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1、第十三章第十三章 结构弹性稳定结构弹性稳定 13-113-1 概述概述概述概述 13-213-2 用静力法确定临界荷载用静力法确定临界荷载用静力法确定临界荷载用静力法确定临界荷载 13-313-3 具有弹性支座压杆的稳定具有弹性支座压杆的稳定具有弹性支座压杆的稳定具有弹性支座压杆的稳定 13-413-4 用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载 13-513-5 变截面压杆的稳定变截面压杆的稳定变截面压杆的稳定变截面压杆的稳定 13-613-6 剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响 13-713-7 组合压杆的
2、稳定组合压杆的稳定组合压杆的稳定组合压杆的稳定 1.1.平衡状态的稳定性平衡状态的稳定性 结构失稳：结构失稳：结构离开稳定的平稳状态，转入不稳结构离开稳定的平稳状态，转入不稳结构离开稳定的平稳状态，转入不稳结构离开稳定的平稳状态，转入不稳 定平衡状态定平衡状态定平衡状态定平衡状态或随遇平衡状态，或随遇平衡状态，或随遇平衡状态，或随遇平衡状态，称为结构失称为结构失称为结构失称为结构失稳稳稳稳或结或结或结或结 构屈曲。构屈曲。构屈曲。构屈曲。 2.2.结构失稳结构失稳13-1 概述概述稳定的平衡状态稳定的平衡状态 不稳定的平衡状态不稳定的平衡状态随遇平衡状态随遇平衡状态 结构失稳结构失稳的类型的类
3、型： 平衡状态：平衡状态： 第一类失稳第一类失稳第二类第二类第二类第二类失失失失稳稳稳稳 结构稳结构稳定分析的目的定分析的目的：防止不稳定防止不稳定防止不稳定防止不稳定的平衡状态的平衡状态的平衡状态的平衡状态或或或或 随遇平衡状态发生随遇平衡状态发生随遇平衡状态发生随遇平衡状态发生。 3.3.第一类失稳第一类失稳( (分支点失稳分支点失稳) ) 当当 FFcr 时，在杆的横向作时，在杆的横向作 用一微小的干扰力使杆弯用一微小的干扰力使杆弯 曲，取消干扰力后，杆会恢曲，取消干扰力后，杆会恢 复直线，此时，复直线，此时，压杆的直线压杆的直线 平衡是稳定的平衡是稳定的。 当当 F=Fcr 时，同样在
4、杆的横时，同样在杆的横 向作用一微小的干扰力使杆弯曲，但取消干扰力后，杆不向作用一微小的干扰力使杆弯曲，但取消干扰力后，杆不 会恢复直线而会恢复直线而仍保持弯曲平衡仍保持弯曲平衡，于是出现了平衡形式的，于是出现了平衡形式的分分 支支，即此时压杆即可以具有，即此时压杆即可以具有原来只受轴力的直线平衡原来只受轴力的直线平衡，也，也 可以具有可以具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式。FFcrAFcr OF F 曲线曲线 Fcr 临界荷载，临界荷载， 特征：平衡形式会发生质变，即出现分支点。特征：平衡形式会发生质变，即出现分支点。 理想中心受压直杆理想中心受压直杆 此时
5、的状态称为此时的状态称为临界状态。临界状态。 4.4.第二类失稳第二类失稳( (极值点极值点失稳失稳) ) 压杆始终处于受压和弯曲的复合受力状态，随着荷载压杆始终处于受压和弯曲的复合受力状态，随着荷载 F 的的 增加，杆件的挠度会逐渐增大。当荷载增加，杆件的挠度会逐渐增大。当荷载 F 达到临界值达到临界值 Fcr 时，即使不增加荷载甚至减小时，即使不增加荷载甚至减小 荷载，挠度仍会继续增加。压荷载，挠度仍会继续增加。压 杆杆始终是处于弯曲平衡形式始终是处于弯曲平衡形式。 Fcr 临界荷载临界荷载 特征：平衡形式不发生分支特征：平衡形式不发生分支 现象，即没有新的平衡形式现象，即没有新的平衡形式
6、 发生。发生。F e AFcr OF F 曲线曲线 第二类失稳较第一类失稳复杂，本章只讨论弹性结构的第二类失稳较第一类失稳复杂，本章只讨论弹性结构的第一类失稳。第一类失稳。 5.5.结构稳定的自由度结构稳定的自由度结构稳结构稳定自由度定自由度：确定结构失稳时所有可能的变形确定结构失稳时所有可能的变形确定结构失稳时所有可能的变形确定结构失稳时所有可能的变形 形式所需的独立参数的数目。形式所需的独立参数的数目。形式所需的独立参数的数目。形式所需的独立参数的数目。1个自由度个自由度2个自由度个自由度Fy无限多个无限多个自由度自由度FEI=Fy1y2EI=EI=2个自由度个自由度Fy1y2EI =EI
7、 =与支承弹簧的与支承弹簧的 数量无关数量无关 图示单自由度结构，图示单自由度结构， 竖杆为无限刚性，竖杆为无限刚性， 下端为抗转弹簧支下端为抗转弹簧支 承，其刚度为承，其刚度为 k ( (发发 生单位转角所需的生单位转角所需的 力矩力矩) )，设压杆处于，设压杆处于 随遇平衡状态时偏随遇平衡状态时偏 离竖直位，有倾角离竖直位，有倾角 ， 由平衡条件由平衡条件 静力法：静力法：根据分支点状态（临界状态）时结构新出现的平根据分支点状态（临界状态）时结构新出现的平 衡形式来建立平衡方程，从而求解临界荷载。衡形式来建立平衡方程，从而求解临界荷载。13-2 用静力法确定临界荷载用静力法确定临界荷载A
8、Fcr O F B C F A B EI= kl F A B kF 曲线曲线 分别用小变形理论和大变形理论求解此方程。分别用小变形理论和大变形理论求解此方程。有有 1. 刚性压杆（有限自由度）的临界荷载刚性压杆（有限自由度）的临界荷载 (1) (1) 按小变形分析按小变形分析 由于位移和变形都很小，近似地取由于位移和变形都很小，近似地取由于位移和变形都很小，近似地取由于位移和变形都很小，近似地取 ，则平衡方程，则平衡方程，则平衡方程，则平衡方程 可写为可写为可写为可写为 关于方程的解：关于方程的解： b . 0 时，有时，有 ，上式也成立，此时对应的是，上式也成立，此时对应的是新的新的 平衡形
9、式平衡形式。 因此，欲使因此，欲使 0 时，则必须有时，则必须有 Fl - - k = 0 a . = = 0 时，上式成立，对应的是结构时，上式成立，对应的是结构原有的平衡形式原有的平衡形式。A Fcr O F B C F A B EI= kl F A B kF 曲线曲线欲使欲使 0 时，则必须有时，则必须有 Fl - - k = 0 上式称为上式称为稳定方程稳定方程或或特征方程特征方程，反应了失稳时平衡形式的，反应了失稳时平衡形式的 二重性，即结构在新形式下也能维持平衡的条件。由此方二重性，即结构在新形式下也能维持平衡的条件。由此方 程可求出临界荷载程可求出临界荷载 失稳后的位移值失稳后的
10、位移值 无法确定，荷载无法确定，荷载位移曲线如位移曲线如AB。F A B EI= klA Fcr O F B C (2) (2) 按大变形分析按大变形分析 由平衡方程可得由平衡方程可得由平衡方程可得由平衡方程可得 即每一个即每一个 值对应一个值对应一个F 值，荷载值，荷载位移曲线如位移曲线如AC。而。而 临界荷载为临界荷载为 当当 0 时，时， 与按小变形分析所得结果相同。与按小变形分析所得结果相同。 因此若只要求临界荷载而不需计算失稳后的位移，可按小因此若只要求临界荷载而不需计算失稳后的位移，可按小 变形理论分析。变形理论分析。 F A B kA Fcr O F B C 例例13-1 图式结
11、构中两抗移弹簧的刚度均为图式结构中两抗移弹簧的刚度均为k ，求结构的，求结构的 临界荷载。临界荷载。F EI= EI= k k l l A B Cy1 y2 Fky1 ky2 解解：结结构构有有 2 个个稳稳定定自自由由度度， 设设失失稳稳时时 A、 B 点点的的侧侧向位向位 移分别是移分别是 y1、 y2 。 对对AB段段 MB=0，有，有 对整体对整体 MC=0，有，有 即即 y1 、y2 不能全为零，其非零解的条件是：上述不能全为零，其非零解的条件是：上述方程的系数方程的系数 行列式为零行列式为零，即，即 展开得展开得 解为解为F EI= EI= k k l l A B Cy1 y2 F
12、ky1 ky2 因因 F2 = 正对称形式正对称形式失稳失稳反对称形式反对称形式失稳失稳 直接比较正对称失稳和反对称失稳的临界荷载直接比较正对称失稳和反对称失稳的临界荷载 如图所示，临界荷如图所示，临界荷 载按由大到小排列，载按由大到小排列， 故故反对称失稳的临反对称失稳的临 界荷载小于正对称界荷载小于正对称 失稳的临界荷载失稳的临界荷载。等直压杆的等直压杆的临界荷载临界荷载 Fcr 由此，可以比较该由此，可以比较该 刚架正对称失稳和刚架正对称失稳和 反对称失稳的临界反对称失稳的临界 荷载大小。荷载大小。随弹性支座的刚度随弹性支座的刚度 k1，k2，k3 增加而增大增加而增大随杆的截面抗弯刚度
13、随杆的截面抗弯刚度 EI 的增加而增大的增加而增大随杆长随杆长 l 的增加而减小的增加而减小13-4 13-4 13-4 13-4 用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载 1.势能驻值原理势能驻值原理 能量法确定临界荷载的理论依据是势能驻值原理。能量法确定临界荷载的理论依据是势能驻值原理。 势能驻值原理：势能驻值原理：弹性结构处于平衡状态时，对于满足约束及弹性结构处于平衡状态时，对于满足约束及 连续条件的所有可能的位移中，只有连续条件的所有可能的位移中，只有真实的真实的 位移（还须满足平衡条件）使结构的势能为位移（还须满足平衡条件）使结构的势能为 驻值
14、（极值）驻值（极值），即结构势能的一阶变分为零。，即结构势能的一阶变分为零。 13-4 13-4 13-4 13-4 用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载 1.势能驻值原理势能驻值原理 结构的势能用结构的势能用 Ep表示，结构势能的一阶变分为零，即表示，结构势能的一阶变分为零，即 Ep=0。 势能驻值原理是变形体系虚功原理的另一种表达形式，实质上就是用能势能驻值原理是变形体系虚功原理的另一种表达形式，实质上就是用能 量形式表示的平衡条件。量形式表示的平衡条件。 结构的势能（或总势能）结构的势能（或总势能）Ep，有，有 其中其中 V 结构的应变能结构的
15、应变能 V外力外力势能，等于外力所作虚功的能，等于外力所作虚功的负值，即，即 有有 n 个稳定自由度个稳定自由度的结构，其的结构，其独立参数为独立参数为a1，a2 ，an。结构的失稳形结构的失稳形 式由这式由这n个参数决定，故结构的个参数决定，故结构的势能则为这势能则为这 n 个个参数的函数，即参数的函数，即 Ep = Ep( a1，a2， ，an)，于是，于是， Ep 的变分的变分计算可转换为微分计算。计算可转换为微分计算。 2.有限自由度的临界荷载有限自由度的临界荷载 2.有限自由度的临界荷载有限自由度的临界荷载 给所有参数给所有参数 ai 一个任意微小的增量一个任意微小的增量 ai （位
16、移的变分），（位移的变分）， i =1，2， ，n，则势能，则势能 Ep 的变分的变分 Ep为为 由势能驻值原理由势能驻值原理 Ep=0 ， 且且a1 ，a2， ， an 的任意性，的任意性， 则必有则必有 2.有限自由度的临界荷载有限自由度的临界荷载方程为一组方程为一组关于关于a1，a2 ，an 的的齐次线性方程齐次线性方程。欲使。欲使 a1，a2 ，an 不全为零（对应失稳后新的平衡形）不全为零（对应失稳后新的平衡形），则方程的系数行列式应等于零，即，则方程的系数行列式应等于零，即得稳定方程，由此可计算出得稳定方程，由此可计算出临界荷载。临界荷载。 对于对于单自由度结构单自由度结构，上述方
17、程为，上述方程为F B A EI= k l F B k A 例：用能量法确定图示压杆的临界荷载。例：用能量法确定图示压杆的临界荷载。 解：解：结构为单自由度结构，设失结构为单自由度结构，设失 稳时杆件的转角为稳时杆件的转角为 。 弹簧的弹簧的应变能应变能 荷载作用处的竖向位移荷载作用处的竖向位移 外力势能外力势能F B A EI= k l F B k A 例：用能量法确定图示压杆的临界荷载。例：用能量法确定图示压杆的临界荷载。 因此，因此，结构势能（总势能）结构势能（总势能）为为 由由势能驻值原理势能驻值原理 ，得，得 ，于是有，于是有 为非零解的条件为为非零解的条件为 故故临界荷载临界荷载为
18、为 例：已知例：已知AB和和BC杆均为刚性，两个弹簧支座的刚度均为杆均为刚性，两个弹簧支座的刚度均为k， 试用能量法确定结构的临界荷载。试用能量法确定结构的临界荷载。y1 y2 F ky1 ky2 EI= EI= k k l l A B C F 解：解：结构有结构有2个稳定自由度，设失个稳定自由度，设失 稳时两弹簧的伸长分别是稳时两弹簧的伸长分别是y1，y2 ， 如图所示。如图所示。 弹簧的弹簧的应变能应变能 荷载作用处的荷载作用处的竖向位移竖向位移 外力势能外力势能 例：已知例：已知AB和和BC杆均为刚性，两个弹簧支座的刚度均为杆均为刚性，两个弹簧支座的刚度均为k， 试用能量法确定结构的临界
19、荷载。试用能量法确定结构的临界荷载。y1 y2 F ky1 ky2 EI= EI= k k l l A B C F 结构的势能（总势能）结构的势能（总势能）为为 由由势能驻值原理势能驻值原理 得得于是有于是有 y1，y2应为非零解，故上式的系数行列式为零，即应为非零解，故上式的系数行列式为零，即 展开并整理得展开并整理得 方程的解为方程的解为 所以，结构的所以，结构的临界荷载临界荷载为为 3.无无限自由度限自由度（弹性压杆）（弹性压杆）的临界荷载的临界荷载dx ds dy F EI y x dx ds y l 图示弹性压杆，截面抗弯刚度图示弹性压杆，截面抗弯刚度EI， 失稳时发生弯曲变形（不计
20、轴向失稳时发生弯曲变形（不计轴向 变形和剪切变形）。变形和剪切变形）。 设失稳后的设失稳后的挠曲线挠曲线为为 杆件发生弯曲变形，其应变能为杆件发生弯曲变形，其应变能为 而而，故，故应变能应变能也可写为也可写为 3.无无限自由度限自由度（弹性压杆）（弹性压杆）的临界荷载的临界荷载dx ds dy F EI y x dx ds y l 设荷载作用点的竖直方设荷载作用点的竖直方向位移为向位移为。杆件微段长度。杆件微段长度dx，变形后的长度为，变形后的长度为ds，则变形，则变形前后的长度之差为前后的长度之差为 所以所以 因而因而外力势能外力势能为为 于是，于是，结构的势能结构的势能为为 显然，显然，E
21、P 是是 y 的函数，而的函数，而挠曲线挠曲线 y= y(x) 是未知的是未知的，故，故 EP 是是 一个泛函一个泛函。 EP= 0 是对泛函求极值，即泛函的变分法。变是对泛函求极值，即泛函的变分法。变 分法（变分计算）既复杂且得到的是挠曲线函数分法（变分计算）既复杂且得到的是挠曲线函数 y(x) 的微分的微分 方程，而不是临界荷载。故通常不用变分计算（精确方法），方程，而不是临界荷载。故通常不用变分计算（精确方法）， 而是使用而是使用近似方法近似方法，即瑞利即瑞利李兹法李兹法。 瑞利瑞利李兹法李兹法 假设挠曲线函数假设挠曲线函数 y 为为 式中，式中，-满足位移边界条件的已知函数满足位移边界
22、条件的已知函数，-任意未知参数（广义坐标）任意未知参数（广义坐标）。 这样临界状态的变形形式就由这样临界状态的变形形式就由 a1， a2， ，an 共共 n 个参数个参数 确定，确定，原无限自由度问题近似地简化为原无限自由度问题近似地简化为 n 个自由度问题个自由度问题。 若假若假设的的挠曲曲线函数函数 y 只取一只取一项 ，则简化化为单自由度。自由度。 瑞利瑞利李兹法李兹法 讨讨 论论 (1)(1)此方法为此方法为近似法近似法，所假设的挠曲线与真实挠曲线越接近，误差，所假设的挠曲线与真实挠曲线越接近，误差 越小。若假设的挠曲线恰好为真实挠曲线，则结果为精确值。越小。若假设的挠曲线恰好为真实挠
23、曲线，则结果为精确值。 (2)(2)近似的挠曲线相当于增加了约束，从而增大了结构的刚度，故近似的挠曲线相当于增加了约束，从而增大了结构的刚度，故 此种方法求得的临界荷载近似值，此种方法求得的临界荷载近似值，总是大于精确值总是大于精确值。 (3)(3)给定的函数给定的函数 应满足位移边界条件应满足位移边界条件，最好还能满足力的边界，最好还能满足力的边界 条件。条件。 例：例：图示示为两端两端铰支的等截面支的等截面压杆，杆，试用能量法（瑞利用能量法（瑞利李李 兹法）求其法）求其临界荷界荷载。 解：解：为简单起起见，挠曲曲线函数只取一函数只取一 项，取三种不同的，取三种不同的挠曲曲线分分别计算。算。
24、F EI y x l y q 挠曲线的挠曲线的位移边界条件位移边界条件 当当 x=0、l 时，时，y=0 （1）设挠曲线为正弦曲线）设挠曲线为正弦曲线 满足位移边界条件。满足位移边界条件。 应变能能 外力势能外力势能 例：例：图示示为两端两端铰支的等截面支的等截面压杆，杆，试用能量法（瑞利用能量法（瑞利李李 兹法）求其法）求其临界荷界荷载。F EI y x l y q 因此，因此，结构的势能结构的势能 由势能驻值原理由势能驻值原理 ，有，有因因 a 0，故故临界荷界荷载为 结果与静力法求结果与静力法求得的精确解相同，得的精确解相同，这是因为所设的这是因为所设的挠曲线正好是真挠曲线正好是真实的挠
25、曲线实的挠曲线 。 （2）设挠曲线为）设挠曲线为抛物抛物线 应变能能 外力势能外力势能 因此，因此，结构的势能结构的势能满足位移边界条件满足位移边界条件 根据根据势能能驻值原理，有原理，有 ，且，且 a 0，于是，于是临界荷载临界荷载所得结果的误差所得结果的误差很大，为很大，为21.6%21.6%。 （3）设挠曲线为均布荷载作用下的变形曲线）设挠曲线为均布荷载作用下的变形曲线 显然满足位移边界条件显然满足位移边界条件 应变能能外力势能外力势能 因此，因此，结构的势能结构的势能 由由势能能驻值原理，有原理，有 ，且，且a 0，故，故临界荷载临界荷载误差很小，仅为误差很小，仅为0.12%0.12%
26、 13-5 13-5 变截面压杆的稳定变截面压杆的稳定 1.阶形杆阶形杆 工程中常见的两种变截面压杆：阶形杆，截面连续变化。工程中常见的两种变截面压杆：阶形杆，截面连续变化。 截面呈阶梯形变化，上、下两截面呈阶梯形变化，上、下两 段各的平衡微分方程分别是段各的平衡微分方程分别是 于是挠曲微分方程为于是挠曲微分方程为 EI1 F l EI2 l1 l2 x Fx y1 y y2 令 方程解为方程解为 挠挠曲曲方方程程y1、y2中中共共有有A1、B1、A2、B2和和五个未知数。五个未知数。 由边界条件由边界条件 、 得得 边界条件边界条件 展开并整理得展开并整理得 x=0时，y2=0， x=0时，
27、y2=0， x=l 时，y1=， x=l2时，y1= y2， x=l2时，y1= y2。 于是挠曲线于是挠曲线 y2的表达式为的表达式为 将将挠曲曲线y1的表达式代入的表达式代入边界条件界条件、并由并由y2的表达式，的表达式， 可得可得 故故稳定方程稳定方程为为 如果在柱顶受荷载如果在柱顶受荷载F1，在变截面处受荷载，在变截面处受荷载F2 作用，用静力法可类似地推导出稳定方程为作用，用静力法可类似地推导出稳定方程为 式中式中 EI1 F1 l EI2 l1 l2 F2 2. 截面连续变化压杆截面连续变化压杆h1 ox a l hx h2 hx hx h1 ohx h2 hx o Fy y x
28、压杆的截面杆的截面惯性矩按性矩按 幂函数函数变化，其任一化，其任一 截面的截面的惯性矩性矩为 式中式中 I1为柱柱顶截面截面惯性性 矩，指数矩，指数m为常数。常数。 O点点为截面面截面面积为零的点。零的点。 柱底截面柱底截面惯性矩性矩为I2，则由由 得得 就下端固定上端自由的就下端固定上端自由的压杆，无杆，无论m为何何值，弯矩方程弯矩方程均均为 若已知若已知I2 / I1及及m，就可由上式确定，就可由上式确定a。 对于外形为直线的圆形截面及矩形或正方形截面，指数对于外形为直线的圆形截面及矩形或正方形截面，指数m=4。 而外形为直线，横截面由四个截面不变的角钢组成的组合而外形为直线，横截面由四个
29、截面不变的角钢组成的组合 压杆，指数压杆，指数m=2。上述两种情况，均有。上述两种情况，均有 于是于是 下面分下面分别讨论m=2 和和m=4这两种情况。两种情况。或或 挠曲曲线微分方程微分方程 将将t =lnx代入，得代入，得挠曲曲线方程方程为 令令t =lnx，此变系数微分方程可变为常系数微分方程，此变系数微分方程可变为常系数微分方程或或 边界条件界条件为 当当x=a时，时，y=0； 当当x =a+l时，时，y=0。 当当m=2时时 再令再令 解方程得解方程得 由由边界条件推界条件推导出出稳定方程定方程为 式中式中由由稳定定方方程程解解出出k的的最最小小根根，进而而可可求得求得临界荷界荷载Fcr。 挠曲曲线微分方程微分方程 令令 边界条件界条件为 当当x=a时，时，y=0； 当当x =a+l时，时，y=0。 当当m=4时时 解解为 由由边界条件推界条件推导出出稳定方程定方程为 挠曲线微分方程可写为挠曲线微分方程可写为 狭长矩形截面悬臂梁狭长矩形截面悬臂梁轴向受压的薄壁圆柱壳轴向受压的薄壁圆柱壳受均匀外压作用的薄壁圆筒受均匀外压作用的薄壁圆筒拱的失稳拱的失稳某大桥边跨现浇支架失稳某大桥边跨现浇支架失稳某某大大桥桥边边跨跨现现浇浇支支架架失失稳稳
