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1、学案学案4 4 简单线性规划简单线性规划名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 1.二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域（1）直线）直线l：ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三部分：把直角坐标平面分成了三部分：直线直线l上的点（上的点（x,y）的坐标）的坐标 ax+by+c=0;直线直线l一侧的平面区域内的点（一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足）的坐标满足ax+by+c0;名师伴你行满足满足 返回目录返回目录 直线直线l另一侧的平面区域内的点（另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标）的坐标 满足满足 .（2）若点（）若点（x0,y0）与点（）与点（x1,y1）在直线
2、）在直线l:ax+by+c=0的同侧的同侧,则则ax0+by0+c与与ax1+by1+c .（3）不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的）不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的平面点集的 ，因而是各个不等，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分式所表示的平面区域的公共部分.名师伴你行ax+by+c0 同号同号 交集交集 2.线性规划线性规划(1)对变量对变量x，y的约束条件若都是关于的约束条件若都是关于x,y的一次不等式，的一次不等式，则称为则称为 ；z=f(x,y)是欲达到最是欲达到最大值或最小值所涉及的变量大值或最小值所涉及的变量x，y的一次解析式，叫作的一次解析式，
3、叫作 .线性目标函数线性目标函数线性约束条件线性约束条件 返回目录返回目录 (2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为的问题，统称为 .满足线性约满足线性约束条件的解束条件的解(x,y)叫作叫作 ，由所有可行，由所有可行解组成的集合叫作解组成的集合叫作 .分别使目标函分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫作这个问题的数取得最大值和最小值的解，叫作这个问题的 .(3)设目标函数设目标函数z=ax+by+c,当当b0时，把直线时，把直线l0:ax+by=0向向 平移时，所对应的平移时，所对应的z随之增大；把随之增大；把l0向向
4、 平移时，所对应的平移时，所对应的z随之减小随之减小.名师伴你行下下 线性规划问题线性规划问题 可行解可行解 可行域可行域 最优解最优解 上上 返回目录返回目录 (4)在约束条件下，当在约束条件下，当b0时，求目标函数时，求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为：的最小值或最大值的求解程序为：作出可行域；作出可行域；作直线作直线l0:ax+by=0;确定确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；解方程组求最优解，进而得到目标函数的最小值或最解方程组求最优解，进而得到目标函数的最小值或最大值大值.名师伴你行返回目录返回目录 在平面直角
5、坐标系在平面直角坐标系xOy中中,满足不等式组满足不等式组 |x|y| |x|1考点一考点一考点一考点一 用二元一次不等式（组）表示平面区域用二元一次不等式（组）表示平面区域用二元一次不等式（组）表示平面区域用二元一次不等式（组）表示平面区域的点的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图形中的（的集合用阴影表示为下列图形中的（ ）名师伴你行 【分析分析分析分析】将各不等式化为将各不等式化为ax+by+c0(或或0)或或ax+by+c0(或或0)的形式，按步骤作出的形式，按步骤作出.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 【解析解析解析解析】若若0x1,当当y0时，要使时，要使|y|x|,则则
6、yx;当当y0时，要使时，要使|y|x|,则则y-x; 若若-1x0,当当y0时，要使时，要使|y|x|,则则y-x;当当y0时，要使时，要使|y|x|,则则yx. 故应选故应选C.名师伴你行 确定二元一次不等式确定二元一次不等式Ax+By+C0(或或0)表示表示的平面区域程序为：在直线的平面区域程序为：在直线l：Ax+By+C=0的一侧任取的一侧任取一个点一个点P（x0，y0），代入），代入Ax+By+C中，若中，若Ax0+By0+C0,则在直线则在直线l的含的含P点的一侧即为点的一侧即为Ax+By+C0所表示的区域；若所表示的区域；若Ax0+By0+C0,则在则在直线直线l的不含的不含P点
7、的一侧即为点的一侧即为Ax+By+C0所表示的区域，所表示的区域，即即“线定界，点定域线定界，点定域”.返回目录返回目录 名师伴你行对应演练对应演练对应演练对应演练设集合设集合A=（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长是三角形的三边长，则则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 A(由于由于x，y，1-x-y是三角形的三边长，是三角形的三边长， x+y1-x-y x+y , x+1-x-yy x , y+1-x-yx y . 再分别在同一坐标系中作直线再分别在同一
8、坐标系中作直线x= ，y= ，x+y= ，易知，易知A正确正确. 故应选故应选A.)故有故有名师伴你行 y0 yx y2-x txt+1为为S=f(t),试求试求f(t)的表达式的表达式.返回目录返回目录 考点二考点二考点二考点二 平面区域的面积问题平面区域的面积问题平面区域的面积问题平面区域的面积问题如果由约束条件如果由约束条件所确定的平面区域的面积所确定的平面区域的面积名师伴你行返回目录返回目录 【分析分析分析分析】画出不等式组表示的平面区域画出不等式组表示的平面区域,由由 平面区域的特点表示面积平面区域的特点表示面积. 【解析解析解析解析】由约束条件所确定的平面区域是五边形由约束条件所确
9、定的平面区域是五边形ABCEP(如图如图5-3-1),其面积其面积S=f(t)=SOPD -SAOB S ECD,而而SOPD = 12=1,SOAB = t2,SECD = (1-t)2,所以所以S=f(t)=1- t2- (1-t)2=- t2+t+ .名师伴你行 平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型题型,在解题时在解题时,关键是正确地画出平面区域关键是正确地画出平面区域,然后结合然后结合有关面积公式求解有关面积公式求解.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练 x0 y0 y-x2 表示的平面区域表
10、示的平面区域,则当则当a从从-2连续变化到连续变化到1时时,动直线动直线x+y=a扫过扫过A中的那部分区域的面积为中的那部分区域的面积为 .若若A为不等式组为不等式组名师伴你行返回目录返回目录 (在平面直角坐标系内画出不等式组在平面直角坐标系内画出不等式组 x0, y0, y-x2，角形区域（包括边界），其中三个顶点坐标分别是角形区域（包括边界），其中三个顶点坐标分别是 O（0，0） ， C（-2，0），）， B（0，2）. 再画出直再画出直 线线x+y=-2与与x+y=1，记直线，记直线x+y=1与与y-x=2、y轴的交轴的交 点点分别为点分别为点D，E，则点，则点D(- ， )，E（0，1
11、）.结合图结合图形可知，当形可知，当a从从-2连续变化到连续变化到1时，动直线扫过时，动直线扫过A中的那中的那部分区域是四边形部分区域是四边形OCDE，因此所求区域的面积等于，因此所求区域的面积等于 22- 1 = .)所表示的平面区域，可以看出是一个三所表示的平面区域，可以看出是一个三名师伴你行 x1 x-3y-4 3x+5y30(1)求目标函数求目标函数z=2x-y的最大值和最小值的最大值和最小值;(2)求目标函数求目标函数z=x2+y2+10x+25的最小值的最小值;(3)若目标函数若目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个取得最大值的最优解有无穷多个求求a的值的值.(4)求目标
12、函数求目标函数z= 的取值范围的取值范围.考点三考点三考点三考点三 最值问题最值问题最值问题最值问题 已知已知x,y满足约束条件满足约束条件返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 【分析分析分析分析】 (1)由线性规划求出由线性规划求出z=2x-y的最大的最大(小小)值值; (2)z=x2+y2+10x+25表示可行域上一点到表示可行域上一点到(-5,0)的距离平的距离平方方;(3)z的几何意义是直线的几何意义是直线y=-ax+z在在y轴上的截距；轴上的截距；(4)z= 表示可行域上一点表示可行域上一点(x,y)与与(-5,-5)点连点连线的斜率线的斜率. 【解析解析解析解析】 (1)作
13、出可行域如图所示作出可行域如图所示:名师伴你行作直线作直线l:2x-y=0,并平行移动使它过可行域内的并平行移动使它过可行域内的B点点,此时此时z有最大值有最大值;过可行域内的过可行域内的C点点,此时此时z有最小值有最小值, x-3y=-4 3x+5y=30, x=1 3x+5y=30， zmax=25-3=7,zmin=21- =- .返回目录返回目录 解解得得B(5,3).解解得得C(1, ).名师伴你行返回目录返回目录 (2)由几何意义由几何意义,可行域上一点到可行域上一点到(-5,0)的最小距离的最小距离在在A处取到处取到. x=1 x-3y=-4 最小距离最小距离d= . zmin=
14、d2= . 由由得得A(1, ).名师伴你行 (3)一般情况下一般情况下,当当z取得最大值时取得最大值时,直线所经过的点直线所经过的点都是唯一的都是唯一的,但若直线平行于边界直线但若直线平行于边界直线,即直线即直线z=ax+y平平行于直线行于直线3x+5y=30时时,线段线段BC上的任意一点均使上的任意一点均使z取得取得最大值最大值,此时满足条件的点即最优解有无数个此时满足条件的点即最优解有无数个. 又又kBC=- ,- a=- , a= .返回目录返回目录 名师伴你行 (4)z= ，可看作区域，可看作区域内的点（内的点（x，y）与点与点D（-5，-5）连线的斜率）连线的斜率. 由图可知，由图
15、可知，kBDzkCD, kBD= ， kCD= ， z= 的取值范围为的取值范围为 .返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 线性规划求最值问题，要充分理解目标函数的几线性规划求最值问题，要充分理解目标函数的几何意义，何意义， 诸如直线的截距、两点间的距离（或平方）、诸如直线的截距、两点间的距离（或平方）、点到直线的距离、过已知直线两点的斜率等点到直线的距离、过已知直线两点的斜率等.名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练 7x-5y-230 x+7y-110 4x+y+100.（1） 的取值范围；的取值范围；（2）x2+y2的最大值和最小值的最大值和最小值.已知已知
16、x,y满足条件满足条件求：求：名师伴你行返回目录返回目录 (1)如图所示，如图所示，ABC区域为不等式组区域为不等式组 7x-5y-230 x+7y-110 4x+y+100, 其中其中A（4，1），），B（-1，-6），），C（-3，2）. 可以理解为区域内的点与点可以理解为区域内的点与点D（-4，-7）连线的斜率）连线的斜率.由图可知，连线与直线由图可知，连线与直线BD重合时，倾斜角最小且为锐角重合时，倾斜角最小且为锐角.连线与直线连线与直线CD重合时，倾斜角最大且为锐角重合时，倾斜角最大且为锐角.kDB= ，kCD=9 ， 的取值范围为的取值范围为 .表示的平面区域，表示的平面区域， 名
17、师伴你行 (2)设设u=x2+y2，则，则 为点（为点（x，y）到原点的距）到原点的距离离.结合不等式组所表示的区域，不难知道：点结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点的到原点的距离最大，而当点（距离最大，而当点（x，y）在原点时，距离最小且为）在原点时，距离最小且为0.umax=(-1)2+(-6)2=37,umin=0.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 预算用预算用2 000元购买单价为元购买单价为50元的桌子和元的桌子和20元的椅子，元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，希望使桌椅的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的且不多于桌子数
18、的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？倍，问桌、椅各买多少才行？ 【分析分析分析分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际利用线性规划的思想方法解决某些实际 问题属于直线方程的一个应用问题属于直线方程的一个应用.本题主要考查找出约束本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解线求得满足题设的最优解.考点四考点四考点四考点四 线性规划的应用线性规划的应用线性规划的应用线性规划的应用 名师伴你行返回目录返回目录 【解析解析解析解析】设桌椅分别买设桌椅分别买x，y张，把所给的条件表示张，把所给的条件表示成不等式组，成
19、不等式组， 50x+20y2 000, yx, y1.5x， x0， y0. 50x+20y=2 000， x= ， y=x， y= .解得解得由由 即约束条件为即约束条件为名师伴你行A点的坐标为点的坐标为( ， ) . 50x+20y=2 000, x=25, y=1.5x, y= .B点的坐标为点的坐标为(25, ).满足约束条件的可行域是以满足约束条件的可行域是以 返回目录返回目录 由由解得解得A( ),B(25, ),O(0,0)为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域(如图如图5-3-3).名师伴你行由图形直观可知由图形直观可知,目标函数目标函数z=x+y在可行域内的最在可行域内的最优解
20、为优解为(25, ),但注意到但注意到xN*,yN*,故取故取y=37.故买桌子故买桌子25张张,椅子椅子37张是最好选择张是最好选择.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件数这个隐含条件,若从图形直观上得出的最优解不满足若从图形直观上得出的最优解不满足题设时题设时,应作出相应地调整应作出相应地调整,直至满足题设直至满足题设.名师伴你行对应演练对应演练对应演练对应演练 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t，已知生产甲产品，已知生
21、产甲产品1t需煤需煤9t，电力，电力4 kW，劳力，劳力3个个（按工作日计算）；生产乙产品（按工作日计算）；生产乙产品1t需煤需煤4t，电力，电力5kW，劳力劳力10个；甲产品每吨个；甲产品每吨7万元，乙产品每吨万元，乙产品每吨12万元；但万元；但每天用煤量不得超过每天用煤量不得超过300t，电力不得超过，电力不得超过200kW，劳力，劳力只有只有300个个.问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能既保证完成生产任务，又能为国家创造最多的财富既保证完成生产任务，又能为国家创造最多的财富.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 将已知数据列成下表：将已知
22、数据列成下表：甲产品甲产品（1t1t）乙产品乙产品(1t)(1t)限额资源限额资源煤煤(t)(t)9 94 4300300电力电力(kW)(kW)4 45 5200200劳力劳力( (个个) )3 31010300300单位单位( (万元万元) )7 71212设每天生产甲产品设每天生产甲产品xt,乙产品乙产品yt,总产值总产值S万元万元,依题意约束依题意约束条件为条件为名师伴你行x15,y15,9x+4y300,4x+5y200,3x+10y300.目标函数为目标函数为S=7x+12y.返回目录返回目录 约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域
23、的内部的点加上它的边上的点点加上它的边上的点(如图阴影部分如图阴影部分).名师伴你行返回目录返回目录 现在要在可行域上找出使现在要在可行域上找出使S=7x+12y取最大值的点取最大值的点(x,y). 作直线作直线S=7x+12y,随着随着S取值的变化取值的变化,得到一束平行得到一束平行直线直线,其纵截距为其纵截距为 ,可以看出可以看出,直线的纵截距越大直线的纵截距越大,S值也越大值也越大. 从图中可以看出从图中可以看出,当直线当直线S=7x+12y经过点经过点A时时,直直线的纵截距最大线的纵截距最大,所以所以S取最大值取最大值.名师伴你行 4x+5y-200=0, 3x+10y-300=0,
24、故当故当x=20，y=24时，时，S最大值最大值 =720+1224=428(万元万元). 答：每天生产甲产品答：每天生产甲产品20t，乙产品，乙产品24t，这样既保证，这样既保证 完成任务，又能为国家创造最多的财富完成任务，又能为国家创造最多的财富428万元万元.返回目录返回目录 解方程组解方程组 得得A(20,24).名师伴你行返回目录返回目录 1.1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中条件，找出约束条件和目标
25、函数是关键，可先将题目中条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数. . 2. 2.可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域大的平面区域大的平面区域大的平面区域. .名师伴你行
