是2平面内到角两边距离相等的点的轨迹是3平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线这个角的平分线定点为圆心，以定长为半径的圆以4平面内到定点的距离与到定直线距离之比等于常数的点的轨迹是当常数大于1时，是双曲线；当常数等于1时，是；当常数大于0而小于1时
2、，是定点和定直线分别是圆锥曲线的和5平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是圆锥曲线抛物线椭圆焦点相应的准线与这条直线平行的两条直线三、求轨迹的常用方法1直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法. 用直接法求动点轨迹的方程一般有建系、设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略. 2定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程. 3代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，
3、y)却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x，y表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法. 4参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程. 5几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程. 6交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得
4、到轨迹方程. 易错知识一、概念不清产生的混淆1方程 表示的轨迹为_答案：直线2设点F(2,0)，动点P到y轴的距离为d，则满足条件|PF|d2的点P的轨迹方程是_解题思路：解法一：由题意|PF|2d.当P在y轴右侧时，可转化为|PF|x2，即P到定点F的距离等于到定直线l：x2的距离则P在抛物线y28x上；当P在y轴左侧时|PF|2x.即P到F(2,0)的距离等于P到直线x2的距离从而有y0(x0)P点的轨迹方程是y28x和y0(x0)解法二：由|PF|2d及P(x，y)，即(x2)2y2(2|x|)2.y24|x|4x.当x0时，y28x，当x0时，y20即y0.故所求轨迹方程为y28x和y
5、0(x0)失分警示：本题根据题意可直接得到定点的距离与到定直线的距离相等，而确定P点的轨迹为抛物线，从而忽略了P点到y轴的距离应为|x|，而不是x，极易漏掉y0(x0)这一部分而出错答案：y28x或y0(x0)二、思维定势产生的混淆3平面上一动点到定点(1,2)与定直线xy10的距离比为一常数的轨迹方程为_答案：x1或y2回归教材1到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是()AyxByxCy|x| Dx|y|解析：设动点P(x，y)，则P到x，y轴的距离分别为|y|和|x|.|y|x|，化简得yx，故选B.答案：B2(2009河南驻马店二模)已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点
6、，满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：考查轨迹方程的求法以及向量的模、数量积的运算将动点P(x，y)的坐标分别代入到已知方程中答案：B总结评述：本题所采用的求轨迹的方法可称为直接代入法步骤是：设点、代入、化简3与定直线3x4y10的距离恒为2的动点P的轨迹方程是()A3x4y110B3x4y90C3x4y 0D3x4y90或3x4y110解析：在轨迹上任意取一点P(x，y)3x4y110或3x4y90.故选D.答案：D4(教材改编题)设A(a,0)，B(a,0)，若动点M满足kMAkMB1，是动点M的轨迹方程是_解析：设M(x，y)，k
7、MA、kMB存在，xa，kMAkMB1，x2y2a2，动点M的轨迹方程为x2y2a2(xa)答案：x2y2a2(xa)5已知动圆P与定圆C：(x2)2y21相外切，与定直线l：x1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是_解析：设P(x，y)，动圆P在直线x1的左侧，其半径等于1x，则|PC|1x12x. y28x.答案：y28x【例1】(2009北京东城)已知Q是双曲线x2y21上任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程探究通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟
8、练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理分析充分利用角平分线的几何性质、结合双曲线的第一定义探索点N的几何性质解答延长F1N交QF2于MQN平分F1QF2，QNF1MN为F1M的中点，且|QF1|QM|由双曲线定义知|QF1|QF2|2|QM|QF2|2，即|MF2|2O为F1F2的中点，|ON|1点N的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆点N的轨迹方程为x2y21.(2006湖北，7)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若则P点的轨迹方程是()A3x21(x0，
9、y0)B3x21(x0，y0)C.x23y21(x0，y0)D.x23y21(x0，y0)命题意图：本题综合考查了向量、圆锥曲线方程、轨迹方程、点的对称，题目虽小，但含“金”量较重答案：D解析：设A(a,0)(a0)，B(0，b)(b0)点Q与点P关于y轴对称，Q(x，y)即(x，yb)2(ax，y)在ABC中，已知A(4,0)、B(4,0)且sinAsinBsinC，则C的轨迹方程为()答案：B解析：由sinAsinBsinC，得abc4|AB|8.【例2】如图从双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N. 求线段QN的中点P的轨迹方程分析因动点P随动点Q的运动而运动，而动点Q在已
10、知双曲线上，故可用代入法求解. 从寻求Q点的坐标与P点的坐标之间的关系入手解答设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则N点的坐标为(2xx1,2yy1). N在直线xy2上，2xx12yy12，又PQ垂直于直线xy2， 即xyy1x10.、联立解得代入，得动点P的轨迹方程是2x22y22x2y10.自抛物线y22x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连结顶点O与P的直线和连结焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程解析：设P(x1，y1)，R(x，y)，则OP的方程为：FQ的方程为：由得x1代入y22x可得y22x2x. 总结评述：代入法又称相关点法，其特点是；动点M(
11、x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x，y)的坐标，可先用x，y来表示x，y，再代入曲线C的方程即得点M的轨迹方程在某些较复杂的探求轨迹方程的问题中，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.【例3】(2004辽宁)设椭圆方程为x21，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B，O是坐标原点，点P满足点N的坐标为 当l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2) 的最大值与最小值解析：(1)直线l过点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为ykx1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题设可得(x1，y1)、(x2，y2)是方程组消
12、去k得，4x2y2y0.当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0,0)，也满足，故动点P的轨迹方程为4x2y2y0.过抛物线y22x的顶点作互相垂直的两弦OA，OB.(1)求AB中点的轨迹方程；(2)证明：AB与x轴的交点为定点解析：(1)设直线OA：ykx，则设AB的中点坐标为(x，y)，此即为所求的轨迹方程(2)由(1)知，直线AB的方程为令y0，得它与x轴的交点为(2,0)，其坐标与k无关，故为定点1要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围2“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性 请同学们认真完成课后强化作业
