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1、拉压杆拉压杆圆轴扭转圆轴扭转附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质几何性质几何性质只与横截面的几何形状和尺寸只与横截面的几何形状和尺寸有关的某些几何量，对杆件的应力和变形起有关的某些几何量，对杆件的应力和变形起着重要作用，如横截面面积着重要作用，如横截面面积A，圆轴横截面，圆轴横截面对圆心的极惯性矩对圆心的极惯性矩IP等。等。材料力学材料力学1梁的几何性质对变形的影响梁的几何性质对变形的影响材料力学材料力学2几何性质对变形的影响几何性质对变形的影响力学响应的决定因素力学响应的决定因素载荷载荷 材料材料 几何性质几何性质材料力学材料力学3一、形一、形 心心dAyzOzyCyCzC-1 1
2、 形心和静矩形心和静矩按合力矩定理理解按合力矩定理理解 均匀薄板的重心均匀薄板的重心材料力学材料力学4为代数量，单位：为代数量，单位：m3或或mm3。横截面对横截面对y轴的静矩轴的静矩横截面对横截面对z轴的静矩轴的静矩二、静矩（一次矩）二、静矩（一次矩）dAyzOzyCyCzC三、静矩与形心坐标的关系三、静矩与形心坐标的关系Sz = AyC Sy = AzC 图形对一个轴的静矩，图形对一个轴的静矩，等于该图形面积与其形心坐等于该图形面积与其形心坐标的乘积。标的乘积。材料力学材料力学5结论结论：图形对其任意形心轴的静矩为零。图形对其任意形心轴的静矩为零。Cyz任意图形当任意图形当 y是形心轴时，
3、是形心轴时，zC=0， Sy = AzC Sy =0Cyz几个特例几个特例形心必位于对称轴上形心必位于对称轴上材料力学材料力学6解：由对称性，解：由对称性， yC = 0 ， Sz = 0求图示半圆的求图示半圆的Sy，Sz 和形心坐标。和形心坐标。OCRyzdAzCzdzy材料力学材料力学7四、组合图形的静矩和形心四、组合图形的静矩和形心组合图形组合图形由几个简单图形组成的图形。由几个简单图形组成的图形。材料力学材料力学8组合图形的静矩和形心有如下公式组合图形的静矩和形心有如下公式材料力学材料力学9yzC2(yC2,zC2)C1(yC1, zC1)C (yC ,zC)组合图形的静矩和形心组合图
4、形的静矩和形心材料力学材料力学10二次矩，正定二次矩，正定单位：单位：m4或或mm4 显然，图形分布距离极点越远，对该极点显然，图形分布距离极点越远，对该极点的极惯性矩就越大。的极惯性矩就越大。面积对极点的二次矩面积对极点的二次矩dAyzOzyr r-2 2 惯性矩惯性矩 惯性半径惯性半径 惯性积惯性积一、极惯性矩一、极惯性矩（与转动惯量类似）（与转动惯量类似）材料力学材料力学11二次矩，正定二次矩，正定单位：单位： m4或或mm4 显然，图形分布距离某轴越远，对该轴的惯显然，图形分布距离某轴越远，对该轴的惯性矩就越大。性矩就越大。面积对面积对y、z轴的惯性矩分别为轴的惯性矩分别为dAyzOz
5、yr r二、惯性矩二、惯性矩材料力学材料力学12由定义知：由定义知：Ip= Iy +Iz图形对任意一对相互垂直轴图形对任意一对相互垂直轴的惯性矩之和，等于它对该的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。两轴交点的极惯性矩。 通过同一点的一对相互垂通过同一点的一对相互垂直轴的惯性矩之和为常量。直轴的惯性矩之和为常量。 组合图形对某轴的惯性矩，等于各组成图形组合图形对某轴的惯性矩，等于各组成图形对同一轴惯性矩的和。对同一轴惯性矩的和。dAyzOzyr r材料力学材料力学13常用图形的惯性矩常用图形的惯性矩bhzyCzydCzydCD材料力学材料力学14单位单位m或或mm定义定义分别称为对分别称为
6、对y轴和轴和对对z轴的惯性半径轴的惯性半径三、惯性半径三、惯性半径bhzyC矩矩 形形zydC圆圆 形形zydCD材料力学材料力学15混合二次矩，代数量混合二次矩，代数量单位：单位：m4或或mm4y, z轴中有一个是轴中有一个是对称轴，则对称轴，则Iyz=0dAyzOzyr r四、惯性积四、惯性积zydAy-ydA材料力学材料力学16dAyzOCabzCyCyz-3 3 平行移轴公式平行移轴公式问题问题 已知对形心轴的惯已知对形心轴的惯性矩和惯性积，性矩和惯性积， 求对所求对所有与该形心轴平行的轴有与该形心轴平行的轴的惯性矩和惯性积的惯性矩和惯性积?材料力学材料力学17dAyzOCabzCyC
7、yz例如，已知例如，已知IyC , yyC ，求，求Iy 。 z = zC + a 图形对某轴的惯性矩，等于对平行于此轴的图形对某轴的惯性矩，等于对平行于此轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与此二轴距离平形心轴的惯性矩，加上图形面积与此二轴距离平方的乘积。方的乘积。材料力学材料力学18惯性积公式中惯性积公式中 a, b 为形心坐标，注意其正负号。为形心坐标，注意其正负号。 记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有平行于此形心轴的各轴的惯性矩。平行于此形心轴的各轴的惯性矩。dAyzOCabzCyCyz一般地，一般地， Iy = IyC + a2A Iz =
8、IzC + b2A Iyz = IyCzC + abA在一组平行的轴中，图形在一组平行的轴中，图形对其形心轴的惯性矩最小。对其形心轴的惯性矩最小。材料力学材料力学19 已知已知C为形心，求为形心，求Izc.解：解： 求形心位置求形心位置 由对称性，形心位于由对称性，形心位于对称轴上。对称轴上。20zCz1z2z202002005555C1C2CyC 求求IzC IzC =（200203/1220020552） （202003/1220020552） = 37. 67106 mm4材料力学材料力学20求图示截面对求图示截面对y轴的惯性矩。轴的惯性矩。yRyRyaayaa材料力学材料力学21一、转
9、轴公式一、转轴公式dAyzOzy-4 4 转轴公式转轴公式坐标原点不变，坐标轴旋转，图坐标原点不变，坐标轴旋转，图形对轴的惯性矩和惯性积的变化。形对轴的惯性矩和惯性积的变化。a a 角：自角：自y轴正向逆时针转动为正。轴正向逆时针转动为正。a ay1z1新旧坐标转换关系：新旧坐标转换关系： y1=ycosa a zsina a z1=zcosa a ysina ay1z1材料力学材料力学22Iy1、 Iz1、 I y1z1 都是都是a a 角的有界周期函数角的有界周期函数 Iy1+Iz1 = Iy Iz = Ip = 常数常数整理后得整理后得材料力学材料力学23二、形心主惯性轴二、形心主惯性轴
10、 形心主惯性矩形心主惯性矩1、主惯性轴、主惯性轴 若若Iy1z1 = 0，则，则 y1， z1 轴称为主惯性轴。其位置可由下式轴称为主惯性轴。其位置可由下式确定：确定：由上式可求出相差由上式可求出相差90o的的a a0，a a0+90o，分别对应于一对相，分别对应于一对相垂直的主轴垂直的主轴y0 、 z0 。主惯性轴主惯性轴的意义的意义对对a a求导求导即即 I y1z1 = 0主惯性轴就是使得图形的主惯性轴就是使得图形的惯性矩取极值时的坐标轴惯性矩取极值时的坐标轴材料力学材料力学242、主惯性矩、主惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩，称主惯性矩。图形对主惯性轴的惯性矩，称主惯性矩。当图形对任意两个
11、坐标轴当图形对任意两个坐标轴y，z的惯性矩的惯性矩Iy, Iz和惯性积和惯性积Iyz已知时，其主惯性矩可由下式计算：已知时，其主惯性矩可由下式计算：主惯性矩就是图形对通过一点的所有坐标轴中主惯性矩就是图形对通过一点的所有坐标轴中惯性矩取极值（最大值或最小值）时的惯性矩。惯性矩取极值（最大值或最小值）时的惯性矩。与主轴方位的对应关系：与主轴方位的对应关系：求求a a0时只取主值时只取主值(|2a a0|p p/2)，若若IyIz，则由，则由y轴转过轴转过a a0到达到达y0轴时，有轴时，有Iy=Imax ；若若Iya)： （A）Iyz （B） Iyz (C) Iyz= （D） Iy=Iz(C)y
12、ABDzOab正确答案是正确答案是材料力学材料力学29等腰直角三角形如图所示，等腰直角三角形如图所示，y、z轴是过斜边中点的轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中任意一对坐标轴（即图中q q为任意值），该图形的为任意值），该图形的: :(1)(1)惯性积惯性积Iyz (2)(2)惯性矩惯性矩I Iy 、 I Iz。答案：答案：0；a4/24； a4/24 zyaaq q材料力学材料力学30 求形心求形心2010020O100求图示截面形心主惯性矩求图示截面形心主惯性矩解解: 建立坐标建立坐标 yOzyzC(yC ,zC)C1C2材料力学材料力学312010020O100yzC(40,30)C1
13、C2 求求 IyC , IzC ,IyCzC过质心过质心C建立坐标系建立坐标系yCCzCyCzC2020材料力学材料力学322010020O100yzC(40,30)C1C2yCzC3030C1在坐标系在坐标系yCCzC中坐标为（中坐标为（- -30,20）; C2在坐标系在坐标系yCCzC中坐标为（中坐标为（30,- -20 ）。）。材料力学材料力学33=6.93106 mm4 1.73106 mm4 求形心主惯性矩求形心主惯性矩材料力学材料力学34形心主惯性轴形心主惯性轴a0 = -33.7yCzC2010020O100yzCC1C2y0z0- -33.70材料力学材料力学35 截面几何性
14、质小结截面几何性质小结1、静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标、静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标 系中的数值有一定的关系。系中的数值有一定的关系。2、 Iz、Iy 恒为正，恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位可正可负，与坐标轴位 置有关。置有关。3、对形心轴静矩为、对形心轴静矩为0，对称轴，对称轴 Iyz = 0，对称轴就是形，对称轴就是形 心主惯性轴。心主惯性轴。4、平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小。、平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小。5、形心主惯性矩一个为最大，一个为最小。、形心主惯性矩一个为最大，一个为最小。材料力学材料力学36本章结束材料力学材料力学37个人观点供参考，欢迎讨论
