《数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理 苏教版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理 苏教版选修2-1（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理学习目标1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.了解共面向量的定义，并能从平面向量中两向量共线的充要条件类比得到空间向量共面的充要条件.4.理解共面向量定理及其应用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一空间向量的概念思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.答案梳理梳理(1)在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 .空间向量也用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模，向量a的起点是A，
2、终点是B，则向量a也可记作 ，其模记为 .大小方向长度模长度(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做 ，记为0单位向量 的向量称为单位向量相反向量与向量a长度 而方向 的向量，称为a的相反向量，记为a相等向量方向 且模 的向量称为相等向量， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量零向量模为1相等相反相同相等同向等长知识点二空间向量及其线性运算acabca2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：ab ；(ab)c ；(ab) (R).baa(bc)ab知识点三共线向量(或平行向量)1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做共线向量或平行
3、向量.若向量a与b平行，记作 ，规定 与任意向量共线.2.共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使 .平行重合ab零向量ba知识点四共面向量及共面向量定理思考1当a，b共线时，共面向量定理的理论一定成立吗？不成立.当p与a，b都共线时，存在不惟一的实数组(x，y)使pxayb成立.当p与a，b不共线时，不存在(x，y)使pxayb成立.即当a，b共线时，共面向量定理的结论不成立.答案思考2向量a，b，c共面，表示三个向量的有向线段所在的直线都共面吗？不一定.若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面内，它们所在的直线平行、相交
4、、异面都有可能.答案共面向量及共面向量定理梳理梳理共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得_pxayb题型探究类型一空间向量的概念及应用例例1如图所示，以长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与 相等的所有向量；解答(2)试写出 的相反向量；解答(3)若ABAD2，AA11，求向量 的模.解答引申探究引申探究如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？解答试写出模为 的
5、所有向量；解答试写出与向量 相等的所有向量；解答试写出向量 的所有相反向量.解答在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的命题的序号为_.答案解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确；若空间向量a，b满足|a|b|，则不一定能判
6、断出ab，故不正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有 成立，故正确；显然正确.类型二空间向量的线性运算例例2 如图，已知长方体ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.解答解答引申探究引申探究解答结合加法运算反思与感悟化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.证明类型三向量共线定理的理解与应用解答求证：E，F，B三点共线.反思与感悟(1)判定共线：
7、判定两向量a，b(b0)是否共线，即判断是否存在实数，使ab.(2)求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若ab，则ab(R).(3)判定或证明三点(如P，A，B)是否共线：跟踪训练跟踪训练3如图，在四面体ABCD中，点E，F分别是棱AD，BC的中点，解答类型四共面向量定理及应用证明例例4如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心，应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面.证明引申探究引申探究本例中增加以下条件：若点O是AC与BD的交点，点M为PC的中点，求证： 共面.反思与感悟
8、向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.解答当堂训练根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：2233445511答案解析422334455110答案解析2233445511答案解析84.以下命题：两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；共线的两个向量互相平行；共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.其中正确命题的序号是_.2233445511根据共面与共线向量的定义判定，易知正
9、确.答案解析22334455115.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面.解答2233445511解答规律与方法1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.2.证明空间向量共面或四点共面的方法(1)利用共面向量证明.(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有 且xyz1成立，则P，A，B，C四点共面.(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.本课结束
