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1、第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理第四章第四章根轨迹法根轨迹法4.1 根轨迹的基本概念4.2 绘制典型根轨迹4.3 特殊根轨迹图4.4 用MATLAB绘制根轨迹图4.5 控制系统的根轨迹分析第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及系统性能指标。介绍了如何利用MATLAB绘制系统的根轨迹。内内容容提提要要第第4章章根
2、轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开调整开环增益是改变闭环极点的常用办法环增益是改变闭环极点的常用办法。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v19481948年伊凡思年伊凡思( (W.R.EvansW.R.Evans) )提出了根轨迹法，它不提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程直接求解特征方程, ,而用图解法来
3、确定系统的闭环而用图解法来确定系统的闭环特征根。特征根。 所谓根轨迹，就是系统的某个参数连续变化时，所谓根轨迹，就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹。如果这个参闭环特征根在复平面上画出的轨迹。如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开开环增益找到相应的闭环特征根环增益找到相应的闭环特征根；也可以根据期望；也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。的闭环特征根确定开环增益。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理绘制根轨迹曾经是枯燥繁琐的工作，绘制根轨迹曾经是枯燥繁琐的工作，MATLAB的的出现使这项工
4、作变得轻松愉快，如今在计算机上出现使这项工作变得轻松愉快，如今在计算机上一分钟就能绘制一张精确的根轨迹图。一分钟就能绘制一张精确的根轨迹图。本章注意继承传统根轨迹法中的精华，也注意吸本章注意继承传统根轨迹法中的精华，也注意吸纳根轨迹法的最新进展。具体选材上，侧重根轨纳根轨迹法的最新进展。具体选材上，侧重根轨迹的相角条件和基本规则，主推迹的相角条件和基本规则，主推MATLAB绘制根绘制根轨迹，突出如何有效地运用根轨迹法。轨迹，突出如何有效地运用根轨迹法。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理1.1.1.1.什么是根轨迹什么是根轨迹什么是根轨迹什么是根轨迹v考虑图示负反馈控
5、制系统，设其开环传递函数为：考虑图示负反馈控制系统，设其开环传递函数为： 则该系统的闭环特征方程为：则该系统的闭环特征方程为：4.1根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理当当K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面平面(复平面复平面)上上画出的根轨迹如图所示。画出的根轨迹如图所示。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v当开环增益当开环增益K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面平面(复平面复平面)上移动画上移动画出的轨迹图即根轨迹图。出的轨迹
6、图即根轨迹图。从上述根轨迹图从上述根轨迹图中可以看到：中可以看到：当当0K0.385时有时有两个闭环极点成为共轭复数。两个闭环极点成为共轭复数。只要只要0Km时，开始于时，开始于n个开环极点的个开环极点的n支根轨迹，有支根轨迹，有m支终止支终止于开环零点，有于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。支终止于无穷远处。 因为因为，终点终点就是就是K的点，要的点，要K只有两种情况，一种只有两种情况，一种是是s=zl，另一种是，另一种是s。这时，无穷远处也称为这时，无穷远处也称为“无穷远零无穷远零点点”。 当当nm时，终止于时，终止于m个开环零点个开环零点m支根轨迹，有支根轨迹，有n支来自支来自n个开环
7、极点，有个开环极点，有m-n支来自无穷远处。支来自无穷远处。 必需必需指出，实际系统极少有指出，实际系统极少有nm时，根轨迹一定有时，根轨迹一定有nm支趋向无穷远；当支趋向无穷远；当nm时，时，根轨迹一定有根轨迹一定有mn支来自无穷远。可以证明：支来自无穷远。可以证明：当当nm时，根轨迹存在时，根轨迹存在|nm|支渐近线，且渐近线与实轴支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：的夹角为： 所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为规则规则3：渐近线：渐近线第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中实轴上
8、的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中任一段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，任一段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。那么该段就一定是根轨迹的一部分。 规则规则4：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v该规则用相角条件可以证明，该规则用相角条件可以证明，设设实轴上有一试验点实轴上有一试验点s0。任任一一对对共共轭轭开开环环零零点点或或共共轭轭极极点点（如如p2，p3），与与其其对对应应的的相相角角（如如2，3）之之和和均均为为360，也也就就是是说说任任一一对对共共轭轭开开环环零、
9、极点不影响实轴上试验点零、极点不影响实轴上试验点s0的相角条件。的相角条件。对对于于在在试试验验点点s0左左边边实实轴轴上上的的任任一一开开环环零零、极极点点，与与其其对对应应的相角（如的相角（如4，3）均为均为0。而而试试验验点点s0右右边边实实轴轴上上任任一一开开环环零零、极极点点，与与其其对对应应的的相相角角（如（如1，1，2）均为均为180。 所所以以要要满满足足相相角角条条件件，s0右右边边实实轴轴上上的的开开环环零零、极极点点总总数数必必须是奇数。须是奇数。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点是是临临界界稳稳定定点点。
10、将将s=j代代入入闭闭环环特特征征方方程程，令令特特征征方方程程的的实实部部和和虚虚部部分分别别等等于于零零，可可以以解解出出0和和K0。用劳斯（用劳斯（Roth）判据也可以求得判据也可以求得K0。 规则规则规则规则6 6：根轨迹的分离点根轨迹的分离点根轨迹的分离点根轨迹的分离点v当当从从K零零变变到到无无穷穷大大时时，根根轨轨迹迹可可能能出出现现先先会会合合后后分分离离，这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。 显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环
11、极点终止点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。零点之间也一定有分离点。规则规则5：根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v当当从从K零零变变到到无无穷穷大大时时，根根轨轨迹迹可可能能出出现现先先会会合合后后分分离离，这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。 显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，
12、因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。零点之间也一定有分离点。规则规则6：根轨迹的分离点：根轨迹的分离点第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 当然当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点。对实际系统，依据规则零点）之间可能有分离点。对实际系统，依据规则14基基本就能确定有无分离点。本就能确定有无分离点。基于分离点
13、是重闭环极点的事实可以证明，分离点的座标基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，分离点的座标，是下列代数方程的解：是下列代数方程的解： 必须必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件。也就是说明的是，方程只是必要条件而非充分条件。也就是说，方程的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它说，方程的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。规则。 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v根根轨轨迹迹从从某某个个开开环环极极点点出出发发时时的的切切线线与与实实轴轴的的夹夹角角称称为为出出射射角角；根根轨轨迹迹进进入入某某个个开开环环零零点点的的切切线线与与实实轴轴的的夹夹角
14、角称称为为入射角。用相角条件不难证明，入射角。用相角条件不难证明，根轨迹从开环极点根轨迹从开环极点pi出发的出射角为：出发的出射角为：根轨迹进入某个开环零点根轨迹进入某个开环零点Zl的的入射角为：入射角为：规则规则7：根轨迹的出射角和入射角：根轨迹的出射角和入射角第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v上述规则对绘制根轨迹很有帮助，根据上述规则对绘制根轨迹很有帮助，根据规则规则14就能很快就能很快地画出大致形状，再按规则地画出大致形状，再按规则5求出临界增益求出临界增益K0，这样的根轨，这样的根轨迹图就很有用了，一般称其为概略图。迹图就很有用了，一般称其为概略图。 除非
15、系统阶次很低，否则除非系统阶次很低，否则根据规则根据规则6，求解方程求分离点决，求解方程求分离点决非易事；非易事；根据规则根据规则7，计算出射角和入射角也不简单，并且，计算出射角和入射角也不简单，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。 所以，所以，画根轨迹最有用的是规则画根轨迹最有用的是规则15，如果想得到更精确，如果想得到更精确的根轨迹图，只有使用的根轨迹图，只有使用Matlab。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原
16、理v仍然考虑前面举例的负反馈控制系统，按仍然考虑前面举例的负反馈控制系统，按7 7个基本规则绘个基本规则绘制根轨迹图。制根轨迹图。首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点：首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点： p1=0，p2=-1，p3=-2 将将它们标在复平面上，开环极点的位置用它们标在复平面上，开环极点的位置用表示；开环零表示；开环零点的位置用点的位置用o表示。表示。根据规则根据规则1和规则和规则2，根轨迹将有，根轨迹将有3条分支，分别开始于这条分支，分别开始于这三个开环极点，趋向无穷远。三个开环极点，趋向无穷远。 3.绘图示例绘图示例第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理
17、课程：自动控制原理根据规则根据规则3，根轨迹有，根轨迹有3根渐近线，它们与实轴的夹角是：根渐近线，它们与实轴的夹角是： 所有所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：根据规则根据规则4，实轴上的，实轴上的-1，0段是根轨迹的一部分；实轴段是根轨迹的一部分；实轴上的上的(-，-2段也是根轨迹的一部分。实际上后者就是从段也是根轨迹的一部分。实际上后者就是从开环极点开环极点p3出发趋向无穷远的一支，与渐近线的分析一致，出发趋向无穷远的一支，与渐近线的分析一致，这一支已经是精确图形了这一支已经是精确图形了。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根据
18、规则根据规则5，可以确定根轨迹与虚轴的交点。先用劳斯判，可以确定根轨迹与虚轴的交点。先用劳斯判据，据，根据特征方程系数列出劳斯阵列为：根据特征方程系数列出劳斯阵列为： 使使第一列第一列中中s1项项等于零，可以求得等于零，可以求得K=6。通过求解由。通过求解由s2行行得出的辅助得出的辅助方程方程 3s2+K =3s2+6=0，可以求得根轨迹与可以求得根轨迹与虚轴的交点为虚轴的交点为 ，交点处的频率为，交点处的频率为 。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理另一种确定与虚轴交点的方法是，另一种确定与虚轴交点的方法是，令特征方程中的令特征方程中的s =j得：得： 令上式中的实
19、部和虚部分别等于零，可以得到令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得到=0，K=0或或 。因此根轨迹在。因此根轨迹在 处与虚轴相交，处与虚轴相交，交点处交点处K=6。实轴上的。实轴上的根轨迹在根轨迹在=0处也处也与虚轴相交。与虚轴相交。根轨迹在实轴上根轨迹在实轴上的的-1，0段有一个分离点，根据段有一个分离点，根据规则规则6，有有 整理整理得得： 32+6+2=0 解解得得=-0.423，=1.577，显然只有，显然只有-0.423在根轨迹上。在根轨迹上。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根轨迹从根轨迹从p1，p2，p3出发的出射角已经很明确，为了验证出发的出射角已经
20、很明确，为了验证规则规则7，还可计算一下：还可计算一下：第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理以上根据基本规则画出的根轨迹仍然是概略图，它在实轴上以上根据基本规则画出的根轨迹仍然是概略图，它在实轴上的的根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确的，其它部分就不根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确的，其它部分就不准确了。要做到根轨迹图准确，按传统方法要用试验点的办准确了。要做到根轨迹图准确，按传统方法要用试验点的办法进行细化，很繁琐也不可能有高的精度；按现代方法用法进行细化，很繁琐也不可能有高的精度；按现代方法用MatlabMatlab可以快而准地绘出高精度根轨迹图可以快而准地绘出
21、高精度根轨迹图。显然，基本规则是具有指导意义的，但在一些特定的情况中，显然，基本规则是具有指导意义的，但在一些特定的情况中，仅依靠基本规则可能方案不唯一，下面举例说明：仅依靠基本规则可能方案不唯一，下面举例说明：vv例例例例4-14-1 如前面图示的负反馈控制系统，其开环传递函数为如前面图示的负反馈控制系统，其开环传递函数为第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理(b)(a)如果按基本规则，图如果按基本规则，图(a)和图和图(b)两种形状都有可能性，实际两种形状都有可能性，实际上用上用Matlab绘出是图绘出是图6(a)，当当a增加时根轨迹的中间部分在增加时根轨迹的中间部
22、分在变化，当变化，当a =12时时Matlab绘出根轨迹如图绘出根轨迹如图(b)。 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理1.1.1.1.不以不以不以不以增益增益增益增益K K为为为为参量的根轨迹图参量的根轨迹图参量的根轨迹图参量的根轨迹图v有时系统需要调整的不是开环增益有时系统需要调整的不是开环增益K，而是其它参数。在，而是其它参数。在这些情况下，如果能够将闭环特征方程变形，得到与典这些情况下，如果能够将闭环特征方程变形，得到与典型根轨迹方程相似的形式，就可以套用其绘制方法了。型根轨迹方程相似的形式，就可以套用其绘制方法了。1)1)1)1)开环零点开环零点开环零点开环
23、零点为参量的根轨迹为参量的根轨迹为参量的根轨迹为参量的根轨迹v有时控制系统增加开环零点以改善动态性能，图有时控制系统增加开环零点以改善动态性能，图(a)所示所示系统就是一个例子，其中参数系统就是一个例子，其中参数T到底选多大？可以借助根到底选多大？可以借助根轨迹来确定。轨迹来确定。4.3特殊根轨迹图特殊根轨迹图第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理该系统的闭环特征方程为：该系统的闭环特征方程为： 上式两边同上式两边同除除s(1+5s)+5就就得到：得到： 将式中将式中的的T作为作为参量，它就是典型的根轨迹方程形式，参量，它就是典型的根轨迹方程形式，第第4章章根轨迹法根轨
24、迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理因为因为 所以等价为典型根轨迹方程后，相当于所以等价为典型根轨迹方程后，相当于 n=2，m=1，z1=0，p1,2=-0.1j0.95v注意注意： 这里这里的的z1，p1，p2并不是图并不是图(a)所示系统的开环零、极点所示系统的开环零、极点，而是等价为典型根轨迹方程后，等价系统的开环零、极点，而是等价为典型根轨迹方程后，等价系统的开环零、极点，这是与典型根轨迹的主要区别。这是与典型根轨迹的主要区别。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理这样，用基本规则就可绘出其根轨迹，这样，用基本规则就可绘出其根轨迹，如图如图(b)所示。它明所
25、示。它明确表示了图确表示了图(a)系统中，系统中，T 对对闭环极点的影响。闭环极点的影响。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v有有时时控控制制系系统统需需增增加加开开环环极极点点，图图(a)所所示示系系统统就就是是一一个个引引入滤波器而增加了开环极点的例子。入滤波器而增加了开环极点的例子。该系统的闭环特征方程为：该系统的闭环特征方程为： 两边两边除除s(s+1)+K 得得(2)开环极点为参量的根轨迹开环极点为参量的根轨迹第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理将上将上式中的式中的K取固定常数，取固定常数，T作为参量，它就是典型根轨迹作为参量，它
26、就是典型根轨迹方程的形式，相当于方程的形式，相当于n=2，m=3，n0)： 这时特征方程变成：这时特征方程变成： 对应的相角条件变成：对应的相角条件变成：2.正反馈系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v这种情况主要发生在系统闭环为正反馈等特殊情况，比如这种情况主要发生在系统闭环为正反馈等特殊情况，比如有的多环控制系统将某个内环设计为正反馈。有的多环控制系统将某个内环设计为正反馈。由于由于相角条相角条件的改变，导致基本规则件的改变，导致基本规则3、4和和7必须修改。必须修改。规则规则3：渐近线：渐近线与实轴的夹角为与实轴的夹角为规则规则4：
27、实轴上的某一段如果其右边实轴上的开环零、极点：实轴上的某一段如果其右边实轴上的开环零、极点总数是偶数总数是偶数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。，那么该段就一定是根轨迹的一部分。规则规则7：根轨迹的出射角和入射角公式中的：根轨迹的出射角和入射角公式中的180，均改为，均改为360。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vv例例例例4-14-1 考虑前面图示的反馈控制系统，设其开环传递函数为考虑前面图示的反馈控制系统，设其开环传递函数为用用Matlab绘出根轨迹如图，它印证了上述三点改动。绘出根轨迹如图，它印证了上述三点改动。 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理
28、课程：自动控制原理v考虑含有延迟环节的系统：考虑含有延迟环节的系统： 其其闭环特征方程为：闭环特征方程为： 当当K给定时它有无穷多个根，所以根轨迹有无穷多支。给定时它有无穷多个根，所以根轨迹有无穷多支。 方程方程就是就是 所以对应的相角条件为：所以对应的相角条件为：3.延迟环节的根轨迹延迟环节的根轨迹第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 由于由于 e Ts =e jT = -= -T(弧度弧度) = - -T 57.3所以相角条件变成：所以相角条件变成：(s+1)=(2k+1)180- -T 57.3 当当k=0时相角条件为：时相角条件为：(s+1)=180- -T
29、57.3 如果复平面上任一点满足如果复平面上任一点满足，条件就在根轨迹上，否则就不在条件就在根轨迹上，否则就不在根轨迹上。条件还与根轨迹上。条件还与大小有关，若大小有关，若=0，实轴上满足，实轴上满足(s+1)=180的点的点就就在根轨迹上，显然实轴上在根轨迹上，显然实轴上(，1段上的段上的点均在根轨迹上；再如点均在根轨迹上；再如=1直线上的点，如果试验点直线上的点，如果试验点s1满足满足(s+1)=180条件，条件，就在根轨迹就在根轨迹上，否则就不在根轨迹上。上，否则就不在根轨迹上。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 这样，可以这样，可以作出作出k=0时时的根轨迹
30、如图所示。的根轨迹如图所示。当当k=1，2，时，相角条件各不相同，取时，相角条件各不相同，取T=1，根据各自，根据各自的相角条件可以绘出的相角条件可以绘出k=1，2，时的根轨迹图。这样的根时的根轨迹图。这样的根轨迹分支有无穷个。轨迹分支有无穷个。 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理由图可以看出，当由图可以看出，当k=0时，临界增益时，临界增益K0=2，当，当k=1时，临界时，临界增益增益K0=8，当当k=2时，临界增益时，临界增益K0=14，即即k 越大临界越大临界增益增益K0也越大。这是必然结果，因为临
31、界增益对应根轨迹也越大。这是必然结果，因为临界增益对应根轨迹上上s=j的点，从相角条件知道的点，从相角条件知道s=j时时k越大越大越大，再从幅越大，再从幅值条件：值条件： 知道知道越大越大K也越大。所以在分析稳定性时，只需看也越大。所以在分析稳定性时，只需看k=0的的根轨迹图就行了。根轨迹图就行了。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理用用Matlab绘制根轨迹图十分准确、快捷。现在用一个例子来说绘制根轨迹图十分准确、快捷。现在用一个例子来说明用法。明用法。vv例例例例4-34-3 考虑本章开始所举例的闭环负反馈控制系统，设考虑本章开始所举例的闭环负反馈控制系统，设用用
32、Matlab绘制根轨迹只要知道开环传递函数分子分母的系数，绘制根轨迹只要知道开环传递函数分子分母的系数，并分别填入分子向量并分别填入分子向量num和分母向量和分母向量den中，然后调用绘制中，然后调用绘制根轨迹的专用函数根轨迹的专用函数rlocus就行了就行了。4.4用用MATLAB绘制根轨迹图绘制根轨迹图第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理对于本例，最简单的程序就是：对于本例，最简单的程序就是： 在在Matlab的命令窗（的命令窗（CommandWindow）中执行这个程中执行这个程序，运行后就自动绘出根轨迹图。序，运行后就自动绘出根轨迹图。从根轨迹图可以看出：当从
33、根轨迹图可以看出：当0K14或或64Knum=124;den=111.63943.6240;rlocus(num,den) 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v在在MATLAB窗中，进入窗中，进入FileExport，可将绘出的根轨迹图可将绘出的根轨迹图存为需要的图形文件，比如命名为存为需要的图形文件，比如命名为Exam2.pcx，这个图形这个图形文件可以插入文件可以插入Word文挡。文挡。 与与绘制根轨迹有关的函数还有：绘制根轨迹有关的函数还有：pzmap绘制根轨迹的开环零、极点。绘制根轨迹的开环零、极
34、点。rlocfind计算给定点的计算给定点的K值。值。sgrid在连续系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率在连续系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率栅格。栅格。zgrid在离散系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率在离散系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率栅格。栅格。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理例如，在上列程序之后增加语句：例如，在上列程序之后增加语句： 执行执行后用光标左单击根轨迹上的任一点，会同时在每支根后用光标左单击根轨迹上的任一点，会同时在每支根轨迹上出现红十字轨迹上出现红十字标出标出n个闭环极点的位置，命令窗个闭环极点的位置，命令窗中出现这中出现这n个
35、闭环极点的座标该点和它们对应的个闭环极点的座标该点和它们对应的K值。值。 也可以在也可以在MATLAB窗中进入窗中进入FilesNew，打开编辑器，在，打开编辑器，在编辑器窗口编写上述程序，并创建一个编辑器窗口编写上述程序，并创建一个M文件，比如命名文件，比如命名为为ROT2.m，然后在命令窗中运行文件名（，然后在命令窗中运行文件名（ROT2）。）。k,p=rlocfind(num,den) 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理1.1.1.1.根轨迹与稳定性根轨迹与稳定性根轨迹与稳定性根轨迹与稳定性v用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道一组闭环用根轨迹图分析控制
36、系统的稳定性，比仅仅知道一组闭环极点要深刻得多。比如，极点要深刻得多。比如，当当K在在(0，)间取值时，如果间取值时，如果n支根轨迹全部位于虚轴的支根轨迹全部位于虚轴的左边，就意味着不管左边，就意味着不管K取任何值，闭环系统都是稳定的。取任何值，闭环系统都是稳定的。反之反之，根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着，根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管不管K取何值，闭环系统都不可能稳定。取何值，闭环系统都不可能稳定。这种情况下，要这种情况下，要使系统稳定，就必须增加开环零、极点，即改变系统的结使系统稳定，就必须增加开环零、极点，即改变系统的结构，而不仅仅是改变系统的参数。构，而
37、不仅仅是改变系统的参数。4.5控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理如果根轨迹没有任何一支全部位于虚轴右侧，而如果根轨迹没有任何一支全部位于虚轴右侧，而是有一支或多支根轨迹，由是有一支或多支根轨迹，由s平面的一侧穿越虚轴平面的一侧穿越虚轴进入进入s平面的另一侧，就说明闭环系统的稳定是有平面的另一侧，就说明闭环系统的稳定是有条件的。知道了根轨迹与虚轴交点处的条件的。知道了根轨迹与虚轴交点处的K值，就可值，就可以确定稳定条件，进而确定合适的以确定稳定条件，进而确定合适的K值。值。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控
38、制原理初学者初学者容易把开环极点和闭环极点混淆，因为画容易把开环极点和闭环极点混淆，因为画根轨迹图时首先标在图上的是开环零极点，根轨根轨迹图时首先标在图上的是开环零极点，根轨迹的起点又是开环极但，因此误认为根轨迹上的迹的起点又是开环极但，因此误认为根轨迹上的点都是开环极点，这是不对的。根轨迹图上除了点都是开环极点，这是不对的。根轨迹图上除了起点和终点外，其它点都是闭环极点的可能取值。起点和终点外，其它点都是闭环极点的可能取值。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理但是开、闭环又具有相对性，在下图示多环系统中，对于内但是开、闭环又具有相对性，在下图示多环系统中，对于内环，
39、环，G1(s)H1(s)是开环传递函数，其极点是开环极点；而闭是开环传递函数，其极点是开环极点；而闭环传递函数是环传递函数是1(s)=G1(s)/1+G1(s)H1(s)，其极点是闭环极，其极点是闭环极点。对于外环，点。对于外环，1(s)G2(s)H2(s)是开环传递函数，其极点是是开环传递函数，其极点是外环的开环极点，外环的开环极点，1(s)的极点只是外环开环极点的一部分。的极点只是外环开环极点的一部分。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理可见，多环系统也可以用根轨迹进行分析。一般，首先依可见，多环系统也可以用根轨迹进行分析。一般，首先依据据G(s)H(s)的零、极
40、点，绘制内环的根轨迹图，选择合适的零、极点，绘制内环的根轨迹图，选择合适的的K1使内环稳定；再依据使内环稳定；再依据1(s)G2(s)H2(s)的零、极点，绘制的零、极点，绘制外环的根外环的根轨迹图，选择合适的轨迹图，选择合适的K2使外环稳定。使外环稳定。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理类似的问题还有开环稳定性和闭环稳定性，开环稳定的充类似的问题还有开环稳定性和闭环稳定性，开环稳定的充要条件是开环极点都位于要条件是开环极点都位于S平面的左半平面。平面的左半平面。 开开环环稳稳定定不不意意味味着着闭闭环环稳稳定定，开开环环不不稳稳定定也也不不意意味味着着闭闭环环不不
41、稳稳定定，但但是是开开环环极极点点确确实实对对闭闭环环稳稳定定有有着着重重要要影影响响，因因为开环零、极点对根轨迹图有重要影响。为开环零、极点对根轨迹图有重要影响。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v对于下图所描述的系统，影响系统稳定性有三大因素：对于下图所描述的系统，影响系统稳定性有三大因素：开环增益、开环极点、开环零点。开环增益的影响上面开环增益、开环极点、开环零点。开环增益的影响上面已经讨论，现在讨论开环零、极点的影响。已经讨论，现在讨论开环零、极点的影响。下面图下面图(a)(f)给出了对应系统的根轨迹图。给出了对应系统的根轨迹图。图图(a)、图、图(b)所对
42、应系统的开环传递函数分别为：所对应系统的开环传递函数分别为：2.开环零极点对系统的影响开环零极点对系统的影响第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 以图以图(a)所示系统为参照，在它基础上增加开环零、极点，所示系统为参照，在它基础上增加开环零、极点，研究它们对系统的影响。研究它们对系统的影响。当当K0时，图时，图(a)，(b)代表的系统代表的系统始终是稳定的始终是稳定的第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 但图但图(b)代表的系统，可以选择到一对比图代表的系统，可以选择到一对比图(
43、a)离虚轴更远的离虚轴更远的闭环极点，这说明闭环极点，这说明增加合适的位于虚轴左侧的开环零点增加合适的位于虚轴左侧的开环零点，既可以增加稳定裕度又可以提高快速性。既可以增加稳定裕度又可以提高快速性。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 图图(c)、(d)所对应的系统开环传递函数分别为：所对应的系统开环传递函数分别为：第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图图(c)增加的是位于虚轴右侧的零点，显然，这时系统只增加的是位于虚轴右侧的零点，显然，这时系统只有在有在K0.67时才是稳定的，这说明增加位于虚轴右侧的开时才是稳定的，这说明增加位于虚轴右侧的
44、开环零点，一般使稳定性下降。环零点，一般使稳定性下降。 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理如果如果系统具有位于虚轴右侧的零点系统具有位于虚轴右侧的零点(不管是固有的还是加入不管是固有的还是加入的的)，就称之为，就称之为非最小相角系统非最小相角系统。从从本例可以看出：非最小本例可以看出：非最小相角系统的动态性能需要认真对付。相角系统的动态性能需要认真对付。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图图(d)增加的是位于虚轴左侧的极点，显然，这时系统只有增加的是位于虚轴左侧的极点，显然，这时系统只有在在K60时才是稳定的。与图时才是稳定的。与图(a)
45、相比说明：给开环系统增加相比说明：给开环系统增加位于虚轴左侧的极点，一般也会使稳定性下降。位于虚轴左侧的极点，一般也会使稳定性下降。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图图(e)是在图是在图(d)基础上基础上,再增加一个位于虚轴左侧的再增加一个位于虚轴左侧的零点，闭环系统的稳定性又大大提高。零点，闭环系统的稳定性又大大提高。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图图(f)是在图是在图(a)基础上增加位于虚轴右侧的极点，这时从该极点出基础上增加位于虚轴右侧的极点，这时从该极点出发的一支根轨迹全部位于虚轴的右边，这意味着不管发的一支根轨迹全部位于虚
46、轴的右边，这意味着不管K取何值，取何值，闭环系统都不可能稳定，所以增加位于虚轴右侧的极点是不可闭环系统都不可能稳定，所以增加位于虚轴右侧的极点是不可取的。取的。但是如果再增加一个合适的位于虚轴左侧的零点，该系但是如果再增加一个合适的位于虚轴左侧的零点，该系统会变成条件稳定。统会变成条件稳定。 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v在设计控制系统时，为了使系统阶次降低或者为了抵消在设计控制系统时，为了使系统阶次降低或者为了抵消大的惯性环节，有时用大的惯性环节，有时用控制器控制器的的零零(极极)点去抵消被控对象点去抵消被控对象的极的极(零零)点，这在大多数情况下是有利的，
47、但也有例外。点，这在大多数情况下是有利的，但也有例外。图图(a)是下列三阶系统的根轨迹是下列三阶系统的根轨迹： 附加附加一个零点一个零点z1=-1去低消系统的一个稳定去低消系统的一个稳定p1=-1极点，这极点，这样系统的传递函数变成：样系统的传递函数变成：3.零、极点相消问题零、极点相消问题第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 其其根轨迹如图根轨迹如图(b)所示，可见系统的稳定性大大提高了。所示，可见系统的稳定性大大提高了。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 现在考虑建模误差的现在考虑建模误差的影响，如果开环传影响，如果开环传递函数参数不准
48、确，递函数参数不准确，假设实际系统假设实际系统p1=-0.8我们却按我们却按p1=-1建建模，这样零极点不模，这样零极点不能正好抵消，根轨能正好抵消，根轨迹变成图迹变成图(c)。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 现在考虑建模误差的现在考虑建模误差的影响，如果开环传影响，如果开环传递函数参数不准确，递函数参数不准确，假设实际系统假设实际系统p1=-1.2我们却按我们却按p1=-1建建模，这样零极点不模，这样零极点不能正好抵消，根轨能正好抵消，根轨迹变成图迹变成图(d)。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理(c) (d) 第第4章章根轨迹法根
49、轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根轨迹图清楚地表示：尽管存在建模误差，附加零点仍然根轨迹图清楚地表示：尽管存在建模误差，附加零点仍然提高了系统的稳定性。但是，情况不都是这么乐观，考察提高了系统的稳定性。但是，情况不都是这么乐观，考察下列三阶系统下列三阶系统：第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理如果用零点如果用零点z1=1抵消系统的不稳定极点抵消系统的不稳定极点p1=1，系统开环传，系统开环传递函数变成：递函数变成： 根根轨轨迹迹如如图图(e)，零零、极极点点正正好好相相消消，系系统统的的稳稳定定性性大大大大提提高高。考考虑虑建建模模误误差差的的影影响响，假假
50、设设实实际际系系统统p1=0.8，不不宜宜用用零、极点相消的办法抵消系统的不稳定极点或零点。零、极点相消的办法抵消系统的不稳定极点或零点。(f) (e) 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理如如前前所所述述，闭闭环环系系统统的的稳稳定定性性完完全全取取决决于于闭闭环环极极点点，实实际际上上时时间间响响应应的的暂暂态态分分量量也也主主要要取取决决于于闭闭环环极极点点。每每一一个个闭闭环环极极点点si对对应应时时间间响响应应中中的的一一个个因因子子exp(sit)，称称为为系系统统的的一一个个模模态态(Mode)，si在在s平平面面上上的的位位置置决决定定了了它它对对应应
51、的的暂暂态态分分量量的的运运动形式。动形式。4.闭环零极点与时间响应闭环零极点与时间响应第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v系系统统的的动动态态性性能能最最终终体体现现在在时时间间响响应应上上，影影响响时时间间响响应应的的因因素素有有两两个个：闭闭环环传传递递函函数数和和输输入入函函数数。前前面面已已经经分分析析，时时间间响响应应的的暂暂态态分分量量主主要要取取决决于于闭闭环环零零、极极点点；时时间间响响应应的的稳稳态态分量主要取决于输入函数和系统的型别。分量主要取决于输入函数和系统的型别。4.闭环零极点与时间响应闭环零极点与时间响应第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：
52、自动控制原理课程：自动控制原理v下面图中表示了下面图中表示了si分布于分布于s平面上不同位置所对应的暂态分量。平面上不同位置所对应的暂态分量。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vs平面上平面上si分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：1)左右分布决定终值。即，左右分布决定终值。即，si位于虚轴左边时暂态分量最终衰位于虚轴左边时暂态分量最终衰减到零，减到零，si位于虚轴右边时暂态分量一定发散，位于虚轴右边时暂态分量一定发散，si正好位于正好位于虚轴（除原点）时暂态分量为等幅振荡。虚轴（除原点）时暂态分量为等幅振荡。第第4章章根轨迹
53、法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vs平面上平面上si分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：2)虚实分布决定振型。就是，虚实分布决定振型。就是，si位于实轴上时暂态分量为非位于实轴上时暂态分量为非周期运动，周期运动，si位于虚轴上时暂态分量为周期运动。位于虚轴上时暂态分量为周期运动。 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vs平面上平面上si分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：3)远近分布决定快慢。具体讲就是，远近分布决定快慢。具体讲就是，si位于虚轴左边时离虚位于虚轴左边时离虚轴
54、愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点“主宰主宰”系统响应的时间最长，被称为主导极点。系统响应的时间最长，被称为主导极点。 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vs平面上平面上si分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：1)左右分布决定终值。即，左右分布决定终值。即，si位于虚轴左边时暂态分量最终位于虚轴左边时暂态分量最终衰减到零，衰减到零，si位于虚轴右边时暂态分量一定发散，位于虚轴右边时暂态分量一定发散，si正好正好位于虚轴（除原点）时暂态分量为等幅振荡。位于虚轴（除原
55、点）时暂态分量为等幅振荡。2)虚实分布决定振型。就是，虚实分布决定振型。就是，si位于实轴上时暂态分量为非位于实轴上时暂态分量为非周期运动，周期运动，si位于虚轴上时暂态分量为周期运动。位于虚轴上时暂态分量为周期运动。3)远近分布决定快慢。具体讲就是，远近分布决定快慢。具体讲就是，si位于虚轴左边时离虚位于虚轴左边时离虚轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点“主宰主宰”系统响应的时间最长，被称为主导极点。系统响应的时间最长，被称为主导极点。 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v设计系统时合理配置闭环极点是
56、十分重要的，根据上述规设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述规律，一般先配置主导极点，然后配置非主导极点。律，一般先配置主导极点，然后配置非主导极点。 非非主导极点与虚轴的距离，应当是主导极点与虚轴距离的主导极点与虚轴的距离，应当是主导极点与虚轴距离的25倍，这样系统的时间响应就主要取决于主导极点。倍，这样系统的时间响应就主要取决于主导极点。 主导极点主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于虚轴左边的一般安排为一对共轭复数极点，位于虚轴左边的60扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自
57、动控制原理v设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述规设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述规律，一般先配置主导极点，然后配置非主导极点。律，一般先配置主导极点，然后配置非主导极点。 非非主导极点与虚轴的距离，应当是主导极点与虚轴距离的主导极点与虚轴的距离，应当是主导极点与虚轴距离的25倍，这样系统的时间响应就主要取决于主导极点。倍，这样系统的时间响应就主要取决于主导极点。 主导极点主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于虚轴左边的一般安排为一对共轭复数极点，位于虚轴左边的60扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：闭环主导极点
58、为共轭复数，使闭环系统的动态性能与一闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态性能与一个二阶欠阻尼系统相似。二阶系统的动态性能是分析得最个二阶欠阻尼系统相似。二阶系统的动态性能是分析得最透彻的，欠阻尼系统则具有较快的反应速度。透彻的，欠阻尼系统则具有较快的反应速度。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理阻尼系数太大，太小都不合适，阻尼系数太大，太小都不合适，60的扇形区域意味着的扇形区域意味着阻尼系数不小于阻尼系数不小于cos60=0.5，一般认为最佳阻尼系数是一般认为最佳阻尼系数是0.707。离虚轴一定的距离保证了足够的稳定裕度。稳定裕度太离虚轴一定的距离保证了足够的稳
59、定裕度。稳定裕度太小，在实际应用时可能系统不稳定，因为数学模型的参数小，在实际应用时可能系统不稳定，因为数学模型的参数不会绝对准确，也就是说实际的主导极点位置与理论分析不会绝对准确，也就是说实际的主导极点位置与理论分析的位置有偏差。的位置有偏差。但也不是越远越好，但也不是越远越好，因为系统总存在建模因为系统总存在建模误差，离虚轴很远的极点对应很小的时间常数，如果主导误差，离虚轴很远的极点对应很小的时间常数，如果主导极点与建模时忽略的小时间常数相当，那么主导极点就不极点与建模时忽略的小时间常数相当，那么主导极点就不“主导主导”，设计的根基就动摇了，设计的根基就动摇了。 第第4章章根轨迹法根轨迹法
60、课程：自动控制原理课程：自动控制原理v由于理论分析与工程实际总是有差距的，一个控制系统的由于理论分析与工程实际总是有差距的，一个控制系统的设计，需要充分考虑工程实际中的非理想因素。比如，建设计，需要充分考虑工程实际中的非理想因素。比如，建模误差、参数不准、外部干扰等。因此，这里提出一个重模误差、参数不准、外部干扰等。因此，这里提出一个重要的要的设计理念，设计理念，鲁棒性设计鲁棒性设计。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v建模误差即建立系统数学模型时，忽略的一些非线性、小建模误差即建立系统数学模型时，忽略的一些非线性、小时间常数等因素；参数不准是由于对实际系统参数的测
61、量时间常数等因素；参数不准是由于对实际系统参数的测量或估计不可能百分之百准确，并且在系统运行中参数也会或估计不可能百分之百准确，并且在系统运行中参数也会发生变化；发生变化；外部干扰更是五花八门，未建模的干扰会使运外部干扰更是五花八门，未建模的干扰会使运动偏离理论轨迹动偏离理论轨迹。所以，要使理论上设计的系统能真正用。所以，要使理论上设计的系统能真正用于实际，必须保证在非理想因素下，设计目标仍能达到或于实际，必须保证在非理想因素下，设计目标仍能达到或基本达到，这样的控制系统称为具有基本达到，这样的控制系统称为具有鲁棒性的系统鲁棒性的系统。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制
62、原理v再来看系统的闭环零点，应该说闭环零点对系统的稳定性再来看系统的闭环零点，应该说闭环零点对系统的稳定性没有影响，对系统的时间响应没有实质影响，但对时间响没有影响，对系统的时间响应没有实质影响，但对时间响应的具体形状是有影响的。考虑下面三个闭环传递函数：应的具体形状是有影响的。考虑下面三个闭环传递函数： 它们有完全相同的闭环极点，但闭环零点不同，它们的阶它们有完全相同的闭环极点，但闭环零点不同，它们的阶跃响应分别跃响应分别如图如图(a)，(b)，(c)。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图图(a)，(b)都是最小相角系统，但图都是最小相角系统，但图(b)代表的系统
63、多了一代表的系统多了一个左半平面的零点，它加快了响应速度个左半平面的零点，它加快了响应速度(有利有利)，也加大了，也加大了超调量超调量(不利不利)；图图(c)代表的是一个非最小相角系统，右半代表的是一个非最小相角系统，右半平面零点导致了特殊的平面零点导致了特殊的“反调节反调节”现象，现象，这对系统的动态性这对系统的动态性能是不利的，水轮机调速系统就存在这种现象。能是不利的，水轮机调速系统就存在这种现象。 （a） （b） （c） 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根轨迹是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平根轨迹是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画
64、出的轨迹。面上画出的轨迹。绘制根轨迹可以总结为三句话：依据的是开环零极点分布，绘制根轨迹可以总结为三句话：依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。应重点掌握，如何利用基本规则应重点掌握，如何利用基本规则1规则规则5绘制概略图和用绘制概略图和用Matlab软件绘制精确图。借助于软件绘制精确图。借助于Matlab，控制系统的根轨控制系统的根轨迹分析变得更加灵活、透彻、高效。迹分析变得更加灵活、透彻、高效。 小小结结第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理对于特殊根轨迹，可以将闭环特征方程进行变形，
65、得到一对于特殊根轨迹，可以将闭环特征方程进行变形，得到一个与典型根轨迹方程相似的形式，然后套用典型根轨迹的个与典型根轨迹方程相似的形式，然后套用典型根轨迹的方法来绘图。方法来绘图。含有延迟环节的系统，根轨迹有无穷多组，最重要的是坐含有延迟环节的系统，根轨迹有无穷多组，最重要的是坐标原点附近的一组。标原点附近的一组。根轨迹图揭示了稳定性、阻尼系数、振型等动态性能与系根轨迹图揭示了稳定性、阻尼系数、振型等动态性能与系统参数的关系，用根轨迹图设计控制系统的关键是配置合统参数的关系，用根轨迹图设计控制系统的关键是配置合适的闭环主导极点。适的闭环主导极点。要使理论设计符合工程实际，必须注意控制系统的鲁棒性。要使理论设计符合工程实际，必须注意控制系统的鲁棒性。 放映结束 感谢各位的批评指导！ 谢谢 谢！谢！让我们共同进步942021/3/9
