《高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件1 新人教A版选修22》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件1 新人教A版选修22（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.1 2.1.1 合情推理合情推理天空乌云密布，你能得出什么推断？天空乌云密布，你能得出什么推断？ 推理无处不在引例引例1 根据根据根据根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理推理推理推理. . . . 已知已知判断判断前提新的新的判断判断结论1.铜,铁,铝,金金,银等金属能等金属能导电,由此得一切金属都能由此得一切金属都能导电.2.三角形的内角和是三角形的内角和是180,四四边形的内角和是形的内角和是360,五五
2、边形的内角和是形的内角和是540,由此得由此得n边形的内角和是形的内角和是(n-2)180.3.一个数列的前一个数列的前4项分分别是是2,4,6,8,由此得由此得这个数列的通个数列的通项公式公式为2n.一、归纳推理观察下列推理的例子观察下列推理的例子哥德巴赫赫猜想: 3 37 71010 3 3171720201313171730301010 3 37 72020 3 317173030 13131717一个规律：一个规律：一个规律：一个规律：偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数6 63+33+3，8 83+5,3+5,10105+5, 5+5, 100010002
3、9+97129+971， 1002=139+863, 1002=139+863, 猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于6 6的偶数都等的偶数都等的偶数都等的偶数都等于两个奇质数的和于两个奇质数的和于两个奇质数的和于两个奇质数的和. .问题1:1:以上推理有什么特点以上推理有什么特点? ?特点:由部分部分到整体整体,由个别个别到一般一般的推理.归纳推理归纳推理: 由某类事物的由某类事物的由某类事物的由某类事物的部分对象部分对象部分对象部分对象具有某些特征具有某些特征具有某些特征具有某些特征, ,推出推出推出推出该类事物的该类事物的该类事物的该类事物的全部对全部
4、对全部对全部对象象象象都具有这些都具有这些都具有这些都具有这些特征的特征的特征的特征的推理推理推理推理, ,或者由或者由或者由或者由个别事实个别事实个别事实个别事实概括出概括出概括出概括出一般结论一般结论一般结论一般结论 . . 的推理的推理的推理的推理, ,称为称为称为称为归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理( (简称归纳简称归纳简称归纳简称归纳). ).归：归结。纳：总结归：归结。纳：总结.例例1: 观察下列的等式观察下列的等式,你有什么猜想吗你有什么猜想吗?1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52 由此猜想由此猜想:前前n个连续的奇数的和个
5、连续的奇数的和等于等于n的平方的平方,即即:1+3+5+(2n-1)=n2告诉我们考试如何考告诉我们考试如何考？不管是会考还是高？不管是会考还是高考。考。如果改成如果改成2n+1呢？呢？观察可得：数列的前观察可得：数列的前4项都等于相应项数的倒数项都等于相应项数的倒数.可用可用数学归纳法数学归纳法数学归纳法数学归纳法证明这个猜想是正确的证明这个猜想是正确的. 问题2:由归纳推理得到的结论是否一定可靠?都是质数都是质数. 同学们看，欧拉的计算能力历史上有名，在当时没有计算机、计算器，同学们看，欧拉的计算能力历史上有名，在当时没有计算机、计算器，全靠一支笔，欧拉就把它算出来了全靠一支笔，欧拉就把它
6、算出来了. 从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？这个推理过程是归纳推理吗？引例2除了归纳除了归纳, ,人们在人们在创造发明中，经创造发明中，经常应用
7、常应用类比类比. .类：同类类：同类.比：比较比：比较.二、类比推理火星火星与与地球地球类比的思维过程：类比的思维过程：火星火星地球地球 存在存在存在存在类似特征类似特征类似特征类似特征地球上有生命存在地球上有生命存在地球上有生命存在地球上有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在 同学们，虽然人类没有到达火星，但航天器已经到达同学们，虽然人类没有到达火星，但航天器已经到达.美国人觉得所有地美国人觉得所有地球人不是他对手，所以去开辟太空球人不是他对手，所以去开辟太空.美国人有个优点，人民自己不会跟自己斗，美国人有个优点，人
8、民自己不会跟自己斗，中国人是窝里斗中国人是窝里斗.并且斗过来斗过去越斗越有精神并且斗过来斗过去越斗越有精神.为什么人民在斗？因为官员为什么人民在斗？因为官员在斗在斗.柏杨写的书柏杨写的书丑陋的中国人丑陋的中国人，他说中国文化是酱缸文化，他说中国文化是酱缸文化. 由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）类比推理（简称类比）类比推理的定义类比推理的定义: 简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理
9、试根据等式的性质猜想不等式的性质试根据等式的性质猜想不等式的性质.猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？以下类比同时说明考试如何考以下类比同时说明考试如何考.例3：类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.类比角度实数的加法实数的乘法运算结果运算律(交换律和结合律)逆运算单位元由平面内的由平面内的圆圆，我们联想到空间里的，我们联想到空间里的球球，让他们来类比你能找到他们有，让他们来类比你能找到他们有哪些类似的特征？哪些类似的特征？例例4:试将平面上的圆与空间的球进行类比试将平面上的圆与空间的球进行类比.解：圆与球在它们的的生
10、成、形状、定义等方面都具有相似的属性解：圆与球在它们的的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性. 据此，圆与球的相关元素之间可建立如下的对应关系：据此，圆与球的相关元素之间可建立如下的对应关系：圆圆弦弦直径周长直径周长面积面积球球截面圆截面圆表面积表面积体积体积等等，于是根据圆的性质，可以猜测球的性质等等，于是根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表：如下表：圆的性质圆的性质球的性质球的性质圆心与弦圆心与弦(不是直径不是直径)的中点的连线垂直的中点的连线垂直于弦于弦与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较离不等的两弦不等，距圆心较近的弦
11、较长长圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心心球心与截面圆球心与截面圆(不是大圆不是大圆)的圆心的连的圆心的连线垂直于截面圆线垂直于截面圆与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大距球心较近的截面圆较大球的切面垂直于过切点的半径；经过球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且
12、垂直于切面的直线必经过经过切点且垂直于切面的直线必经过球心球心 类比推理举例构成几何体的元素数目：四面体构成几何体的元素数目：四面体 三角形三角形 四面体由四个面围成，它是空间中数目最少的基本元素（平面）围成的四面体由四个面围成，它是空间中数目最少的基本元素（平面）围成的封闭几何体；在平面内，两条直线不能围成一个封闭的图形，而封闭几何体；在平面内，两条直线不能围成一个封闭的图形，而3条直线可以条直线可以围成一个三角形，即三角形是平面内数目最少的基本元素（直线）围成的封围成一个三角形，即三角形是平面内数目最少的基本元素（直线）围成的封闭图形。闭图形。探究：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面
13、体的类比对象？直角三角形直角三角形3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体C903个边的长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边cPDFPDEEDF90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面” S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面” S例例5 ：类比平面内直角三角形的勾股定理：类比平面内直角三角形的勾股定理,试试 给出空间中四面体性质的猜想给出空间中四面体性质的猜想我们要根据实际情况选择适当的类比对象如：我们要根据实际情况选择适当的类比对象如：平面平面空间空间正方形正方形正方体正方体圆圆球球三角形三角形三棱锥三棱锥 还有向量与数、还有
14、向量与数、 无限与有限、无限与有限、 不等与相等类比不等与相等类比. 类比推理的结论一定可靠吗？ “平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形”“平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”“空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形”“空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”类类比比 数学家波利亚说，类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有数学家波利亚说，类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有
15、赖于平面几何中类比问题。赖于平面几何中类比问题。 开普勒说，我珍视类比胜于任何东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示开普勒说，我珍视类比胜于任何东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。自然界的秘密。 同学们注意，教材答案不好。对于第二个类比，因为直线类比平面，所以类比结果是：在空间中，同时垂直于一个平面的两个平面互相平行。 类比为什么是错误的？原因是在平面内不能做的事情在空间可以做，那就是在空间中可以干折叠、旋转。三、 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想
16、的推理，我们把它们统称为想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理。 通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。 合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向向 法国数学家拉普拉斯说，即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳法国数学家拉普拉斯说，即使在数学里，发现真理的主要工具也
17、是归纳和类比。和类比。例例6.这是一个古老的汉诺塔游戏。有三根针和套在一根针上的若干金属片这是一个古老的汉诺塔游戏。有三根针和套在一根针上的若干金属片.按按下列规则下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测:把把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针号针,最少需要移动多少次最少需要移动多少次?n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=2时,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时, n=4时,n=3时,n=
18、2时,n=1时, 同学们，虽然觉得移动金属片会变幻无穷，杂乱无章，毫无规律，一头乱码，但仔细同学们，虽然觉得移动金属片会变幻无穷，杂乱无章，毫无规律，一头乱码，但仔细分析会容易发现规律。只要静下心来，不被表面现象吓倒。分析会容易发现规律。只要静下心来，不被表面现象吓倒。n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,归纳:类比推理类比推理由由由由特殊到特殊特殊到特殊特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理的推理的推理; ;以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础, ,推测推测推测推测新新新新的结果；的结果；的结果；的结果；归纳推理归纳推理由部分到整体、由部分到整体、由部分到整体、由部分到整体、特殊到一般特殊到一般特殊到一般特殊到一般的推理的推理的推理的推理; ;以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础, ,推测推测推测推测新新新新的结论的结论的结论的结论; ; 具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能; ; 结论结论结论结论不一定成立不一定成立不一定成立不一定成立. .具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能; ;课堂小结
