《《佳逼近元的存在》PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《佳逼近元的存在》PPT课件（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、一、 最佳逼近元的存在性最佳逼近元的存在性定理定理5.3.1 5.3.1 对任意的对任意的f(x)Cf(x)Ca,ba,b, ,在在P Pn na,ba,b中中都存在对都存在对f(x)f(x)的最佳一致逼近元的最佳一致逼近元, ,记为记为p p* *n n(x),(x),即即 f(x)-p f(x)-p* *n n(x)(x)=inff(x)-p=inff(x)-pn n(x)(x) 成立成立. .证明略证明略2 最佳一致逼近元的充要条件 (ChebyshevChebyshev定理）定理）p pn n* *(x)P(x)Pa,ba,b对对f(x)Cf(x)Ca,ba,b的最佳一致逼近元的充
2、要条件的最佳一致逼近元的充要条件是误差曲线函数是误差曲线函数f(x)- pf(x)- pn n* *(x)(x)在区间在区间a,ba,b上存在一个至少由上存在一个至少由n+2n+2个点组成的交错点组个点组成的交错点组. . 即存在点集即存在点集 a t1 tn+2 b 使得使得 证明充分性用反证法用反证法. . 设设f(x)- f(x)- p pn n* *(x)(x)在在a,ba,b上存在一个上存在一个至少由至少由n+2n+2个点组成的交错点组，但个点组成的交错点组，但p pn n* *(x)(x)不是不是最佳一致逼近元最佳一致逼近元. .不妨设不妨设P Pn na,ba,b中的元素中的元素
3、q qn n(x)(x)为最佳一致逼为最佳一致逼近元，即近元，即 f(x)-q f(x)-qn n(x)(x)f(x)-f(x)-p pn n* *(x)(x). (4). (4)令令Q(x)=Q(x)=p pn n* *(x)(x)- q- qn n(x)(x) = =f(x)-qf(x)-qn n(x)(x)- -f(x)-f(x)-p pn n* *(x)(x)记记xx1 1* *, , x x2 2* *, , x xn+2n+2* * 为误差曲线函数为误差曲线函数f(x)- f(x)- p pn n* *(x)(x)在在a,ba,b上的交错点组，上的交错点组，由由(4)(4)式可知式
4、可知n n次多项式次多项式Q(x)Q(x)在点集在点集 x x1 1* *, , x x2 2* *, , x xn+2n+2* * 上的符号完全由上的符号完全由f(x)- f(x)- p pn n* *(x)(x)在这些点上的符号所决定，在这些点上的符号所决定， x x1 1* *, , x x2 2* *, , x xn+2n+2* * 为为f(x)-f(x)-p pn n* *(x)(x)的交错的交错点组，即点组，即f(x)- f(x)- p pn n* *(x)(x) 在这在这n+2n+2个点上正负个点上正负( (或负正或负正) )相间至少相间至少n+1n+1次，从而至少次，从而至少n
5、+1n+1次次改变符号，改变符号，故故Q(x)Q(x)也至少也至少n+1n+1次改变符号，次改变符号，说明说明n n次多项式次多项式Q(x)Q(x)至少在至少在a,ba,b上有上有n+1n+1个根，矛盾个根，矛盾. . 即必有即必有f(x)- f(x)- p pn n* *( (x)x)f(x)-qf(x)-qn n(x(x). .三、三、 最佳一致逼近元的惟一性最佳一致逼近元的惟一性在在P Pn na,ba,b中中, ,若存在对函数若存在对函数f(x)Cf(x)Ca,ba,b的最佳一致逼近元，则的最佳一致逼近元，则惟一惟一. .证明：证明：反证，设有反证，设有2 2个最佳一致逼近元，分别是个
6、最佳一致逼近元，分别是p pn n* * (x)(x) 和和 q qn n(x)(x) 。则它们的平均函数则它们的平均函数 也是一也是一个个最佳一致逼近元最佳一致逼近元。现设误差曲线函数现设误差曲线函数f(x)-f(x)- p pn n(x)(x)在区间在区间a,ba,b上的一个交错点组为上的一个交错点组为xx1 1, , x x2 2, , x xn+2n+2 ，为此，为此E En n=|f(x=|f(xk k)-)- p pn n(x(xk k)|)| =1/2|(f(x =1/2|(f(xk k)-)-p pn n* *(x(xk k)+(f(x)+(f(xk k)-q)-qn n(x(
7、xk k) ) |.) ) |.若对某一个若对某一个k,1kn+2,f(xk,1kn+2,f(xk k)-)-p pn n* *(x(xk k)f(x)f(xk k)-q)-qn n(x(xk k) )那么上式两个差中至少有一个达不到那么上式两个差中至少有一个达不到E En n或或-E-En n，从而，从而E En n|f(x|f(xk k)-)- p pn n(x(xk k)|)| 1/2 (| f(x 1/2 (| f(xk k)-)-p pn n* *(x(xk k)|)+|f(x)|)+|f(xk k)-q)-qn n(x(xk k)|)|) 1/2(f(x)- 1/2(f(x)- p
8、 pn n* *(x)(x)+f(x)-q+f(x)-qn n(x)(x) ) 1/2(E 1/2(En n+E+En n)=E)=En n. . 这是不可能的，因此只有：这是不可能的，因此只有： f(x f(xk k)-)-p pn n* *(x(xk k)= f(x)= f(xk k)-q)-qn n(x(xk k), k=1,2), k=1,2，n+2 n+2 即即p pn n* *(x(xk k)=q)=qn n(x(xk k), k=1,2,), k=1,2,，n+2.n+2. 而而p pn n* *(x(xk k),q),qn n(x(xk k)P)Pn na,ba,b，故必有，故
9、必有p pn n(x)=q(x)=qn n(x).(x).（2）所求的逼近多项式为低次多项式关于交错点组的定理 设设p pn n* *(x)P(x)Pn na,ba,b为对为对f(x)Cf(x)Ca,ba,b的最佳一致逼近元的最佳一致逼近元. . 若若f f(n+1)(n+1)(x)(x)在区间在区间a,ba,b上不变号，则上不变号，则x=ax=a和和b b为误差曲线函数为误差曲线函数f(x)-pf(x)-pn n(x)(x)在区间在区间a,ba,b上交错点组中的点上交错点组中的点. .证明：证明：用反证法用反证法. . 若点若点a (a (点点b b类似类似) )不属于交错点组，不属于交错点
10、组，那么在区间那么在区间(a,b)(a,b)内至少存在内至少存在n+1n+1个点属于交错点组个点属于交错点组. . 即区间即区间(a,b)(a,b)内内n+1n+1个交错点上，个交错点上， f(x)- f(x)-p pn n* *(x) (x) 的一的一阶导数等于零阶导数等于零. . 这样，由这样，由RolleRolle定理便可推得在定理便可推得在(a,b)(a,b)内至少存在一点内至少存在一点, ,使得使得f f (n+1)(n+1) ( ( ) ) =0.=0.这与这与f f(n+1)(n+1)(x)(x)在在a,ba,b上不变号矛盾上不变号矛盾若若f(x)f(x)足够光滑，由交错点组的定义，可以推出足够光滑，由交错点组的定义，可以推出(a,b)(a,b)内的交错点必为误差曲线函数内的交错点必为误差曲线函数f(x)-f(x)-p pn n* *(x)(x)的驻点的驻点故点故点x=ax=a属于交错点组属于交错点组. .
