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1、第二讲基本初等函数的图象与性质第二讲基本初等函数的图象与性质1.求函数的定义域主要考虑以下几点：分母不能为0；偶次根号下的式子不小于0；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；a0中a不等于0；注意实际问题中变量的范围等 2.函数的单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等判断函数的单调性的主要方法(研究函数的单调性应结合函数的单调区间，单调区间应是定义域的子集)：(1)定义法，即作差法(主要步骤为：取值作差变形判符号下结论)；(2)图象法；(3)单调性的运算性质(实质上是不等式的性质)；(4)复合函数的单调性判断法则；(5)导数法3判断一个函
2、数的奇偶性时，要注意函数的定义域是否关于原点对称若定义域关于原点不对称，那么该函数一定不具有奇偶性若奇函数yf(x)在x0处有定义，则f(0)0，灵活使用这一结论可以简化运算过程若函数f(x)是偶函数，则f(x)f(|x|)，利用这个性质，可以避免一些分类讨论，有利于灵活利用函数的单调性4解决与分段函数有关的问题，最重要的就是掌握逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性等)的一般方法；解决与抽象函数有关的问题时，最重要的是掌握赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法5函数的周期性的定义及常用结论一般地，对于函数f(x
3、)，如果对于定义域中的任意一个x的值，若f(xT)f(x)(T0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期；若f(xa)f(xb)(ab)，则f(x)是周期函数，|ba|是它的一个周期；若f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；7对称性与周期性之间的关系周期性与对称性是相互联系、紧密相关的一般地，若f(x)的图象有两条对称轴xa和xb(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|是它的一个周期；若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|是它的一个周期；Am1，n1Bm1，n2Cm2，n1 Dm3，n1解析由于
4、本题是选择题，可以用代入法来做，由图得，原函数的极大值点小于0.5. 答案答案B解析：若0，则f()24，2.若0，则f()4，4.答案：B答案答案1变式练习：考点三：函数的奇偶性考点四:函数的周期性解析：令xy0f(0)0，令xy1f(2)2f(1)26，令x2，y1f(3)f(2)f(1)412，再令x3，y3f(0)f(33)f(3)f(3)180f(3)18f(3)6.答案：6解析：211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有x0且x80且x(x8)9，解得8x9.故选B.答案：B怎样利用周期法解题有些
5、数学问题，表面上看与周期毫无关系，但实际上隐含着周期性，一旦提示了周期，问题便迎刃而解下面举例说明如下【例1】设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)等于()A0.5 B 0.5C1.5 D1.5解析f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)f(x)是以4为一个周期的函数由于f(x)是奇函数，且0x1时，f(x)x，可得f(7.5)f(240.5)f(0.5)f(0.5)0.5，故选B.答案BD答案：答案：D2(2011安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()A3 B1C1 D3解析：由已知：f(1)f(1)，f(1)f(1)而f(1)2(1)2(1)3，f(1)3.答案：A答案：答案：A答案：答案：BBB
