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1、总总 复复 习习第一章 行列式行列式 1、了解行列式的概念； 3、会用行列式的性质和展开定理计算行列式； 2、掌握行列式的性质和展开定理； 4、掌握几种特殊行列式的计算。 5、会用克莱母(Cramer)法则;线性代数总复习第二章 矩阵 2. 理解逆矩阵的概念, 掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件, 理解伴随矩阵的概念, 会求逆矩阵。 3. 掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念。 4. 了解分块矩阵及其运算。 1. 理解矩阵的概念, 了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵, 以及它们的性质; 掌握矩阵的线性运算、转置、乘法、方阵的幂与方阵的行列式。线性代数总复习第三
2、章 向量向量 线性关系线性关系 秩秩 1. 理解n维向量的概念以及向量的线性运算; 2. 理解向量组的线性组合与线性表示的概念; 3. 理解向量组线性相关, 线性无关的定义, 了解并会用向量组线性相关, 线性无关的有关性质及判别法; 4. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念; 5. 理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算线性代数总复习第四章 线性方程组 1. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件; 2. 理解齐次线性方程组的基础解系和通解的概念, 掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法;
3、 3. 理解非齐次线性方程组的解的结构和通解的概念; 4. 会用消元法求解线性方程组.线性代数总复习第五章 线性空间与线性变换 1. 了解向量空间, 子空间, 维数, 基底, 坐标等概念; 2. 了解基变换和坐标变换公式, 会求过渡矩阵; 3. 了解线性变换的概念，会求线性变换的矩阵； 5. 了解规范正交基, 正交矩阵的概念, 以及它们的性质. 4. 了解Euclid(欧几里得)空间及内积的概念, 掌握将线性无关向量组正交化的施密特(Schmidt)正交化方法;线性代数总复习第六章 矩阵的特征值与特征向量 1. 了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法; 2. 了解矩阵的特征值和特征向量的性质
4、; 3. 了解相似矩阵的概念及性质; 4. 掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.线性代数总复习第七章 二次型 1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 了解合同变换与合同矩阵的概念, 了解二次型的标准形和规范形的概念以及惯性定理; 2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法, 会用配方法化二次型为标准形; 3. 理解正定二次型和正定矩阵的概念, 掌握其判别法.线性代数总复习典型例题 1. 计算 24页：11 (1), (3), (4), 12线性代数总复习 2. (051,2,4)(4分) 设1, 2, 3均为3维列向量, 记矩阵A=(1,2,3), B=(1+2+3,
5、1+22+43, 1+32+93),如果|A|=1, 求|B|. 解法一解法一 |B|=|1+2+3, 1+22+43, 1+32+93| =|1+2+3, 2+33, 2+53| =|1+2+3, 2+33, 23| =2|1+2+3, 2+33, 3| =2|1+2, 2, 3| =2|1, 2, 3| =2|A|=2线性代数总复习 B=(1+2+3, 1+22+43, 1+32+93) 解法二由于 所以线性代数总复习求矩阵B. 3*.(951) 设三阶方阵A, B满足关系式A-1BA=6A+BA , 且 解解 A-1BA=6A+BA B-AB=6A A-1B=6E+B B=6A+AB B
6、=6(E-A)-1A, 即 49页：10, 11, 12, 18线性代数总复习 4.(041,2) 设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 求满足AQ=C的可逆矩阵Q. 解 由已知有: B=AP1,2, C=BP2+3(1), 所以有: Q=P1,2P2+3(1)于是， C=AP1,2P2+3(1), 线性代数总复习 5*.(063,4) 设4维向量组 问a为何值时1,2,3, 4线性相关?当1,2,3, 4线性相关时, 求其一个极大线性无关组,并将其余量用该极大线性无关组线性表出. 解 由于所以, a=0或a=-10时, 1, 2, 3, 4线性相关.
7、线性代数总复习 a=0时, 由于 此时R(A)=1, 1是一个极大线性无关组, 且有 2=21, 3=31, 4=41 a=-10时, 由于线性代数总复习 可见, 此时R(A)=3 , 1,2,3是一个极大线性无关组, 且 4=-1-2-3. 64页：6, 7, 12, 15线性代数总复习 6*. 取何值时, 方程组无解, 有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解. 解 由于方程组的增广矩阵为可见, 当=-4/5时, R(A)=2, R(A|b)=3, 方程组无解.当-4/5, 且-1时 R(A)=R(A|b)=3, 方程组有唯一解.线性代数总复习当=-1时, 有所以, 有R(A
8、)=R(A|b)=2, 方程组有无穷多解, 且通解为或写成也可以写成向量形式线性代数总复习7.(043)(4分) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*0, 若 是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 的基础解系( )(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. 解解 由于A A*0 0, 所以存在某个Aij0, 于是R(A)n-1. 又由于AxAx=b b的解不唯一, 故R(A)n. 于是R(A)=n-1. B所以, 方程组AxAx=0 0的解空间是1维的. 故应选(B). 78页：5 ; 79页: 9, 1
9、7*. 117页：2(2) , (3) ; 3(1) , (2) ; 8*. 135页：2(2) , (3) ; 5线性代数总复习行列式的概念行列式的概念定义定义 由n个数 1,2,3,n 所组成的一个有序数组称为一个n n级排列级排列。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数逆序数。 逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列偶排列。其中，ti是比pi大的且排在pi 前面的数的个数 定理定理 对排列进行一次对换, 改变排列的奇偶性。定义定义线性代数总复习行列式的性质行列式的性质 性质性质1 1 行列式与其转置行列式相等, 即D=DT。 性质性质2 2 行列式可以按行
10、(列)提取公因子.线性代数总复习行列式的性质行列式的性质 性质性质3 3 行列式两行(列)互换，行列式变号. 性质性质4 4 行列式某两行(列)元素相同, 则行列式为零。 性质性质5 5 行列式某两行(列)元素成比例, 则行列式为零。线性代数总复习行列式的性质行列式的性质 性质性质6 6 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和,则行列式可分成两个行列式之和。线性代数总复习行列式的性质行列式的性质 性质性质7 7 行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)对应的元素上，行列式不变.线性代数总复习行列式展开定理行列式展开定理 . 行列式展开定理: 行列式的值等于其任何一行(列)元素与其对应的代
11、数余子式乘积之和. 即. 关于代数余子式的重要性质：线性代数总复习CramerCramer法则及其应用法则及其应用 . Cramer法则 若D0, 则Ax=b有唯一解: xi=Di /D . 解判定 Ax=0有非零解|A|=0. Ax=0只有零解|A|0. Ax=b有唯一解|A|0. Ax=b无解|A|=0. Ax=b有无穷多解|A|=0.线性代数总复习特殊行列式的计算特殊行列式的计算 . 对角行列式, 上(下)三角行列式: 对角线元素乘积 . 二、三阶行列式: 对角线法则线性代数总复习特殊行列式的计算特殊行列式的计算 . Vandermonde行列式线性代数总复习线性运算, 乘法, 转置,
12、方阵的幂, 方阵的行列式; |AB|=|A|B|: A, B为同阶方阵. A+B: A, B为同型矩阵(行和列都相等);AB: A的列数等于B的行数, ABBAAB=0推不出A=0或B=0AB=AC或BA=CA推不出A=0或B=C矩阵的运算矩阵的运算 |kA|=kn|A|, |A+B|A|+|B|线性代数总复习逆逆 矩矩 阵阵可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵. 若ABAB=E E (或BABA=E E)，则A A可逆, 且B B=A A-1 (A A为方阵)。 （） (A-1) -1=A （） (AT)-1= =(A-1)T （） (kA)-1 =1/k A-1（） (AB)-1=B-1A-1
13、逆矩阵的计算: A A可逆|A A|0。 （） |A-1| =1/|A|（） (Ak)-1=(A-1)k A-k (A+B)-1A-1+B-1 =线性代数总复习伴伴 随随 矩矩 阵阵 |A A*|=|A A|n-1 (A A*)-1=A A/|A A|=(A A-1)* (A A可逆时)AAAA* *=A=A* *A=A=|A A|E E, A A可逆时有A A*=|A A|A A-1 (A AT)*=(A A* *)T (cA A)*=cn-1A A* * (ABAB)*=B B*A A* * (A Ak)*=(A A* *)k (A A* *)*=|A A|n-2A An=2时有: 线性代
14、数总复习初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 初等变换与初等方阵的关系： 初等变换: rirj , kri , rj+kri , cicj , kci , cj+cri 初等矩阵: Pi,j, Pi(k), Pi+j(k)矩阵的等价: A经初等变换变成B，称A与B等价；P-1i,j=Pi,j, P-1i(k)=Pi(1/k), P-1i+j(k)=Pi+j(-k)线性代数总复习分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵 设A A为n阶方阵, 若A A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非零子块都是方阵, 即 则称A A为分块对角矩阵分块
15、对角矩阵, 分块对角矩阵具有性质: （a） |A|=|A1|A2|As|（b）线性代数总复习 定义定义 给定向量组: 1, 2, , m , 若存在一组数 k1, k2,km , 使: =k1 1+k2 2+ +km m , 则称向量 可由向量组可由向量组 1, 2, , m线性表示线性表示, , 也称向向量量 是向量组是向量组 1, 2, , m的线性组合线性组合. . 称可互相线性表示的两个向量组等价等价.向量组的线性表示向量组的线性表示 向量可由向量组1, 2, , m线性表示当且仅当线性方程组 x11+x22+xm m=有解. 向量可由向量组1, 2, , m线性表示当且仅当向量组1,
16、 2, , m和1, 2, , m, 有相同的秩. 反之, 线性方程组Ax=b有解当且仅当常向量b可由系数矩阵A的列向量组线性表示.线性代数总复习 如果矩阵A可经过初等行(列)变换变成矩阵B, 则矩阵A和矩阵B的行(列)向量组等价. 若C=ABC=AB, 则矩阵C C的列向量组能由矩阵A A的列向量组线性表示, 而且矩阵B的各列恰是对应的表示式系数.向量组的线性表示向量组的线性表示 实际上, 由 可得, i=b1i1+b2i2+bmim . 若C=ABC=AB, 则矩阵C C的行向量组能由矩阵B B的行向量组线性表示, 而且矩阵A A的各行恰是对应的表示式系数.线性代数总复习 如果 , 则向量
17、 能用1, 2,m唯一线性表示. 而且此时有向量组的线性表示向量组的线性表示则表示式为: =a11+a22+amm 这是因为: (1,2,m)x=, 即 =x11+x22+xmm 的解为: x1=a1, x2=a2, , xm=am 线性代数总复习 如果 , 则向量 能用1, 2,m线性表示, 但表示式不唯一. 设此时有向量组的线性表示向量组的线性表示则表示式为: =(a1-c1r+1k1- c1mkm-r)1+ +(ar-crr+1k1 - crmkm-r) r +k1r+1 + +km-rm , k1,k2,km-2R线性代数总复习 定义定义 若存在一组不全为零的数k1, k2 , , k
18、s, 使: k1 1+k2 2+ +ks s=0 0则称向量组向量组 1, 2, , s线性相关线性相关, , 否则称线性无关线性无关. .向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组 1, 2, , s线性相关(线性无关)齐次线性方程组 x1 1+x2 2+xs s=0 0有非零解(只有零解). 反之, 齐次线性方程组 AxAx=0 0有非零解(只有零解) 矩阵A A的列向量组线性相关(线性无关)R(A)q, 则向量组 1, 2, p线性相关. 推论推论5 5 任意n+1个n维向量线性相关.线性代数总复习线性方程组的表示线性方程组的表示 矩阵形式: AxAx=b b, AxAx=0 0 向量
19、形式: x1 1+x2 2+xn n= 注意: 方程组有解和系数矩阵(行列式), 增广矩阵, 以及向量组的线性表示, 线性相关性之间的关系. x1 1+x2 2+xn n=0 0线性代数总复习 解空间为V=x=k11+k22+kn-rn-r|kiR是n-r维的 通解为: x=k11+k22+kn-rn-r , kiR (基础解系) A Am nx x=0 0, x1 1+x2 2+xn n=0 0 齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解R(A)=rn 1, 2, n线性相关 若 只有零解R(A)=n 1, 2, n线性无关 线性代数总复习 非齐次方程解+齐次方程解=非齐次方程解 A Am nx
20、 x=b b, x1 1+x2 2+xn n=b b 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 无解R(A)R(A A|b b)b b不能由 1, 2, n线性表示. 唯一解R(A)=R(A A|b b)=n 1, 2, n线性无关且b b 可由 1, 2, n线性表示. 无穷多解R(A)=R(A A|b b)n 1, 2, n线性相关且b b可由 1, 2, n线性表示. 非齐次方程解-非齐次方程解=齐次方程解 非齐次方程通解=非齐次方程特解+齐次方程通解 若R(A)=R(A A|b b)=r0(0(A0). =1y12+ 2y22+ryr2 (i0)则1, 2, , r中正数个数与1, 2, r中
21、正数个数相同. 定理定理(惯性定理) 设实二次型=x xT TAxAx, 其秩为r, 在不同的可逆线性变换x=Cyx=Cy和x=Dzx=Dz下化为标准形 =1z12+2z22+rzr2 (i0) 定义定义 的标准形中的正系数的个数称为的正惯性指数, 负系数的个数称为的负惯性指数. 线性代数总复习正定二次型正定二次型,正定矩阵的判定正定矩阵的判定 定理定理 n元实二次型=x xT TAxAx为正定(负定)二次型的充分必要条件是的正(负)惯性指数等于n. 定理定理 n阶实对称矩阵A正定(负定)的充分必要条件是A的n个特征值都是正数(负数). 定理定理 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式都大于0. A负定的充分必要条件是A的所有奇数阶顺序主子式都小于0, 偶数阶顺序主子式都大于0. 线性代数总复习
