《23建立一次函数模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《23建立一次函数模型（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、建立一次函数模型建立一次函数模型本课内容本节内容2.31. 温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度.水的水的沸点温度是沸点温度是100，用华氏温度度量为，用华氏温度度量为212；水的冰点温度是水的冰点温度是0，用华氏温度度量为，用华氏温度度量为32 .已知摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次已知摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，你能不能想出办法，方便地把华氏函数关系，你能不能想出办法，方便地把华氏温度换算成摄氏温度？温度换算成摄氏温度？ 如果能求出换算公式就如果能求出换算公式就好了！好了！探究探究 用用C, ,F分别表示摄氏温度与华氏温度，由于分别
2、表示摄氏温度与华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，因此可以设关系，因此可以设 C = kF + b 如果能把系数如果能把系数k，b的值求出来，那么换算的值求出来，那么换算公式就求出来了公式就求出来了.结论结论我们把我们把k，b叫作叫作待定系数待定系数. 从七年级下册的第从七年级下册的第2 2章章“二元一次方程组二元一次方程组”可知，求两个未知数需要列两个方程可知，求两个未知数需要列两个方程. . C = kF + b 由已知条件，得由已知条件，得212k + b = 100，32k + b = 0.- -，得得 180k = 10
3、0.解得解得代入代入式式，得得 解得解得因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为( (B) ) 某地某地6月月8日的最高气温为日的最高气温为100华氏度，换算成华氏度，换算成摄氏温度是多少？摄氏温度是多少？说一说说一说10037.8 某地某地12月月18日的最高气温为日的最高气温为56华氏度，相当于华氏度，相当于多少摄氏度？多少摄氏度？13.3 在上述例子中，由于我们求出了摄氏温度与在上述例子中，由于我们求出了摄氏温度与华氏温度的函数关系式华氏温度的函数关系式( (B) )，因此可以方便地把任，因此可以方便地把任何一个华氏温度换算成摄氏温度何一个华氏温度换算成摄
4、氏温度.小提示结论结论 像上述例子那样，求出表示某个客观像上述例子那样，求出表示某个客观现象的现象的函数函数，称为建立函数模型，称为建立函数模型. 有了函数模型，就可以方便地解决这个客有了函数模型，就可以方便地解决这个客观现象中的数量关系问题观现象中的数量关系问题. . C = kF + b结论结论 像上述例子那样，通过确定函数模型，像上述例子那样，通过确定函数模型，然后列方程组求待定系数，从而求出函数的然后列方程组求待定系数，从而求出函数的解析式，这种方法称为解析式，这种方法称为待定系数法待定系数法. C = kF + b 由于一次函数由于一次函数y=kx+b中有中有k和和b两个待定系数，两
5、个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以方程组（以k和和b为未知数），解方程组后就能写出为未知数），解方程组后就能写出一次函数的解析式一次函数的解析式.函数解析式函数解析式y=kx+b满足条件的两点满足条件的两点( (x1, ,y1),(),(x2, ,y2) )一次函数的图象一次函数的图象直线直线l选取选取解出解出画出画出选取选取例例1 已知一次函数的图象经过两点已知一次函数的图象经过两点P( (1，3) )， Q( (2，0) )，求这个函数的解析式，求这个函数的解析式.举举例例解解设设y=kx+b，由于两点，由于两点P
6、，Q都在这个都在这个函数的图象上函数的图象上.因此因此k + b = 3，2k + b = 0.解得解得 k=- -3，b=6.因此所求一次函数的解析式为因此所求一次函数的解析式为y = - -3x + 6.练习练习1. 把温度把温度84华氏度换算成摄氏温度华氏度换算成摄氏温度.解解由摄氏温度与华氏温度的函数关系得由摄氏温度与华氏温度的函数关系得解得解得 C28.9( () )因此，把温度因此，把温度84华氏度换算成摄氏温华氏度换算成摄氏温度为度为28.9度度.2. 已知正比例函数的图象经过点已知正比例函数的图象经过点M( (- -1，5) )，求，求这个函数的解析式这个函数的解析式.解解设设
7、y=kx，由于点，由于点M在这个函数的图象上在这个函数的图象上.因此因此- -k =5，解得解得 k=- -5.因此所求函数的解析式为因此所求函数的解析式为y = - -5x .3. 已知一次函数的图象经过两点已知一次函数的图象经过两点A( (- -1，3) )，B( (2，- -5) )，求这个函数的解析式，求这个函数的解析式. .解解设设y=kx+b，由于两点，由于两点A，B都在这个都在这个函数的图象上函数的图象上.因此因此- -k + b = 3，2k + b = - -5.因此所求一次函数的解析式为因此所求一次函数的解析式为解得解得 k= ，b= .y = x + .动脑筋动脑筋1.
8、国际奥林匹克运动会早期，男子撑杆跳高的国际奥林匹克运动会早期，男子撑杆跳高的纪录近似值由下表给出：纪录近似值由下表给出：年年 份份190019041908高度高度( (m) )3.333.533.73年年 份份190019041908高度高度( (m) )3.333.533.73 观察这个表中第二行的数据，可以为奥运会观察这个表中第二行的数据，可以为奥运会的撑杆跳高纪录与时间的关系建立函数模型吗？的撑杆跳高纪录与时间的关系建立函数模型吗？ 上表中每一届比上一届的上表中每一届比上一届的纪录提高了纪录提高了0.2m，可以试着建，可以试着建立一次函数的模型立一次函数的模型. 用用t表示从表示从190
9、0年起增加的年份，则在奥运会年起增加的年份，则在奥运会早期，男子撑杆跳高的纪录早期，男子撑杆跳高的纪录y( (m) )与与t的函数关系式的函数关系式为为 y = kt + b( (C) ) 由于由于t=0（即（即1900年）时，撑杆跳高的纪录为年）时，撑杆跳高的纪录为3.33m，t=4（即（即1904年）时，纪录为年）时，纪录为3.53m，因此，因此 b = 3.33，4k + b =3.53.把把 代入代入 ，得得 4k +3.33=3.53.解得解得 k=0.05公式公式( (D) )就是奥运会早期男子撑杆跳高纪录就是奥运会早期男子撑杆跳高纪录y与时与时间间t的函数关系式的函数关系式.于是
10、于是 y=0.05t+3.33.( (D) ) 能够利用上面得出的公式能够利用上面得出的公式( (D) )预测预测1912年奥运年奥运会的男子撑杆跳高纪录吗？会的男子撑杆跳高纪录吗？ y=0.0512+3.33=3.93( (m) ).y=0.05t+3.33.( (D) ) 1912年奥运会男子撑杆跳高纪录的确约为年奥运会男子撑杆跳高纪录的确约为3.93m.这表明用所建立的函数模型，在已知数据邻近作预测，这表明用所建立的函数模型，在已知数据邻近作预测，是与实际事实比较吻合的是与实际事实比较吻合的. 能够利用公式能够利用公式( (D) )预测预测20世纪世纪80年代，譬如年代，譬如1988年，
11、奥运会男子撑杆跳高纪录吗？年，奥运会男子撑杆跳高纪录吗？ y=0.0588+3.33=7.73( (m) ). 实际上，实际上，1988年奥运会的撑杆跳高纪录是年奥运会的撑杆跳高纪录是6.06m，远低于，远低于7.73m.这表明用所建立的函数模这表明用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的型远离已知数据作预测是不可靠的.结论结论练习练习1. 与同桌同学讨论，为什么用公式与同桌同学讨论，为什么用公式( (D) )预测的预测的1988年奥运会男子撑杆跳高纪录高于实际纪年奥运会男子撑杆跳高纪录高于实际纪录？录？解解远离已知数据作预测是不可靠的远离已知数据作预测是不可靠的.2. 小明在练习小明在
12、练习100m短跑，今年短跑，今年1月至月至4月份的月份的100m短跑成绩如下表所示：短跑成绩如下表所示：月份月份1234成绩成绩( (s) )15.615.415.215（1）你能为小明的）你能为小明的100m短跑成绩与时间的关系短跑成绩与时间的关系 建立函数模型吗？建立函数模型吗？解解y = - -0.2x +15.8月份月份1234成绩成绩( (s) )15.615.415.215（2）用所求出的函数解析式预测小明今年）用所求出的函数解析式预测小明今年6月份月份 的的100m短跑成绩短跑成绩.解解y = 14.6( (s) )（3）能用所求出的解析式预测小明明年）能用所求出的解析式预测小明
13、明年12月份月份 的的100m短跑成绩吗？短跑成绩吗？解解不能不能 某一天，小明和小亮同时从家里出发去县城，某一天，小明和小亮同时从家里出发去县城，速度分别为速度分别为2.5km/h，4km/h.小亮家离县城小亮家离县城25km，小明家在小亮去县城的路上，离小亮家小明家在小亮去县城的路上，离小亮家5km.探究探究（1）你能分别写出小明、小亮离小亮家的距离）你能分别写出小明、小亮离小亮家的距离 y( (km) )与行走时间与行走时间t( (h) )的函数关系式吗？的函数关系式吗？小明离小亮家的距离小明离小亮家的距离y= . .2.5t + 5小亮离自己家的距离小亮离自己家的距离 y = .4 t
14、（2）在同一个直角坐标系中，分别画出上述两）在同一个直角坐标系中，分别画出上述两 个函数的图象，如图个函数的图象，如图2-17所示所示.y=4t.y=2.5t+5.P（3）你能从图）你能从图2-17看出，在出发后几个小时小亮看出，在出发后几个小时小亮 追上小明吗？追上小明吗？图图2-17 两条射线的交点两条射线的交点P的横坐标约为的横坐标约为3.3，因此在出发后约因此在出发后约3.3h小亮追上了小明小亮追上了小明.（4）你能从图）你能从图2-17看出，谁先到达县城吗？看出，谁先到达县城吗？图图2-17 过点过点M( (0，25) )作射作射线线l与横线平行，它先与与横线平行，它先与射线射线y=
15、4t相交，这表明相交，这表明小亮先到达县城小亮先到达县城. 在上面的第在上面的第( (3) )个问题中，小亮追上小明的个问题中，小亮追上小明的时间是图时间是图2- -17中两条射线中两条射线y=2.5t+5与与y=4t的交点的交点P的横坐标的横坐标.而交点而交点P的坐标是下述二元一次方程组的坐标是下述二元一次方程组的解：的解：y = 2.5 t + 5，y = 4t .结论结论 这种解二元一次方程组的方法叫作这种解二元一次方程组的方法叫作图象法图象法. 上述例子就是通过在同一个直角坐标系中，分上述例子就是通过在同一个直角坐标系中，分别画出别画出y=2.5t+5与与y=4t的图象，求出交点坐标，
16、从而的图象，求出交点坐标，从而得出二元一次方程组的近似解得出二元一次方程组的近似解.例例2 用图象法求下述二元一次方程组的近似解用图象法求下述二元一次方程组的近似解.举举例例3x + 4y = 7.6，2x + y= 4.4.先移项先移项解解从从得得，从从得得，y=- -2x+4.4. 在同一个直角坐标系里，分别画出函数在同一个直角坐标系里，分别画出函数 y= x+1.9与与y=- -2x+4.4的图象，如图的图象，如图2-18所示所示.它们的交点它们的交点P的坐标的坐标( (2，0.4) )就是原方程组的解就是原方程组的解.图图2-18 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一一般地，每个二元
17、一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线次函数，于是也对应两条直线. 综上所述，一次函数与二元一次方程综上所述，一次函数与二元一次方程( (组组) )有有密切的联系密切的联系.小提示 从从“数数”的角度看，解方程组相当于考虑自的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数是何值；是何值； 从从“形形”的角度看，解方程组相当于确定两的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标条直线交点的坐标.动脑筋动脑筋 既然一次函数与二元一次方程组有密切的既然一次函数与二元一次方程组有密切的联系，那么一次函数与一元一次不等式又有什联
18、系，那么一次函数与一元一次不等式又有什么关系呢？么关系呢？ 任何一个一元一次不等式都能写成任何一个一元一次不等式都能写成ax+b0( (或或0) )的形式，的形式，而此式的左边与一次函数而此式的左边与一次函数y=ax+b一致，所以，我们可以从下一致，所以，我们可以从下面的两种角度来看待面的两种角度来看待“解一元一次不等式解一元一次不等式”的问题：的问题：（1）从函数值的角度看，就是要寻求使一次函数）从函数值的角度看，就是要寻求使一次函数y=ax+b的值的值 大于大于( (或小于或小于) )0的自变量的自变量x的取值范围；的取值范围；（2）从函数图象的角度看，就是确定直线）从函数图象的角度看，就
19、是确定直线y=ax+b在在x轴上轴上( (或或 下下) )方的所有的点的横坐标所构成的集合方的所有的点的横坐标所构成的集合. .例例3 用图象法解不等式：用图象法解不等式：举举例例6x 8 3x + 1.解解方法一方法一 原不等式化为原不等式化为3x- -90，画出直线，画出直线y=3x- -9.显而易见，当显而易见，当x3时，时，y=3x- -90，所以不等式的解集为所以不等式的解集为x3.图图2-19方法二方法二 将原不等式的两边分别看作两个一次函将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线数，画出直线y=6x- -8与直线与直线y=3x+1. 可以看出，它们的交点的横坐标为可以看出，它
20、们的交点的横坐标为3，当，当x3时，对于同一个时，对于同一个x，直线，直线y=6x- -8上的点总在直线上的点总在直线y=3x+1上相应点的下方，这时上相应点的下方，这时6x- -83x+1，所以不等式的解集为所以不等式的解集为x3.图图2-20 虽然像上面那样用一次函数图象来解方程组虽然像上面那样用一次函数图象来解方程组或不等式未必简单，但是从函数角度来看总是能或不等式未必简单，但是从函数角度来看总是能发现一次函数、二元一次方程组、一元一次不等发现一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式之间的联系；式之间的联系；小提示 能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解能直观地看到怎样用图形来表示方程组
21、的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要对于继续学习数学很重要.练习练习1. 与同桌同学讨论，从图与同桌同学讨论，从图2-17能看出小亮比小能看出小亮比小明提前多少小时到达县城吗？明提前多少小时到达县城吗？解解小亮比小明小亮比小明提前提前1.7小时小时到达县城到达县城.图图2-172. 用图象法求下述二元一次方程组的近似解：用图象法求下述二元一次方程组的近似解：x + 2y = 4，3x - - y= 4 .解解从从得得，从从得得，y=3x- -4.它们的交点它们的交点P的坐的坐标标( (2，1) )是原方程是原方程组的
22、近似解组的近似解.y1O21432- -1- -2- -3- -4xy=3x- -4.3. 用图象法解不等式：用图象法解不等式：3x 8 x + 2.解解原不等式原不等式2x- -100，画出直线，画出直线y=2x- -10.显而易见，当显而易见，当x5时，时，y=2x- -100，所以不等式的解集为所以不等式的解集为x0时，直线时，直线y=kx经过第经过第 象限象限 从左向右上升，即从左向右上升，即y随随x的增大而的增大而 ；原点原点直线直线（2）当）当k0时，函数值随自变量时，函数值随自变量x的增大而的增大而 ；当；当x0时，函数值随自变时，函数值随自变量量x的增大而的增大而 .增大增大减小减小5. 函数关系有几种表示方法？函数关系有几种表示方法？答：有图象法、列表法和公式法答：有图象法、列表法和公式法.6. 举出日常生活中一次函数的例子举出日常生活中一次函数的例子.结结 束束
