3.1.1 倾斜角与斜率

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1、3.1 3.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 3.1.1 3.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率第三章第三章 直线与方程直线与方程1.1.掌握倾斜角和斜率的概念，理解倾斜角和斜率之间的关掌握倾斜角和斜率的概念，理解倾斜角和斜率之间的关系系; ;2.2.掌握经过两点的直线的斜率公式，并会应用公式解题掌握经过两点的直线的斜率公式，并会应用公式解题; ;3.3.掌握用代数问题研究几何问题的方法掌握用代数问题研究几何问题的方法. .我们学过函数我们学过函数y=x+1,y=x+1,它的图象是什么？它的图象是什么？ 如何在平面直角坐标系内确定它的位置如何在平面直角坐标系内确定它的位置? ?y y1

2、1x xo o-1-1两点两点确定一条直线确定一条直线. .一条直线一条直线思考思考1 1 已知直线已知直线l经过点经过点P，直线，直线l 的位置能够确定吗？的位置能够确定吗？yxOl 过一个点有无数条直线过一个点有无数条直线. .不确定不确定这些直线有何区别？这些直线有何区别？它们的倾斜程度不同它们的倾斜程度不同如何描述直线如何描述直线的倾斜程度？的倾斜程度？Pxyo规定：规定：当直线和当直线和x x轴平行或重合轴平行或重合时，它的倾斜角为时，它的倾斜角为0 0lx x轴正向轴正向与与直线向上直线向上的方向之间所成的角的方向之间所成的角. .直线倾斜角直线倾斜角的范围为：的范围为：一、直线的

3、倾斜角一、直线的倾斜角思考思考2 2 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？平面直角坐标系中每一条直线都平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角有确定的倾斜角; ;倾斜程倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角度不同的直线有不同的倾斜角;倾斜程度相同的直线其倾斜角相同倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.xyOlP思考思考3 3 确定平面直角坐标中一条直线的几何要素是什么？确定平面直角坐标中一条直线的几何要素是什么？xyo直线上的一个定点及它的倾斜角直线上的一个定点及它的倾斜角二者缺一不可二者缺一不可思考思考4 4 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表

4、示倾斜程度的量？前进量前进量升升高高量量3m3m3m3m坡度越大，楼梯越陡坡度越大，楼梯越陡前进量前进量升升高高量量“坡度比坡度比”是是“倾斜角倾斜角”的正切值的正切值. .xyo二、直线斜率的定义二、直线斜率的定义通常用小写字母通常用小写字母k k表示，即表示，即一条直线的倾斜角一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条的正切值叫做这条直线的斜率直线的斜率(slope).(slope).倾斜角倾斜角不是不是9090的直线都有斜率的直线都有斜率. .注意：注意：xyo如图，如图，为锐角为锐角思考思考5 5 已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？结论：结论：当时

5、，斜率当时，斜率k k0.若若为钝角，为钝角， 结论：结论：当当 时，时，k k. .同样，当同样，当 的方向向上时，也有的方向向上时，也有 成立成立. .说明：说明：此公式与两点坐标的顺序无关此公式与两点坐标的顺序无关思考思考6 6 当直线当直线 平行于平行于 轴，或与轴，或与 轴重合时，轴重合时， 还适用吗？为什么？还适用吗？为什么？O适用适用思考思考7 7 当直线平行于当直线平行于 轴，或与轴，或与 轴重合时，公式还适轴重合时，公式还适用吗？用吗？不适用，因为分母为不适用，因为分母为0.0.斜率不斜率不存在存在.O三、斜率公式三、斜率公式公式特点：公式特点： (1) (1) 与两点的顺序

6、无关与两点的顺序无关; ;(2) (2) 公式表明公式表明, ,直线的斜率可以通过直线上任意两点的直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示坐标来表示, ,而不需要求出直线的倾斜角；而不需要求出直线的倾斜角；(3) (3) 当当x x1 1=x=x2 2时时, ,公式不适用公式不适用, ,此时此时=90=900 0. .经过两点经过两点 的直线的斜率公式的直线的斜率公式例例1 1 如下图，已知如下图，已知A(3A(3，2),B(-42),B(-4，1),C1),C（0 0，-1-1）, ,求直线求直线ABAB，BCBC，CACA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是的斜率，并判断这些直线的

7、倾斜角是锐角还是钝角钝角. .OxyACB解：解：直线直线ABAB的斜率的斜率直线直线BCBC的斜率的斜率直线直线CACA的斜率的斜率分析：分析：直接利用公式求解直接利用公式求解由由 及及 知，直线知，直线AB AB 与与CACA的倾斜角均为锐角；的倾斜角均为锐角；由由 知，直线知，直线BCBC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角点拨：点拨：斜率为正，倾斜角为锐角；斜率为正，倾斜角为锐角； 斜率为负，倾斜角为钝角；斜率为负，倾斜角为钝角； 斜率为斜率为0 0，倾斜角为，倾斜角为 斜率不存在时，倾斜角为直角斜率不存在时，倾斜角为直角. .例例2 2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为在平面直角

8、坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1 1，-1-1，2 2和和-3-3的直线的直线 . .xy 解：解：设设 是是 上任一点，上任一点， 根据斜率公式有根据斜率公式有: :即即 设设 ，则，则 ， 于是于是 的坐标是的坐标是 过原点及点过原点及点 的直线即为的直线即为 分析：分析：找出直线异于原点的点找出直线异于原点的点. .同理是同理是 过原点及点过原点及点 的直线，的直线， 是过原点及点是过原点及点 的直线，的直线， 是过原点及是过原点及 的直线的直线xy1.1.请标示出以下直线的倾斜角请标示出以下直线的倾斜角. .xyOxyOxyO2.2.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率已知下列直线的

9、倾斜角，求直线的斜率. .3.3.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角还是钝角. .（1 1）C(18,8),D(4,-4); (2)P(0,0),Q(-1C(18,8),D(4,-4); (2)P(0,0),Q(-1， ).).4.4.已知已知a,b,ca,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜率的斜率. . (1)A(a,c),B(b,c); (2)C(a,b),D(a,c); (1)A(a,c),B(b,c); (2)C(a,b),D(a,c); (3)P(b,b+c),Q

10、(a,c+a).(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).xO2-1-11 15.5.画出经过点（画出经过点（0,20,2），且斜率为），且斜率为2 2与与-2-2的直线的直线. .y斜率为斜率为2 2的直线经过（的直线经过（0,20,2），（），（-1,0-1,0）两点；）两点；斜率为斜率为-2-2的直线经过（的直线经过（0,20,2），（），（1,01,0）两点）两点. .6.6.已知点已知点P(2,3),P(2,3),点点Q Q在在y y轴上轴上, ,若直线若直线PQPQ的斜率为的斜率为1,1,则点则点Q Q的的坐标为坐标为_._.(0,1)(0,1)7.7.斜率为斜率为2 2的直线，经

11、过点的直线，经过点(3,5),(a,7),(-1(3,5),(a,7),(-1，b)b)三点，三点，则则a,ba,b的值为的值为( ).( ).A.aA.a=4,b=0=4,b=0B.aB.a=-4,b=-3=-4,b=-3C.aC.a=4,b=-3=4,b=-3D.aD.a=-4,b=3=-4,b=3C C1.1.直线的倾斜角定义及其范围：直线的倾斜角定义及其范围：2.2.斜率斜率k与倾斜角与倾斜角 之间的关系：之间的关系：3.3.斜率公式：斜率公式：“几何问题代数化几何问题代数化”的思想的思想 观察下列的翘翘板，翘翘板的位置固定吗？观察下列的翘翘板，翘翘板的位置固定吗？观察下列的翘翘板，翘翘板的位置固定吗？观察下列的翘翘板，翘翘板的位置固定吗？ 不是每一粒种子都能发芽，不是每一段路程都铺满鲜花，不过不要忘记，乌云遮不住太阳的光华。