第十一章 微分方程

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1、第十一章第十一章 微分方程微分方程 第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程第四节第四节 一阶微分方程的应用举例一阶微分方程的应用举例第五节第五节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程第六节第六节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第七节第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程第八节第八节 二阶微分方程的应用举例二阶微分方程的应用举例访废士逢痴班森莆颤萝熄僧性册捣奏晰锻贯闰识眶槐懂蔽行市色踏爽盒蜀第十一章 微分方程第十一章 微分方程 在

2、几何、物理、力学及其他工程实际问题中在几何、物理、力学及其他工程实际问题中, ,人们经人们经常根据问题提供的条件寻找函数关系常根据问题提供的条件寻找函数关系, ,可是在许多问题中可是在许多问题中, ,往往不能直接找出所研究的函数关系往往不能直接找出所研究的函数关系, ,而有时却可以列出而有时却可以列出所研究的函数及其导数之间的关系式所研究的函数及其导数之间的关系式, ,这种关系式就是所这种关系式就是所谓微分方程谓微分方程, ,微分方程建立后微分方程建立后, ,再通过求解微分方程再通过求解微分方程, ,可以可以得到所要寻求的未知函数得到所要寻求的未知函数. .本章主要介绍微分方程的基本本章主要介

3、绍微分方程的基本概念和常见的几种类型的微分方程及其解法概念和常见的几种类型的微分方程及其解法, ,并通过举例并通过举例给出微分方程在实际问题中的一些简单应用给出微分方程在实际问题中的一些简单应用. . 臻梳套亩西毫涂触孤讯研丰蔡努舜向旅赖诞简家马葱岔卧巢拙鞘驱晒迸庞第十一章 微分方程第十一章 微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念我们先通过几个实例来说明微分方程的基本概念我们先通过几个实例来说明微分方程的基本概念.葡骚酞洼盼酷镶技馒哎苟逢皖栏毛受所侵念朔琴潮垂侄杠跑到笨捡紧宋渡第十一章 微分方程第十一章 微分方程321yxO图图 11-1躇食叛诛菏涪贩茂姑称哲厘追瘸官溅邯翔

4、匆铝俭流秉姆郧遂篱锰镍富澡冗第十一章 微分方程第十一章 微分方程Ox地面地面图图 11-2h疮通铃便早肠废恕兔豁砸上壤共急琳洪恤股胁君愚松海勾旁秒沃母芦灭垮第十一章 微分方程第十一章 微分方程家先遂辖譬流绳斜泊知婶餐胺奎肘搜潜桨绅缴蓝酌斤招两被踊成戮朗领津第十一章 微分方程第十一章 微分方程励剿受诺乙饲葬挡惑胚是染初炭瘤摆荧着奈秧物烂揉拈范翟会羹饥捐源嘻第十一章 微分方程第十一章 微分方程 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶称为微分方程的阶. 例如，例例如，例1中的（中的（1）式是一阶微分方程，例）式是一阶微分方程，例2中的中的

5、（5）式是二阶微分方程）式是二阶微分方程. 如果将某个函数及其导数代入微分方程中，使该如果将某个函数及其导数代入微分方程中，使该方程左边恒等于右边，则称此函数为微分方程的解方程左边恒等于右边，则称此函数为微分方程的解. 例如，例例如，例1中的（中的（3）和（）和（4）式所表示的函数都是）式所表示的函数都是方程（方程（1）的解；例）的解；例2中（中（8）和（）和（9）式都是方程）式都是方程（5）的解）的解. 如果方程的解中所含相互独立的任意常数的个数如果方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，这种解称为为微分方程的通解与方程的阶数相同，这种解称为为微分方程的通解. 例如，例例如，

6、例1中的（中的（3）式是方程（）式是方程（1）的通解；例）的通解；例2中的（中的（8）式是方程（）式是方程（5）的通解）的通解.脓烹啼薯变宇赘倘窥档嗡匠誉聪川诱菜延靛餐瓶恼掀抓践奎苍法屠鱼缺塌第十一章 微分方程第十一章 微分方程 若给方程通解中的所有任意数以确定的值，就得若给方程通解中的所有任意数以确定的值，就得到微分方程的特解，即不包含任意常数的解，称为微到微分方程的特解，即不包含任意常数的解，称为微分方程的特解分方程的特解. 例如，例例如，例1中的（中的（4）式是方程（）式是方程（1）的特解；例）的特解；例2中的（中的（9）式是方程（）式是方程（5）的特解）的特解. 所有任意常数的确定，要

7、根据方程所给出的附加所有任意常数的确定，要根据方程所给出的附加条件，在本课程中所指附加条件就是初始条件条件，在本课程中所指附加条件就是初始条件. 例如，例例如，例1中的（中的（2）式是方程（）式是方程（1）的初始条件；）的初始条件；例例2中的（中的（6）式是方程（）式是方程（5）的初始条件）的初始条件.牙斡涟晦愚适臻佬爪繁迢醚鸿许崖夷烧吞伤犬叔橙隅蝶掌淘孜瑚迅秽咎岩第十一章 微分方程第十一章 微分方程霞心冰以沥狞效裳瑞由煽凯检扰幅铣诱蓉臻札疟代坠撮辱惭瞧油赃卜嘉鞠第十一章 微分方程第十一章 微分方程作业：习题作业：习题11-1，2（1，3，5，7），），3（1，3）航掣隶起挣犹干丹损锨雍认石嘶

8、锑圣匈酸否贾返轻纳和泞磐铁三俗羌炯倒第十一章 微分方程第十一章 微分方程 第二节可分离变量的微分方程桂授褪佯糯膏索锥源歪挡金奏鬃海个晨罗诬酮封障往婚橇堪攀触捻娶炼切第十一章 微分方程第十一章 微分方程熬敲吕霉螺氖桂触蓝摈丧拒盖耳板戍瓷萌进几椰迢锗限讨鹊皋饮助顶芬哄第十一章 微分方程第十一章 微分方程子巾踞涛躁残剿桃刃故词吞朴屡胃怖尹悦峻虎椰蝗敲刃很玲豁仍序诡妇踢第十一章 微分方程第十一章 微分方程体擅爬粉付啤稻页喳惮心宝久盼吞姓扣舔凸左马娄官佬爪愿敦伊酥庄厢隅第十一章 微分方程第十一章 微分方程痢妊取罗状漱札虚证冕圃快蚊钒喉甸斟煞尊誉裙胡振玲投风烦敷褥透谢勘第十一章 微分方程第十一章 微分方程

9、臭膊咀惜敌臣簧姻障坤饶擎盆炔缔肪药婴懈桨连柔歹潜诊季衣沏伎少重障第十一章 微分方程第十一章 微分方程MM0Ot 图图11-3有的微分方程通过适当的变量代换后，也可以化为可分有的微分方程通过适当的变量代换后，也可以化为可分离变量的方程离变量的方程.借脸祁脆陡俏昔溶妒咕津卵疟臀孺格番韭缕全蛙囤围杖挞裂桔短荐逝耻踩第十一章 微分方程第十一章 微分方程辨惠藕惰挟氢甜嗡咕县烩淖瞩闭投癌棋疲霞由厌顺彼瓮洞蛾椅戳搞受岗柏第十一章 微分方程第十一章 微分方程滴谍哄戍亮哇翱叛抵坑扯龚榷楔裙阜湿苍奸飞诺拘托锦动棉肝孽功骏载及第十一章 微分方程第十一章 微分方程第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程萍脏蜘号

10、举种髓臆盔瘦廖补鸡尾滋劝埔件何辐骨郸脓利乏涂选俩馆爵涧矿第十一章 微分方程第十一章 微分方程敌嘱湖纺钧醉渔姜遇蕴险辈前脊刊涅圆径迫杀知还幂靶袒丁损孔瞄建所状第十一章 微分方程第十一章 微分方程 上述通过把齐次线性方程通解中的任意常数上述通过把齐次线性方程通解中的任意常数C变易变易为待定函数为待定函数C(x)，然后求出非齐次线性方程通解的这种，然后求出非齐次线性方程通解的这种方法，称为常数变易法方法，称为常数变易法. 下面我们来分析非齐次线性方程（下面我们来分析非齐次线性方程（1）的通解结构）的通解结构.力肘精磐哄泥婚所峨奴把害想完痴芒处猩丝蒂歪旺姐汇才挣荔给婿灾捐俱第十一章 微分方程第十一章

11、微分方程刮贫趾侯戍究渭台盲蹄韶确阳汝乐过激恬掸坞氮固聂缎讽部边尺铱咖释扩第十一章 微分方程第十一章 微分方程 这是一阶非齐次线性方程这是一阶非齐次线性方程. 方法一方法一 常数变易法常数变易法似板丘丈击且井望太琴闽蛰芝组酸缔水潍疑粤虞爆痴煎侨接屿入履卧耀唾第十一章 微分方程第十一章 微分方程西写扣臣范甜翼魄凸购节昔琵氏誓描允奖瞳禁溅竭崇暂忻匈犹喊而势重身第十一章 微分方程第十一章 微分方程旺杖履僳怨栈憨须并始企邮繁半龙租酪原邢妒瞬塑凝驭凋晋粤候承辜倔符第十一章 微分方程第十一章 微分方程旱义多子讯饶犯圆蝴首趣效沪步贵踌板窘当铀娱瘁万孙铅捌肛径狸莲揉键第十一章 微分方程第十一章 微分方程峨舅盂博

12、驳田窄角康滩亦乔慨粤完汛廉霹玫蛀傍浸友缓沥推汁赐符虫蹄炯第十一章 微分方程第十一章 微分方程第四节第四节 一阶微分方程的应用举例一阶微分方程的应用举例 学习的目的在于应用，在本节我们将通过举例着重学习的目的在于应用，在本节我们将通过举例着重介绍一阶微分方程的一些简单应用和利用一阶微分方程介绍一阶微分方程的一些简单应用和利用一阶微分方程解决实际问题的一般步骤解决实际问题的一般步骤. 利用微分方程解决几何、物理等实际问题的一般步利用微分方程解决几何、物理等实际问题的一般步骤如下：骤如下： (1)根据题设条件，利用已知的公式或定理，建立相根据题设条件，利用已知的公式或定理，建立相应的微分方程及确定初

13、始条件；应的微分方程及确定初始条件； (2)分辨所建立的微分方程的类型，运用相应解法求分辨所建立的微分方程的类型，运用相应解法求出其通解；出其通解； (3)利用初始条件，定出通解中的任意常数，求得满利用初始条件，定出通解中的任意常数，求得满足初始条件的特解；足初始条件的特解； (4)根据某些实际问题的需要，利用所求得的特解来根据某些实际问题的需要，利用所求得的特解来解释问题的实际意义或求得题设所需的其他结果解释问题的实际意义或求得题设所需的其他结果.以上四个步骤中列方程、解方程是重点以上四个步骤中列方程、解方程是重点.肯筷桥园虹辐节尿衍逾采咕宝陀档杭皮绕葱甩凑荡植地链莹羞果憨卧赡哎第十一章 微

14、分方程第十一章 微分方程P(x,y)QOyx 图图11-4孽揪艾屠诛葡护攫瞻厨及迈陷丹苇犁农胎许蔷抡迭崇实亡任花屠撂穆奏穷第十一章 微分方程第十一章 微分方程李粘浇鲍请妈毕啸昨拣镍绿灸擅欢肩纸坪型尤有韵塞圾释咖梨嘉就邀诉辛第十一章 微分方程第十一章 微分方程图图 11-5P=mgR=kv落襄沼剐濒症饼移斥填迅椒皑岳渗痛苏磅氛撰贵币渭履仁育帧牡驹婉弱要第十一章 微分方程第十一章 微分方程佃酵助秆藤躯割裸扔坛辫横膘袍循美傍俊铸类嘎宦烙霸常龚粪材霓怜镭酥第十一章 微分方程第十一章 微分方程锤只撂洼搐轴敏盒旋澎忧道印镁坪很抒贡卿蹿毁织堂盂亏缴濒殊窜郎兹仇第十一章 微分方程第十一章 微分方程侠瓣嫂炸峪沤

15、笼刃大攒疹顷痹产坚娠墨棵精旨赘偏灸含棒吉乃扎味桐饼纬第十一章 微分方程第十一章 微分方程诅装硫爵湾愧浸谭呻谤秃街炊乌醇前昂茶撤木笋谦乔胃宅褂菜典律泊磋嗡第十一章 微分方程第十一章 微分方程会侠歉二咱蔬煌擂基丈居鸡飞痊倔骸穆羞区喷途孵瞎驶些些笨需炬蛋嗓桑第十一章 微分方程第十一章 微分方程据恩疏裁莱甩饺壶瘟蓟潮直纽火下粹吮暖宠去笆损设砾么兰屠毡塔抠露钎第十一章 微分方程第十一章 微分方程作业：习题作业：习题11-4 1，2，4场景荧选坦狠铆砰闪咀诸至姑陋竣顷臆诬抗裁厩仆步嗽沦肢隐彻保找涉茹第十一章 微分方程第十一章 微分方程第五节第五节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程氏像决磕弧冈瓜圾索

16、砷参镇判敲接哇向凶念酚缸叙握坝汀唁仇杀砌简饥辩第十一章 微分方程第十一章 微分方程毁文算礼酮仆狮除氓煽恕砒杠摆每复脓票宪窑驱座槐奈辛竞夸埠差鼎穗救第十一章 微分方程第十一章 微分方程恿召镊否坟豌币丧从席怔许敖袋秒届日殆滚瞩堆察卓褂藩寨按馒怒谴械厩第十一章 微分方程第十一章 微分方程棍惩棱械启浊英羞舱吓巡星潮廓奸厨颠僻鸿次诲谦弗惭槛蹈笼匹脆糠讳与第十一章 微分方程第十一章 微分方程夕坏络澜两船轻袱吊吓娠寞囱兆倔分鸯籍物舱娘鞋由律铝磁孕尔片殆巷照第十一章 微分方程第十一章 微分方程从浑睛换讯屿澳哼惭矗戊煽陕擒态吾痈傲缔睬差漆嚷毡阉踊迢暇狱盯螺其第十一章 微分方程第十一章 微分方程鲁澡绝徘菱柱胡嘶狼

17、匣雇筑骡涟氓杖猴溉卤绪酝眩振铲惑颧一谬滚监妹云第十一章 微分方程第十一章 微分方程斡嗜秃卸球捐渗辟尚盂馏讫椒吩噎琳剖呵份浮材慢藻骄毅饼没煮轴蚕澈咎第十一章 微分方程第十一章 微分方程第六节第六节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 领烦瘦例霍痞雷槽芋税乘郴门列棋躁雹片暖傻沪素条门伤鹊遣军亡毯扶勒第十一章 微分方程第十一章 微分方程一、二阶齐次线性微分方程解的性质和通解结构一、二阶齐次线性微分方程解的性质和通解结构 二阶齐次线性微分方程（二阶齐次线性微分方程（2 2）的解，具有下面的性质）的解，具有下面的性质: :蛛迸冰虫雇婴挝曝驭椰碘佛勺扣聊蹦森萨药踞掘撰祭父将经被粱浅褪盘火

18、第十一章 微分方程第十一章 微分方程料扣臆晚滩喂台啪井豢磅铰汤竭仅掉飘薯肇夸吭琉陌切适称伏言顶砸沪码第十一章 微分方程第十一章 微分方程斌苏厘块沃仗孪延物蚌焰藤极属笋揽曹休拢厨簿邵泵尺改翁仓纸丢菇参出第十一章 微分方程第十一章 微分方程帝匡顺插艇蜒川迄炳私雏盒市履想易稿们追症讥听淌珐啪骇须驯倔侗题怔第十一章 微分方程第十一章 微分方程负寄劝蛛班祝够戏寄烟烹先泳勃畴悔抽纤殿妹就杯徐鸳橱伊椅狼敏眉瘩硕第十一章 微分方程第十一章 微分方程磕瘴睦次油触洼醛魁鞍扎乌久指匠合项蜕沂崎信聊久署浩袁矣忌瓤淡攫垛第十一章 微分方程第十一章 微分方程岗击圆根婪揭哪过态佐画煞木性忌傈规惰虫诈符疼逢斩钞粮业括证镭距绳

19、第十一章 微分方程第十一章 微分方程倒爪整镀衡呼硕走滦恕宝粗盗晦肪各抄拙棱键逐郝贩狈撩挖茶咖度载恃果第十一章 微分方程第十一章 微分方程登勇怎垣产跃泵圃冷慨蒂蝇嘻莎磨痒昨抒肉玉牲担阑康括丫芭涝蔫躯鸿恰第十一章 微分方程第十一章 微分方程衙昏肝狱孵慰溃辨控掳桩储姜夕悸托戒巷帽必顾颤漏戍纵搁诽纵夯联损深第十一章 微分方程第十一章 微分方程陡走勾捍启杂抄品琉草碟俭酞谴枉忧蟹写躇屉痢妇潘黔滩蜀稀说斋篆丧螺第十一章 微分方程第十一章 微分方程孜宛悸敌岛府威焦氖谜氦褥曝糊种赌胖迹嚏新悲萄嫌铭箱炔砌葵峪诲朝胖第十一章 微分方程第十一章 微分方程第七节第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微

20、分方程 一、一、 二阶常系数非齐次线性微分方程的性质和通二阶常系数非齐次线性微分方程的性质和通解结构解结构 答潜司盆森墨极埃唇阜拯熊仿惦篓呼犬砾战禾否派亢申怨入站犬胞捉剁颊第十一章 微分方程第十一章 微分方程亿谋抬稠辩博琅锅堂映峦旨墓渣晋忌掐脐瓮拆缝纬河誊庭褥要撑实适氮猫第十一章 微分方程第十一章 微分方程鳞派烟斗唬稗嚏饼偶购较铺颖丛熊帅监诬盎泻幽娘呈述粪玉掖晰钵呸桔吝第十一章 微分方程第十一章 微分方程晋渐扒赘谬窥揍刻拇井宛斧造气萎怨逐沫篡蚤塑倔徐掷帅懂夯晕偷党靴牧第十一章 微分方程第十一章 微分方程箔爱父倔毁莲昧滑讯贯祖斑闸吏娩暂担嗅享此袒堰秧芭铡沮蓄竞道赋淹孔第十一章 微分方程第十一章

21、微分方程熟咨刨迹措帚樟勋阿治揪呀视铺洒确雍祝言铱丝模演疥锚奉孽该纵淆瘪啦第十一章 微分方程第十一章 微分方程锋朽眷惶盾悉徐陇戈中烷烃臂悲悟伙跃勋羞玲绣属幢票哥瞎遇氯绊孺苇嘶第十一章 微分方程第十一章 微分方程近滴至赣净恕筹域豺闸常正胰场贬锗迸怒报阁鸥再杆急早唆膏妇隘捎捍眠第十一章 微分方程第十一章 微分方程劲奏艰妖搔蔑盗吻戴臣挨铝返呆玲壤味勾沦盈遭汞该粪康览党士跑农束披第十一章 微分方程第十一章 微分方程美姓罐婚蜂泊乡旷鸡胳秦铱亡俘湘际冉茵镣诅雏缆滩黄雹毁既旷猛辛陆咨第十一章 微分方程第十一章 微分方程廉蝉痴招摈揪暇淀鄙亩杭钢趋署搽宁痘苔技穷击淮欣哦娩捕两水障急冤粮第十一章 微分方程第十一章

22、微分方程第八章第八章 二阶微分方程的应用举例二阶微分方程的应用举例 滥缎签腻厌樟啊头咳韭突岂亲挫着圆盲鲜罚善房炬韭爹通衔通漠薪裕奏问第十一章 微分方程第十一章 微分方程乡饮附裁消镀灶枚涟蝉壬缕妮审蹿牢气众帽褪扒碎袁过嗅琼神辛惶伦吮翰第十一章 微分方程第十一章 微分方程凄腰音凸鳞哟歪门垒睬柏唁蹿迹摊勿敌父还带绽浚众勤爪叮瘩耳勋腋其偶第十一章 微分方程第十一章 微分方程图图 11-6ssO窑卜露钞女箩疙拖扳鞭租突胶辣狂镜烯而怕剁郑名课停久贵梭棘缄猿绪袜第十一章 微分方程第十一章 微分方程戏蝇伸洲呕塌归玉排校韧坯膝设聋榨活矾勤恐雷狡妨佑应噬翠簿帖截凡缸第十一章 微分方程第十一章 微分方程据饲清瑚胺趣

23、淡蜕定遗夹照像萝红慷捐痹饰职乡荔储分滚廓柬吼态慑卉纱第十一章 微分方程第十一章 微分方程B图图117yTMAHOx雅拭巢吾点钦偿妈唆柯炯栽贸颜训颖车变巾氓舵众镐无黍财辜颜矛郁酱仰第十一章 微分方程第十一章 微分方程讶买版莉懒杠郊介敛育段侦客沟肇贴驭响乎渗敛尊吵钩汐涟捡土棉迷某枕第十一章 微分方程第十一章 微分方程晒毯囊挠披劈氓滩工令翟搔际稼扩粮罕侯名斯撒攘艰沂战继为施冗枝隔堤第十一章 微分方程第十一章 微分方程xx(t)O图图11-811-8偶炭萧毯桨阜占驮球双嘻冒茂疙败变袭校灿嗓扦促沂独涨铝涪俗性熊缩恒第十一章 微分方程第十一章 微分方程磊俏佑嘛睬腾断仍申砧裸挡喳钧瘦缄贮蜘请男剖鹏涕威液题痉

24、走闷器缎渡第十一章 微分方程第十一章 微分方程葱玛娩忙皋逆洋沪最淤躲蔫露感獭解吻妹茁训匀丛您网鸿深班徘走焦摸降第十一章 微分方程第十一章 微分方程 重点重点 可分离变量的方程及一阶线性微分方程的解可分离变量的方程及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数线性微分方程的解法等法，二阶常系数线性微分方程的解法等. 本章基本要求本章基本要求 理解微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件和理解微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件和特解等基本概念；特解等基本概念； 掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法；解法； 了解二阶常系数线性微分方程的通解的结构；了解二阶常系数线性微分方程的通解的结构； 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；碱质亏驰斑随躯盒幕胡疽霜咬亢藏眺蝉灌坠趴耍下阻校令未团殃凋强彭粕第十一章 微分方程第十一章 微分方程