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1、隐函数的求导方法 本节讨论本节讨论 :1) 方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数 .例如例如, 方程方程当当 C 0 时时, 不能确定隐函数不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时,研究其研究其连续性、可微性连续性、可微性 及及求导方法求导方法问题问题 .一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数设函数则方程则方程单值连续函数单值连续函数 y = f (x) ,并有连续并有连续(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，定理证明从略，仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数具有
2、连续的偏导数; ;的的某邻域内某邻域内可唯一确定一个可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足满足条件满足条件导数导数两边对两边对 x 求导求导在在的某邻域内的某邻域内则则若若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续, ,二阶导数二阶导数 :则还有则还有例例1. 验证方程验证方程在点在点(0,0)某邻域某邻域可可确定一个确定一个单值可导隐函数单值可导隐函数解解: 令令连续连续 ,由由 定理定理1 可知可知,导的隐函数导的隐函数 则则在在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值可且且并求并求两边对两边对 x 求导求导两边再对两边再对 x 求导
3、求导令令 x = 0 , 注意此时注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导利用隐函数求导定理定理2 . 若函数若函数 的某邻域内具有的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程则方程在点在点并有连续偏导数并有连续偏导数定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略定理证明从略, 仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下:满足满足 在点在点满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确两边对两边对 x 求偏导求偏导同样可得同样可得则则例例2. 设设解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导再对再对 x 求导求导解法解法2 利用公式利用公式设设则则两边
4、对两边对 x 求偏导求偏导例例3. 设设F( x , y)具有连续偏导数具有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式利用偏导数公式.确定的隐函数确定的隐函数,则则已知方程已知方程故故对方程两边求微分对方程两边求微分:解法解法2 微分法微分法. .二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由由 F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式称为称为F、G 的的雅可比雅可比( Jacobi )行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即即定理定理3.
5、3.的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏设函数设函数则方程组则方程组的的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式且有偏导数公式 : : 在点在点的某一邻域内可的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件确定一组满足条件满足满足: :导数；导数；定理证明略定理证明略.仅仅推导偏导数公推导偏导数公式如下：式如下：有隐函数组有隐函数组则则两边对两边对 x 求导得求导得设方程组设方程组在点在点P 的某邻域内的某邻域内故得故得系数行列式系数行列式同样可得同样可得例例4. 设设解解:方程组两边对方程组两边对 x 求导求导，并移项得，并移项得求求练习练习: 求求答案答案:由题设由题设故有故有例例5.5.设函
6、数设函数在点在点(u,v) 的某一的某一1) 证明函数组证明函数组( x, y) 的某一邻域内的某一邻域内2) 求求解解: 1) 令令对对 x , y 的偏导数的偏导数.在与点在与点 (u, v) 对应的点对应的点邻域内有连续的偏导数邻域内有连续的偏导数, ,且且 唯一确定一组单值、连续且具有唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数连续偏导数的反函数式两边对式两边对 x 求导求导, 得得则有则有由由定理定理 3 可知结论可知结论 1) 成立成立.2) 求反函数的偏导数求反函数的偏导数. 从方程组从方程组解得解得同理同理, 式两边对式两边对 y 求导求导, 可得可得从方程组从方程组解得解得
7、同理同理, 式两边对式两边对 y 求导求导, 可得可得例例5的应用的应用: 计算极坐标变换计算极坐标变换的反变换的导数的反变换的导数 .同样有同样有所以所以由于由于内容小结内容小结1. 隐函数隐函数( 组组) 存在定理存在定理2. 隐函数隐函数 ( 组组) 求导方法求导方法方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 利用微分形式不变性利用微分形式不变性 ;方法方法3. 代公式代公式思考与练习思考与练习设设求求提示提示: 解法解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. .由由d y, d z 的系数即可得的系数即可得练练 习习 题题练习题答案练习题答案
